Предел кардинала

редактировать

В математика, предельные кардинальные числа - это определенные кардинальные числа. Кардинальное число λ является кардиналом со слабым пределом, если λ не является ни кардиналом-преемником, ни нулем. Это означает, что нельзя «достичь» λ от другого кардинала путем повторения последующих операций. Этих кардиналов иногда называют просто "предельными кардиналами", когда контекст ясен.

Кардинал λ - это кардинал со строгим пределом, если λ не может быть достигнуто повторением операций powerset. Это означает, что λ не равно нулю и для всех κ < λ, 2 < λ. Every strong limit cardinal is also a weak limit cardinal, because κ ≤ 2 for every cardinal κ, where κ denotes the successor cardinal of κ.

Первый бесконечный кардинал, $ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ (aleph-naught ), является сильным предельным кардиналом., а значит, и слабый предельный кардинал.

Содержание

1 Конструкции
2 Связь с порядковыми индексами
3 Понятие недоступности и большие кардиналы
4 См. Также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Конструкции

Одним из способов построения предельных кардиналов является операция объединения: $ℵ ω {\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$ $\ aleph _ {{\ omega}}$ - слабый предельный кардинал, определяемый как объединение все алефы до него; и вообще $ℵ λ {\ displaystyle \ aleph _ {\ lambda}}$ $\ aleph _ {{\ lambda}}$ для любого предельного порядкового номера λ является слабым предельным кардиналом.

Операция ב может использоваться для получения кардиналов строгого лимита. Эта операция представляет собой преобразование порядковых чисел в кардиналы, определяемые как

ℶ 0 = ℵ 0, {\ displaystyle \ beth _ {0} = \ aleph _ {0},}

\ beth _ {{0}} = \ aleph _ {0},

ℶ α + 1 = 2 ℶ α, {\ displaystyle \ beth _ {\ alpha +1} = 2 ^ {\ beth _ {\ alpha}},}

\ beth _ {{\ alpha +1}} = 2 ^ {{\ beth _ {{\ alpha}}}},

(наименьшее порядковое число равное число со степенью)

Если λ - предельный ординал,

ℶ λ = ⋃ {ℶ α: α < λ }. {\displaystyle \beth _{\lambda }=\bigcup \{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.}

\ beth _ {{\ lambda}} = \ bigcup \ {\ beth _ {{\ alpha}}: \ alpha <\ lambda \}.

Кардинал

ℶ ω = ⋃ {ℶ 0, ℶ 1, ℶ 2,…} = ⋃ n < ω ℶ n {\displaystyle \beth _{\omega }=\bigcup \{\beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\ldots \}=\bigcup _{n<\omega }\beth _{n}}

\ beth _ {{\ omega}} = \ bigcup \ {\ beth _ {{0}}, \ beth _ {{1}}, \ beth _ {2} }, \ ldots \} = \ bigcup _ {{n <\ omega}} \ beth _ {{n}}

является сильным предельным кардиналом кофинальности ω. В более общем смысле, для любого ординала α кардинал

ℶ α + ω = ⋃ n < ω ℶ α + n {\displaystyle \beth _{\alpha +\omega }=\bigcup _{n<\omega }\beth _{\alpha +n}}

\ beth _ {{\ alpha + \ omega}} = \ bigcup _ {{n <\ omega}} \ beth _ {{\ alpha + n}}

является сильным предельным кардиналом. Таким образом, существуют сколь угодно большие сильные кардиналы лимита.

Связь с порядковыми индексами

Если выполняется аксиома выбора , каждое кардинальное число имеет начальный порядковый номер. Если этот начальный порядковый номер равен $ω λ, {\ displaystyle \ omega _ {\ lambda} \,,}$ $\ omega _ {{\ lambda}} \,,$ , то кардинальное число имеет вид $ℵ λ {\ displaystyle \ aleph _ {\ lambda}}$ $\ aleph _ {\ lambda}$ для того же порядкового индекса λ. Порядковый номер λ определяет, является ли $ℵ λ {\ displaystyle \ aleph _ {\ lambda}}$ $\ aleph _ {\ lambda}$ кардиналом со слабым пределом. Поскольку $ℵ α + = (ℵ α) +, {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha ^ {+}} = (\ aleph _ {\ alpha}) ^ {+} \,,}$ $\ aleph _ {{\ alpha ^ {+}}} = (\ aleph _ {\ alpha}) ^ {+} \,,$ если λ - порядковый номер-преемник, то $ℵ λ {\ displaystyle \ aleph _ {\ lambda}}$ $\ aleph _ {\ lambda}$ не является слабым пределом. И наоборот, если кардинал κ является кардиналом-преемником, скажем $κ = (ℵ α) +, {\ displaystyle \ kappa = (\ aleph _ {\ alpha}) ^ {+} \,,}$ $\ kappa = (\ aleph _ {{\ alpha}}) ^ {+} \,,$ , то $κ = ℵ α +. {\ displaystyle \ kappa = \ aleph _ {\ alpha ^ {+}} \,.}$ $\ kappa = \ aleph _ {{\ alpha ^ {+}}} \,.$ Таким образом, в общем, $ℵ λ {\ displaystyle \ aleph _ {\ lambda}}$ $\ aleph _ {\ lambda}$ является слабым предельным кардиналом тогда и только тогда, когда λ равно нулю или предельному порядковому номеру.

Хотя порядковый нижний индекс говорит нам, является ли кардинал слабым пределом, он не говорит нам, является ли кардинал сильным пределом. Например, ZFC доказывает, что $ℵ ω {\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$ $\ aleph _ {\ omega}$ является слабым предельным кардиналом, но не доказывает и не опровергает, что $ℵ ω {\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$ $\ aleph _ {\ omega}$ - кардинал с сильным ограничением (Hrbacek and Jech 1999: 168). обобщенная гипотеза континуума утверждает, что $κ + = 2 κ {\ displaystyle \ kappa ^ {+} = 2 ^ {\ kappa} \,}$ $\ kappa ^ {+} = 2 ^ {{ \ kappa}} \,$ для каждого бесконечного кардинала κ. Согласно этой гипотезе, понятия слабого и сильного предельных кардиналов совпадают.

Понятие недоступности и больших кардиналов

Вышеупомянутое определяет понятие «недоступность»: мы имеем дело со случаями, когда уже недостаточно выполнить конечное число итераций преемника и набора мощности операции; отсюда фраза «не может быть достигнута» в обоих интуитивных определениях выше. Но «операция объединения» всегда предоставляет другой способ «доступа» к этим кардиналам (и действительно, так обстоит дело и с предельными ординалами). Более строгое понятие недоступности можно определить с помощью cofinality. Для слабого (соответственно сильного) предельного кардинала κ требуется, чтобы cf (κ) = κ (т. Е. Κ было регулярным ), так что κ не может быть выражено как сумма (объединение) меньших, чем κ кардиналов. Такой кардинал называется слабо (соответственно сильно) недоступным кардиналом. Оба предыдущих примера являются сингулярными кардиналами конфинальности ω и, следовательно, не являются недоступными.

$ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ было бы недоступным кардиналом обеих "сильных сторон", за исключением того, что определение недоступного требует, чтобы они были бесчисленными. Стандартная теория множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) не может даже доказать непротиворечивость существования недоступного кардинала любого вида выше $ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ в силу теоремы Гёделя о неполноте. В частности, если $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ каппа$ слабо недоступен, тогда $L κ ⊨ Z F C {\ displaystyle L _ {\ kappa} \ models ZFC}$ $L _ {{ \ kappa}} \ models ZFC$ . Они образуют первые в иерархии крупных кардиналов.

См. Также

Кардинальное число

Ссылки

Хрбачек, Карел; Джеч, Томас (1999), Введение в теорию множеств (3-е изд.), ISBN 0-8247-7915-0
Джеч, Томас (2003), Теория множеств, Springer Monographs in Mathematics (изд. Третьего тысячелетия), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 3- 540-44761-X, ISBN 978-3-540-44085-7
Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: Введение в доказательства независимости, Elsevier, ISBN 978-0-444-86839-8

Внешние ссылки

http://www.ii.com/math/cardinals/ Бесконечные чернила на кардиналах