Альфапедия

Мощность континуума

редактировать

В теории множеств мощность континуума равна мощность или "размер" набора из вещественных чисел R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} , иногда называемых континуум. Это бесконечное кардинальное число и обозначается c {\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}{\ mathfrak {c}} (нижний регистр fraktur «c») или | R | {\ displaystyle | \ mathbb {R} |}| \ mathbb {R} | .

Действительные числа R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} более многочисленны, чем натуральные числа N {\ displaystyle \ mathbb {N}}\ mathbb N . Кроме того, R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} имеет то же количество элементов, что и набор мощности из N. {\ displaystyle \ mathbb {N}.}{\ displaystyle \ mathbb {N}.} Символически, если мощность N {\ displaystyle \ mathbb {N}}\ mathbb N обозначается как ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}\ aleph _ {0} , мощность континуума равна

c = 2 ℵ 0>ℵ 0. {\ displaystyle {\ mathfrak {c}} = 2 ^ {\ aleph _ {0}}>\ aleph _ {0} \,.}{\mathfrak c}=2^{{\aleph _{0}}}>\ aleph _ {0} \,.

Это было доказано Георг Кантор в его доказательстве несчетности 1874 года, части его новаторского исследования различных бесконечностей. Неравенство позже было сформулировано более просто в его диагональном аргументе. Кантор определил мощность в члены биективных функций : два набора имеют одинаковую мощность тогда и только тогда, когда между ними существует биективная функция.

Между любыми двумя действительными числами < b, no matter how close they are to each other, there are always infinitely many other real numbers, and Cantor showed that they are as many as those contained in the whole set of real numbers. In other words, the открытый интервал ( a, b) равнозначно с R. {\ displaystyle \ mathbb {R}.}{\ mathbb R}. Это также верно для некоторых других бесконечных множеств, таких как любые n-мерные Евклидово пространство R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}\ mathbb {R} ^ {n} (см. кривая заполнения пространства ). То есть

| (a, b) | = | R | = | R n |. {\ displaystyle | (a, b) | = | \ mathbb {R} | = | \ mathbb {R} ^ {n} |.}| (a, b) | = | {\ mathbb R} | = | {\ mathbb R} ^ {n} |.

Наименьшее бесконечное кардинальное число: ℵ 0 {\ displaystyle \ алеф _ {0}}\ aleph _ {0} (алеф-ноль ). Второй по величине - ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}\ aleph _ {1} (aleph-one ). гипотеза континуума, которая утверждает, что не существует множеств, мощность которых строго находится между ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}\ aleph _ {0} и c {\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}{\ mathfrak {c}} означает, что c = ℵ 1 {\ displaystyle {\ mathfrak {c}} = \ aleph _ {1}}{\ mathfrak c} = \ aleph _ {1} . Истинность или ложность этой гипотезы неразрешима, и не может быть доказана в рамках широко используемой системы аксиом ZFC.

Содержание
  • 1 Свойства
    • 1.1 Несчетность
    • 1.2 Кардинальные равенства
    • 1.3 Альтернативное объяснение c = 2 ℵ 0 {\ displaystyle {\ mathfrak {c}} = 2 ^ {\ aleph _ {0}}}{{\ mathfrak c}} = 2 ^ {{\ aleph _ {0}}}
  • 2 числа Бета
  • 3 Гипотеза континуума
  • 4 Множества с мощностью континуума
  • 5 Множества с большей мощностью
  • 6 См. также
  • 7 Ссылки
  • 8 Библиография
Свойства

Несчетность

Георг Кантор ввел понятие мощности для сравнения размеров бесконечных множеств. Он классно показал, что набор действительных чисел несчетно бесконечен. То есть c {\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}{{\ mathfrak c}} строго больше, чем мощность натуральных чисел, ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}\ aleph _ {0} :

ℵ 0 < c. {\displaystyle \aleph _{0}<{\mathfrak {c}}.}\ aleph _ {0} <{\ mathfrak c}.

На практике это означает, что вещественных чисел строго больше, чем целых. Кантор доказал это утверждение несколькими способами. Для получения дополнительной информации по этой теме см. первое доказательство несчетности Кантора и диагональный аргумент Кантора.

Кардинальные равенства

Для доказательства можно использовать вариант диагонального аргумента Кантора. Теорема Кантора, которая утверждает, что мощность любого набора строго меньше, чем мощность его набора мощности. То есть | А | < 2 | A | {\displaystyle |A|<2^{|A|}}{\ displaystyle | A | <2^{|A|}}(и так, чтобы степень набора ℘ (N) {\ displaystyle \ wp (\ mathbb {N})}{\ displaystyle \ wp (\ mathbb {N})} из натуральных чисел N {\ displaystyle \ mathbb {N}}\ mathbb N неисчислимо). Фактически, можно показать, что мощность ℘ (N) {\ displaystyle \ wp (\ mathbb {N})}{\ displaystyle \ wp (\ mathbb {N})} равна c {\ displaystyle {\ mathfrak { c}}}{{\ mathfrak c}} следующим образом:

  1. Определите карту f: R → ℘ (Q) {\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ wp (\ mathbb {Q})}{\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ wp (\ mathbb {Q})} из вещественных чисел в степень набора рациональных чисел, Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}\ mathbb {Q} , отправив каждое действительное число x {\ displaystyle x}x в набор {q ∈ Q: q ≤ x} {\ displaystyle \ {q \ in \ mathbb {Q}: q \ leq x \} }{\ displaystyle \ {q \ in \ mathbb {Q}: q \ leq x \}} всех рациональных чисел, меньших или равных x {\ displaystyle x}x (с реалами, рассматриваемыми как Дедекинд сокращает, это не что иное, карту включения в набор наборов рациональных чисел). Поскольку рациональные числа плотны в R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} , эта карта инъективна, а поскольку рациональные числа счетны, у нас есть это c ≤ 2 ℵ 0 {\ displaystyle {\ mathfrak {c}} \ leq 2 ^ {\ aleph _ {0}}}{\ mathfrak c} \ leq 2 ^ {{\ aleph _ {0}}} .
  2. Пусть {0, 2} N {\ displaystyle \ {0,2 \} ^ {\ mathbb {N}}}{\ displaystyle \ {0,2 \} ^ {\ mathbb {N}}} - набор бесконечных последовательностей со значениями в наборе {0, 2} {\ displaystyle \ {0,2 \}}{\ displaystyle \ {0,2 \}} . Этот набор имеет мощность 2 ℵ 0 {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}2 ^ {\ aleph _ {0}} (естественное взаимное соответствие между набором двоичных последовательностей и ℘ (N) {\ displaystyle \ wp (\ mathbb {N})}{\ displaystyle \ wp (\ mathbb {N})} задается индикаторной функцией ). Теперь сопоставьте каждой такой последовательности (ai) i ∈ N {\ displaystyle (a_ {i}) _ {i \ in \ mathbb {N}}}{\ displaystyle (a_ { i}) _ {i \ in \ mathbb {N}}} уникальное действительное число в интервал [0, 1] {\ displaystyle [0,1]}[0,1] с троичным -расширением, заданным цифрами a 1, a 2,… {\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ dotsc}{\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ dotsc} , то есть ∑ i = 1 ∞ ai 3 - i {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} a_ {i} 3 ^ {- i}}{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} a_ {i} 3 ^ {- i}} , i {\ displaystyle i}я -я цифра после дробной точки: ai {\ displaystyle a_ {i}}a_ {i} по отношению к основанию 3 {\ displaystyle 3}3 . Изображение этой карты называется множеством Кантора. Нетрудно понять, что это отображение является инъективным, поскольку, избегая точек с цифрой 1 в их троичном расширении, мы избегаем конфликтов, вызванных тем фактом, что троичное расширение действительного числа не уникально. Тогда мы имеем 2 ℵ 0 ≤ c {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} \ leq {\ mathfrak {c}}}2 ^ {{\ aleph _ {0}}} \ leq {\ mathfrak c} .

По теореме Кантора – Бернштейна – Шредера заключаем, что

c = | ℘ (N) | = 2 ℵ 0. {\ displaystyle {\ mathfrak {c}} = | \ wp (\ mathbb {N}) | = 2 ^ {\ aleph _ {0}}.}{\ displaystyle {\ mathfrak {c}} = | \ WP (\ mathbb {N}) | = 2 ^ {\ aleph _ {0}}.}

Кардинальное равенство c 2 = c {\ displaystyle {\ mathfrak {c}} ^ {2} = {\ mathfrak {c}}}{\ mathfrak {c}} ^ {2} = {\ mathfrak {c}} можно продемонстрировать с помощью кардинальной арифметики :

c 2 = (2 ℵ 0) 2 = 2 2 × ℵ 0 знак равно 2 ℵ 0 = с. {\ displaystyle {\ mathfrak {c}} ^ {2} = (2 ^ {\ aleph _ {0}}) ^ {2} = 2 ^ {2 \ times {\ aleph _ {0}}} = 2 ^ {\ aleph _ {0}} = {\ mathfrak {c}}.}{\ mathfrak {c}} ^ {2} = (2 ^ {{\ aleph _ {0}}}) ^ {2} = 2 ^ {{2 \ times {\ aleph _ {0}}}} = 2 ^ {{\ aleph _ {0}}} = {\ mathfrak {c}}.

Используя правила кардинальной арифметики, можно также показать, что

c ℵ 0 = ℵ 0 ℵ 0 = n ℵ 0 = сп знак равно ℵ 0 с = nc = с, {\ displaystyle {\ mathfrak {c}} ^ {\ aleph _ {0}} = {\ aleph _ {0}} ^ {\ aleph _ {0}} = n ^ {\ aleph _ {0}} = {\ mathfrak {c}} ^ {n} = \ aleph _ {0} {\ mathfrak {c}} = n {\ mathfrak {c}} = {\ mathfrak {c} },}{\ mathfrak c} ^ {{\ aleph _ {0}}} = {\ aleph _ {0 }} ^ {{\ aleph _ {0}}} = n ^ {{\ aleph _ {0}}} = {\ mathfrak c} ^ {n} = \ aleph _ {0} {\ mathfrak c} = n {\ mathfrak c} = {\ mathfrak c},

где n - любое конечное кардинальное число ≥ 2, и

cc = (2 ℵ 0) c = 2 c × ℵ 0 = 2 c, {\ displaystyle {\ mathfrak {c}} ^ {\ mathfrak {c}} = (2 ^ {\ aleph _ {0}}) ^ {\ mathfrak {c}} = 2 ^ {{\ mathfrak {c}} \ times \ aleph _ {0}} = 2 ^ { \ mathfrak {c}},}{\ mathfrak c} ^ {{{ \ mathfrak c}}} = (2 ^ {{\ aleph _ {0}}}) ^ {{{\ mathfrak c}}} = 2 ^ {{{\ mathfrak c} \ times \ aleph _ {0}} } = 2 ^ {{{\ mathfrak c}}},

где 2 c {\ displaystyle 2 ^ {\ mathfrak {c}}}2 ^ {{{\ mathfrak c}}} - мощность набора степеней R и 2 c>c {\ displaystyle 2 ^ {\ mathfrak {c}}>{\ mathfrak {c}}}2^{{{\mathfrak c}}}>{\ mathfrak c} .

Альтернативное объяснение для c = 2 ℵ 0 {\ displaystyle {\ mathfrak {c}} = 2 ^ {\ aleph _ {0}}}{{\ mathfrak c}} = 2 ^ {{\ aleph _ {0}}}

Каждое действительное число имеет по крайней мере одно бесконечное десятичное расширение. Например,

1/2 = 0,50000... 1/3 = 0,33333... π = 3,14159....

(Это верно даже в случае повторения раскрытия, как в первых двух примерах.)

В любом конкретном случае количество цифр счетное, поскольку они могут быть помещены в взаимно однозначное соответствие с набором натуральных чисел N {\ displaystyle \ mathbb {N}}\ mathbb {N} . Это делает разумным говорить, скажем, о первой, сотой или миллионной цифре числа π. Поскольку натуральные числа имеют мощность ℵ 0, {\ displaystyle \ aleph _ {0},}\ aleph _ {0}, каждое действительное число имеет ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}\ aleph _ {0} цифр в его расширении.

Поскольку каждое действительное число может быть разбито на целую часть и десятичную дробь, мы получаем:

c ≤ ℵ 0 ⋅ 10 ℵ 0 ≤ 2 ℵ 0 ⋅ (2 4) ℵ 0 = 2 ℵ 0 + 4 ⋅ ℵ 0 знак равно 2 ℵ 0 {\ displaystyle {\ mathfrak {c}} \ leq \ aleph _ {0} \ cdot 10 ^ {\ aleph _ {0}} \ leq 2 ^ {\ aleph _ {0 }} \ cdot {(2 ^ {4})} ^ {\ aleph _ {0}} = 2 ^ {\ aleph _ {0} +4 \ cdot \ aleph _ {0}} = 2 ^ {\ aleph _ {0}}}{{\ mathfrak c}} \ leq \ aleph _ {0} \ cdot 10 ^ {{\ aleph _ {0}}} \ leq 2 ^ {{\ aleph _ {0}}} \ cdot {(2 ^ {4})} ^ {{\ aleph _ {0}}} = 2 ^ {{\ aleph _ {0} +4 \ cdot \ aleph _ {0}}} = 2 ^ {{\ aleph _ {0}}}

где мы использовали тот факт, что

ℵ 0 + 4 ⋅ ℵ 0 = ℵ 0. {\ displaystyle \ aleph _ {0} +4 \ cdot \ aleph _ {0} = \ aleph _ {0} \,.}\ aleph _ {0} +4 \ cdot \ aleph _ {0} = \ aleph _ {0} \,.

С другой стороны, если мы сопоставим 2 = {0, 1 } {\ displaystyle 2 = \ {0,1 \}}2 = \ {0,1 \} до {3, 7} {\ displaystyle \ {3,7 \}}\ {3,7 \} и считайте это десятичным дроби, содержащие только 3 или 7, являются лишь частью действительных чисел, тогда мы получаем

2 ℵ 0 ≤ c. {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} \ leq {\ mathfrak {c}} \,.}2 ^ {{\ aleph _ {0}}} \ leq {{\ mathfrak c}} \,.

и, следовательно,

c = 2 ℵ 0. {\ displaystyle {\ mathfrak {c}} = 2 ^ {\ aleph _ {0}} \,.}{{\ mathfrak c} } = 2 ^ {{\ алеф _ {0}}} \,.
Числа Бет

Последовательность чисел Бет определяется установкой ℶ 0 Знак равно ℵ 0 {\ displaystyle \ beth _ {0} = \ aleph _ {0}}\ beth _ {0} = \ aleph _ {0} и ℶ k + 1 = 2 ℶ k {\ displaystyle \ beth _ {k + 1} = 2 ^ {\ beth _ {k}}}\ beth _ {{k + 1}} = 2 ^ {{\ beth _ {k}}} . Итак, c {\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}{{\ mathfrak c}} является вторым числом Beth, beth-one :

c = ℶ 1. {\ displaystyle {\ mathfrak {c}} = \ beth _ {1}.}{\ mathfrak c} = \ beth _ {1}.

Третье число Beth, beth-two, представляет собой мощность набора степеней R { \ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} (т. е. набор всех подмножеств вещественной линии ):

2 c = ℶ 2. {\ displaystyle 2 ^ {\ mathfrak {c}} = \ beth _ {2}.}2 ^ {{\ mathfrak c}} = \ beth _ {2}.
Гипотеза континуума

Знаменитая гипотеза континуума утверждает, что c {\ displaystyle {\ mathfrak { c}}}{{\ mathfrak c}} также является вторым числом алеф, ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}\ aleph _ {1} . Другими словами, гипотеза континуума утверждает, что не существует набора A {\ displaystyle A}A , мощность которого лежит строго между ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}\ aleph _ {0} и c {\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}{{\ mathfrak c}}

∄ A: ℵ 0 < | A | < c. {\displaystyle \nexists A\quad :\quad \aleph _{0}<|A|<{\mathfrak {c}}.}\ nexists A \ quad: \ quad \ алеф _ {0} <| A | <{\ mathfrak c}.

Теперь известно, что это утверждение не зависит от аксиом множества Цермело – Френкеля теория с аксиомой выбора (ZFC). То есть и гипотеза, и ее отрицание согласуются с этими аксиомами. Фактически, для любого ненулевого натурального числа n, равенство c {\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}{{\ mathfrak c}} = ℵ n {\ displaystyle \ aleph _ {n}}\ aleph _ {n} не зависит от ZFC (случай n = 1 {\ displaystyle n = 1}n = 1 является гипотезой континуума). То же самое верно и для большинства других алефов, хотя в некоторых случаях равенство может быть исключено с помощью теоремы Кёнига на основании кофинальности (например, c ≠ ℵ ω { \ Displaystyle {\ mathfrak {c}} \ neq \ aleph _ {\ omega}}{\ displaystyle {\ mathfrak {c}} \ neq \ aleph _ {\ omega}} ). В частности, c {\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}{\ mathfrak {c}} может быть либо ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}\ aleph _ {1} , либо ℵ ω 1 {\ displaystyle \ aleph _ {\ omega _ {1}}}\ aleph _ {\ omega _ { 1}} , где ω 1 {\ displaystyle \ omega _ {1}}\ omega _ {1} - первый несчетный порядковый номер, поэтому это может быть либо кардинал-преемник, либо предельный кардинал, а также обычный кардинал или единичный кардинал.

Множества с мощностью континуума

Огромное количество множеств, изучаемых в математике, имеют мощность, равную c {\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}{{\ mathfrak c}} . Вот некоторые общие примеры:

  • вещественные числа R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R}
  • любой (невырожденный ) закрытый или открытый интервал в R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} (например, единичный интервал [0, 1] {\ displaystyle [0, 1]}[0,1] )

    Например, для всех a, b ∈ R {\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}a, b \ в {\ mathbb {R}} таких, что a < b {\displaystyle aa <b мы можем определить биекцию

    е: р → (a, b) x ↦ arctan ⁡ x + π 2 π ⋅ (b - a) + a {\ displaystyle {\ begin {align} f \ двоеточие \ mathbb {R} \ to ( a, b) \\ x \ mapsto {\ frac {\ arctan x + {\ frac {\ pi} {2}}} {\ pi}} \ cdot (ba) + a \ end {align}}}{\ begin { выровнено} f \ двоеточие {\ mathbb {R}} \ to (a, b) \\ x \ mapsto {\ frac {\ arctan x + {\ frac {\ pi} {2}}} {\ pi}} \ cdot (ba) + a \ end {align}}

    Теперь мы покажем мощность бесконечного интервала. Для всех a ∈ R {\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}a \ in \ mathbb {R} мы можем определить биекцию

    f: R → (a, ∞) x ↦ {arctan ⁡ x + π 2 + a, если x < 0 x + π 2 + a if x ≥ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} \to (a,\infty)\\x\mapsto {\begin{cases}\arctan x+{\frac {\pi }{2}}+a{\t_dv{if }}x<0\\x+{\frac {\pi }{2}}+a{\t_dv{if }}x\geq 0\end{cases}}\end{aligned}}}{\ begin {align} f \ двоеточие {\ mathbb {R}} \ to (a, \ infty) \\ x \ mapsto {\ begin {cases} \ arctan x + {\ frac {\ pi} {2}} + a {\ t_dv {if} } x <0 \\ x + {\ frac {\ pi} {2}} + a {\ t_dv {if}} x \ geq 0 \ end {cases}} \ end {align}}

    , и аналогично для всех b ∈ R {\ displaystyle b \ in \ mathbb {R}}b \ в {\ mathbb {R}}

    f: R → (- ∞, b) x ↦ {x - π 2 + b, если x < 0 arctan ⁡ x − π 2 + b if x ≥ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} \to (-\infty,b)\\x\mapsto {\begin{cases}x-{\frac {\pi }{2}}+b{\t_dv{if }}x<0\\\arctan x-{\frac {\pi }{2}}+b{\t_dv{if }}x\geq 0\end{cases}}\end{aligned}}}{\ begin {выровнено} f \ двоеточие {\ mathbb {R}} \ to (- \ infty, b) \\ x \ mapsto {\ begin {cases} x - {\ frac {\ pi} { 2}} + b {\ t_dv {if}} x <0 \\\ arctan x - {\ frac {\ pi } {2}} + b {\ t_dv {if}} x \ geq 0 \ end {case}} \ end {align}}
  • , иррациональные числа
  • , трансцендентные числа Отметим, что набор действительных алгебраических чисел счетно бесконечен (каждой формуле присваивается число Гёделя.) Таким образом, мощность реальных алгебраических чисел - это ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}\ aleph _ {0} . Кроме того, действительные алгебраические числа и реальные трансцендентные числа представляют собой непересекающиеся множества, объединение которых равно R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} . Таким образом, поскольку мощность R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} равна c {\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}{\ mathfrak {c}} , мощность действительных трансцендентных чисел равно c - ℵ 0 = c {\ displaystyle {\ mathfrak {c}} - \ aleph _ {0} = {\ mathfrak {c}}}{\ mathfrak c} - \ aleph _ {0} = {\ mathfrak c} . Аналогичный результат следует для комплексных трансцендентных чисел, если мы доказали, что | C | = c {\ displaystyle \ left \ vert \ mathbb {C} \ right \ vert = {\ mathfrak {c}}}\ left \ vert {\ mathbb {C}} \ right \ vert = {\ mathfrak c} .
  • множество Кантора
  • евклидово пространство R n { \ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}\ mathbb {R} ^ {n}
  • комплексные числа C {\ displaystyle \ mathbb {C}}\ mathbb {C} Отметим, что согласно доказательству Кантора мощности евклидова пространства, | R 2 | знак равно с {\ displaystyle \ left \ vert \ mathbb {R} ^ {2} \ right \ vert = {\ mathfrak {c}}}\ left \ vert {\ mathbb {R}} ^ {2} \ right \ vert = {\ mat hfrak c} . По определению любой c ∈ C {\ displaystyle c \ in \ mathbb {C}}c \ in {\ mathbb {C}} может быть однозначно выражен как a + bi {\ displaystyle a + bi}a + bi для некоторых a, b ∈ R {\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}a, b \ в {\ mathbb {R}} . Поэтому мы определяем биекцию f: R 2 → C (a, b) ↦ a + bi {\ displaystyle {\ begin {align} f \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {C} \\ (a, b) \ mapsto a + bi \ end {align}}}\ begin {align} f \ двоеточие \ mathbb {R} ^ 2 \ to \ mathbb { C} \\ (a, b) \ mapsto a + bi \ end {align}
  • набор степеней натуральных чисел P (N) {\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N})}{\ mathcal {P}} ({ \ mathbb {N}}) (набор всех подмножеств натуральных чисел)
  • набор последовательности целых чисел (т.е. все функции N → Z {\ displaystyle \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {Z}}{\ mathbb {N}} \ rightarrow {\ mathbb {Z}} , часто обозначаются как ZN {\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {\ mathbb {N}}}{\ mathbb {Z}} ^ {{\ mathbb {N} }} )
  • набор последовательностей действительных чисел, RN {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}{\ mathbb { R}} ^ {{\ mathbb {N}}}
  • набор из всех непрерывных функций от R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} до R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R}
  • Евклидова топология на R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}\ mathbb {R} ^ {n} (т. Е. Множество всех открытых множеств в R п {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}\ mathbb {R} ^ {n} )
  • Борелевская σ-алгебра на R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} (т.е. набор всех наборов Бореля в R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} ).
Наборы с большей мощностью

Наборы с мощностью больше c {\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}{{\ mathfrak c}} включает:

  • набор всех подмножеств R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} (т. е. набор мощности P (R) {\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {R})}{\ mathcal {P}} ({\ mathbb {R}}) )
  • набор 2 из индикаторных функций, определенных на подмножествах вещественные числа (набор 2 R {\ displaystyle 2 ^ {\ mathbb {R}}}2 ^ {{{\ mathbb {R}}}} изоморфен P (R) {\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {R})}{\ mathcal {P}} ({\ mathbb {R}}) - индикаторная функция выбирает элементы каждого подмножества для включения)
  • набор RR {\ displaystyle \ mathbb {R } ^ {\ mathbb {R}}}{\ mathbb {R }} ^ {{\ mathbb {R}}} всех функций от R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} до R {\ displaystyle \ mathbb { R}}\ mathbb {R}
  • σ-алгебра Лебега из R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} , т.е. множество всех измеримых по Лебегу устанавливает в R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} .
  • набор всех интегрируемых по Лебегу функций из R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} до R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R}
  • набор всех измеримых по Лебегу функций из R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} - R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R}
  • Компактификации Камня – Чеха из N {\ displaystyle \ mathbb {N}}\ mathbb {N} , Q { \ displaystyle \ mathbb {Q}}\ mathbb {Q} и R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R}
  • набор всех автоморфизмов (дискретного) поля комплексных чисел.

Эти все имеют мощность 2 c = ℶ 2 {\ displaystyle 2 ^ {\ mathfrak {c}} = \ beth _ {2}}2 ^ {{\ mathfrak c}} = \ beth _ {2} (между двумя ).

См. Также
Ссылки
  1. ^«Исчерпывающий список символов теории множеств». Математическое хранилище. 2020-04-11. Проверено 12 августа 2020 г.
  2. ^«Трансфинитное число | математика». Британская энциклопедия. Проверено 12 августа 2020 г.
  3. ^ Вайсштейн, Эрик У. "Continuum". mathworld.wolfram.com. Проверено 12 августа 2020 г.
  4. ^ Был ли Кантор удивлен?, Фернандо К. Гувеа, American Mathematical Monthly, март 2011.
Библиография

В этой статье используется материал из мощности континуума на PlanetMath, на который распространяется лицензия под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike.

Последняя правка сделана 2021-05-14 08:24:19
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте