Гипотеза континуума

редактировать

Утверждение в математической логике

В математике гипотеза континуума (сокращенно CH ) - это гипотеза о возможных размерах бесконечных множеств. В нем говорится:

Не существует набора, мощность строго между целыми числами и действительными числами.

В теории множеств Цермело – Френкеля. с аксиомой выбора (ZFC), это эквивалентно следующему уравнению в числах алеф : $2 ℵ 0 = ℵ 1 {\ displaystyle 2 ^ { \ aleph _ {0}} = \ aleph _ {1}}$ $2 ^ {{\ Алеф _ {0}}} = \ Алеф _ {1 }$ .

Гипотеза континуума была выдвинута Георгом Кантором в 1878 году, и установление ее истинности или ложности является первым из 23 Гильберта. проблемы, представленные в 1900 году. Ответ на эту проблему - независимый от ZFC, так что либо гипотеза континуума, либо ее отрицание могут быть добавлены в качестве аксиомы к теории множеств ZFC, при этом полученная теория согласована тогда и только тогда, когда ZFC согласован. Эта независимость была доказана в 1963 году Полом Коэном, дополнив более раннюю работу Курта Гёделя в 1940 году.

Название гипотезы происходит от термина континуум для действительных чисел.

Содержание

1 История
2 Мощность бесконечных множеств
3 Независимость от ZFC
4 Аргументы за и против гипотезы континуума
5 Гипотеза обобщенного континуума
- 5.1 Последствия GCH для кардинального возведения в степень
6 См. также
7 Ссылки
8 Источники
9 Внешние ссылки

История

Кантор верил, что гипотеза континуума верна и в течение многих лет тщетно пыталась чтобы доказать это (Dauben 1990). Он стал первым в списке важных открытых вопросов Давида Гильберта, который был представлен на Международном конгрессе математиков в 1900 году в Париже. Аксиоматическая теория множеств на тот момент еще не была сформулирована. Курт Гёдель доказал в 1940 году, что отрицание гипотезы континуума, то есть существование множества с промежуточной мощностью, не может быть доказано в стандартной теории множеств. Вторая половина независимости гипотезы континуума - то есть недоказуемость отсутствия множества промежуточных размеров - была доказана в 1963 году Полом Коэном.

Мощность бесконечных множеств

Два множества считается, что они имеют одинаковую мощность или мощность, если между ними существует биекция (взаимно однозначное соответствие). Интуитивно, если два множества S и T имеют одинаковую мощность, это означает, что можно «спаривать» элементы S с элементами T таким образом, чтобы каждый элемент S был спарен ровно с одним элементом T, и наоборот. наоборот. Следовательно, множество {банан, яблоко, груша} имеет ту же мощность, что и {желтый, красный, зеленый}.

С бесконечными наборами, такими как набор целых чисел или рациональных чисел, существование взаимного соответствия между двумя наборами становится труднее продемонстрировать. Рациональные числа, по-видимому, образуют контрпример к гипотезе континуума: целые числа образуют собственное подмножество рациональных чисел, которые сами образуют собственное подмножество действительных чисел, поэтому интуитивно понятно, что рациональных чисел больше, чем целых, и больше реальных чисел, чем рациональных чисел. Однако этот интуитивный анализ ошибочен; он не учитывает должным образом тот факт, что все три набора бесконечны. Оказывается, рациональные числа на самом деле могут быть помещены во взаимно однозначное соответствие с целыми числами, и поэтому набор рациональных чисел имеет тот же размер (мощность), что и набор целых чисел: они оба являются счетными множествами.

Кантор привел два доказательства того, что мощность множества целых строго меньше, чем мощность множества действительных чисел (см. первое доказательство несчетности Кантора и Диагональный аргумент Кантора ). Его доказательства, однако, не дают указания на то, насколько мощность целых чисел меньше мощности действительных чисел. Кантор предложил гипотезу континуума как возможное решение этого вопроса.

Гипотеза континуума утверждает, что набор действительных чисел имеет минимально возможную мощность, которая больше, чем мощность набора целых чисел. То есть каждый набор S действительных чисел может быть отображен один-к-одному в целые числа, или действительные числа могут быть однозначно отображены в S. Поскольку действительные числа равнозначны с powerset целых чисел, $| R | = 2 ℵ 0 {\ displaystyle | \ mathbb {R} | = 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$ ${\ Displaystyle | \ mathbb {R} | = 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$ , а гипотеза континуума говорит, что не существует набора $S {\ displaystyle S }$ $S$ , для которого $ℵ 0 < | S | < 2 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}<|S|<2^{\aleph _{0}}}$ ${\ Displaystyle \ Алеф _ {0} <| S | <2 ^ {\ Алеф _ {0}}}$ .

Предполагая аксиому выбора, существует наименьшее кардинальное число $ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ $\ aleph _ {1}$ больше, чем $ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ , и гипотеза континуума, в свою очередь, эквивалентна равенству $2 ℵ 0 = ℵ 1 {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} = \ aleph _ {1}}$ $2 ^ {\ aleph _ {0}} = \ aleph _ {1}$ (Goldrei 1996).

Независимость от ZFC

Независимость гипотезы континуума (CH) от теории множеств Цермело – Френкеля (ZF) следует из совместной работы Курта Гёделя и Пол Коэн.

Гёдель (1940) показал, что CH не может быть опровергнуто из ZF, даже если принять аксиому выбора (AC) (создание ZFC). Доказательство Гёделя показывает, что и CH, и AC имеют место в конструируемой вселенной L, внутренней модели теории множеств ZF, предполагающей только аксиомы ZF. Существование внутренней модели ZF, в которой выполняются дополнительные аксиомы, показывает, что дополнительные аксиомы согласованы с ZF, при условии, что сам ZF согласован. Последнее условие не может быть доказано в самой ZF из-за теорем Гёделя о неполноте, но широко считается верным и может быть доказано в более сильных теориях множеств.

Коэн (1963, 1964) показал, что CH не может быть доказан с помощью аксиом ZFC, завершив общее доказательство независимости. Чтобы доказать свой результат, Коэн разработал метод принуждения, который стал стандартным инструментом в теории множеств. По сути, этот метод начинается с модели ZF, в которой выполняется CH, и создает другую модель, которая содержит больше множеств, чем исходная, таким образом, что CH не выполняется в новой модели. Коэн был награжден медалью Филдса в 1966 году за свои доказательства.

Только что описанное доказательство независимости показывает, что CH не зависит от ZFC. Дальнейшие исследования показали, что CH не зависит от всех известных больших кардинальных аксиом в контексте ZFC. (Феферман (1999)) Более того, было показано, что мощность континуума может быть любой кардинальной, согласованной с теоремой Кенига. Результат Соловея, доказанный вскоре после результата Коэна о независимости гипотезы континуума, показывает, что в любой модели ZFC, если $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ является кардиналом несчетного числа cofinality, то есть принудительное расширение, в котором $2 ℵ 0 = κ {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} = \ kappa}$ $2 ^ {\ алеф _ {0}} = \ kappa$ . Однако, согласно теореме Кенига, неверно предполагать, что $2 ℵ 0 {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$ $2 ^ {\ алеф _ {0}}$ равно $ℵ ω {\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$ $\ aleph _ {\ omega}$ или $ℵ ω 1 + ω {\ displaystyle \ aleph _ {\ omega _ {1} + \ omega}}$ $\ Алеф _ {\ omega _ {1} + \ omega}$ или любое кардинальное число с конфинальностью $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ .

Гипотеза континуума тесно связана со многими утверждениями в анализе, множестве точек топологии и теории меры. В результате его независимости многие существенные гипотезы в этих областях впоследствии также оказались независимыми.

Независимость от ZFC означает, что подтверждение или опровержение CH в ZFC невозможно. Однако отрицательные результаты Гёделя и Коэна не повсеместно признаются как устранение всякого интереса к гипотезе континуума. Проблема Гильберта остается активной темой исследований; см. Woodin (2001a, 2001b) и Koellner (2011a) для обзора текущего статуса исследования.

Гипотеза континуума была не первым утверждением, независимым от ZFC. Непосредственным следствием теоремы Гёделя о неполноте, опубликованной в 1931 году, является наличие формального утверждения (по одному для каждой соответствующей схемы нумерации Гёделя ), выражающего непротиворечивость ZFC, которая является независимой ZFC, предполагая, что ZFC согласован. Гипотеза континуума и аксиома выбора были одними из первых математических утверждений, которые оказались независимыми от теории множеств ZF.

Аргументы за и против гипотезы континуума

Гёдель считал, что CH ложно, и что его доказательство того, что CH согласуется с ZFC, только показывает, что аксиомы Цермело – Френкеля не адекватно характеризуют вселенную множеств. Гёдель был платоником и поэтому не имел проблем с утверждением истинности и ложности утверждений независимо от их доказуемости. Коэн, хотя и был формалистом (Goodman 1979), также был склонен отвергать CH.

Исторически математики, которые отдавали предпочтение «богатой» и «большой» вселенной множеств, были против CH, в то время как те, кто предпочитал «аккуратную» и «управляемую» вселенную, предпочитали CH. Параллельные аргументы были сделаны за и против аксиомы конструктивности, которая подразумевает CH. Совсем недавно Мэтью Форман указал, что онтологический максимализм может фактически использоваться для аргументации в пользу CH, потому что среди моделей, которые имеют одинаковые действительные числа, модели с «большим» набором у реалов больше шансов удовлетворить CH (Мэдди 1988, стр. 500).

Другая точка зрения состоит в том, что концепция множества недостаточно конкретна, чтобы определить, является ли CH истинным или ложным. Эта точка зрения была продвинута еще в 1923 году Сколемом, еще до первой теоремы Гёделя о неполноте. Сколем спорил на основе того, что сейчас известно как парадокс Сколема, и позже он был поддержан независимостью CH от аксиом ZFC, поскольку этих аксиом достаточно, чтобы установить элементарные свойства множеств и мощностей. Чтобы возразить против этой точки зрения, было бы достаточно продемонстрировать новые аксиомы, поддерживаемые интуицией, и разрешить СН в том или ином направлении. Хотя аксиома конструктивности действительно разрешает CH, она обычно не считается интуитивно верной, как и CH обычно считается ложной (Kunen 1980, p. 171).

Были предложены как минимум две другие аксиомы, которые имеют значение для гипотезы континуума, хотя в настоящее время эти аксиомы не нашли широкого признания в математическом сообществе. В 1986 году Крис Фрейлинг представил аргумент против CH, показав, что отрицание CH эквивалентно аксиоме симметрии Фрейлинга, утверждению, основанному на доводах определенной интуиции о вероятностях. Фрейлинг считает, что эта аксиома «интуитивно верна», но другие не согласны. Сложный аргумент против CH, разработанный W. Хью Вудин привлекает к себе большое внимание с 2000 года (Woodin 2001a, 2001b). Форман (2003) не отвергает аргумент Вудина полностью, но призывает к осторожности.

Соломон Феферман (2011) утверждал, что CH не является определенной математической проблемой. Он предлагает теорию «определенности», используя полуинтуиционистскую подсистему ZF, которая принимает классическую логику для ограниченных кванторов, но использует интуиционистскую логику для неограниченных, и предполагает, что утверждение $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ математически «определен», если полуинтуиционистская теория может доказать $(ϕ ∨ ¬ ϕ) {\ displaystyle (\ phi \ lor \ neg \ phi)}$ ${\ displaystyle (\ phi \ lor \ neg \ phi)}$ . Он предполагает, что CH не определен в соответствии с этим понятием, и предлагает, таким образом, считать, что CH не имеет истинностного значения. Питер Кёлльнер (2011b) написал критический комментарий к статье Фефермана.

Джоэл Дэвид Хэмкинс предлагает подход мультивселенной к теории множеств и утверждает, что «гипотеза континуума основана на представлении о мультивселенной благодаря нашим обширным знаниям о том, как он ведет себя в мультивселенной, и, как в результате его уже нельзя урегулировать так, как раньше надеялись ". (Хэмкинс 2012). В аналогичном ключе Сахарон Шел написал, что он «не согласен с чисто платонической точкой зрения, что интересные проблемы теории множеств можно решить, что нам просто нужно открыть дополнительную аксиому. Моя мысленная картина такова. что у нас есть много возможных теорий множеств, и все они соответствуют ZFC ". (Шелах 2003).

Обобщенная гипотеза континуума

Обобщенная гипотеза континуума (GCH) утверждает, что если мощность бесконечного множества находится между мощностью бесконечного множества S и мощностью набор мощности $P (S) {\ displaystyle {\ mathcal {P}} (S)}$ ${\ mathcal {P}} ( S)$ of S, то он имеет ту же мощность, что и S, или $P (S) {\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (S)}$ ${\ mathcal {P}} ( S)$ . То есть для любого бесконечного кардинального $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ не существует кардинального $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ такого что $λ < κ < 2 λ {\displaystyle \lambda <\kappa <2^{\lambda }}$ ${\ displaystyle \ lambda <\ kappa <2 ^ {\ lambda}}$ . GCH эквивалентен:

ℵ α + 1 = 2 ℵ α {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha +1} = 2 ^ {\ aleph _ {\ alpha}}}

\ aleph _ {\ alpha +1} = 2 ^ {\ aleph _ {\ alpha}}

для каждого порядковый номер

α {\ displaystyle \ alpha}

\ альфа

(Goldrei 1996) (иногда называемый гипотезой алефа Кантора ).

числа бет обеспечивают альтернативное обозначение для этого условия: $ℵ α = ℶ α {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha} = \ beth _ {\ alpha}}$ $\ aleph _ {\ alpha} = \ beth _ {\ alpha}$ для каждого порядкового номера $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$ . Гипотеза континуума является частным случаем кардинального $α = 0 {\ displaystyle \ alpha = 0}$ $\ alpha = 0$ . GCH был впервые предложен Журденом (1905). (Для ранней истории GCH см. Moore 2011)

Подобно CH, GCH также не зависит от ZFC, но Серпинский доказал, что ZF + GCH подразумевает аксиому выбора (AC) (и, следовательно, отрицание аксиомы определенности, AD), поэтому выбор и GCH не являются независимыми в ZF; нет моделей ZF, в которых GCH держится, а AC выходит из строя. Чтобы доказать это, Серпинский показал, что GCH подразумевает, что каждая мощность n меньше некоторого алефового числа, и поэтому может быть упорядочена. Это делается путем демонстрации того, что n меньше, чем $2 ℵ 0 + n {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0} + n}}$ ${\ Displaystyle 2 ^ {\ Алеф _ {0} + n}}$ , которое меньше, чем его собственный Hartogs число - здесь используется равенство $2 ℵ 0 + n = 2 ⋅ 2 ℵ 0 + n {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0} + n} \, = \, 2 \ cdot \, 2 ^ {\ алеф _ {0} + n}}$ $2 ^ {\ aleph _ {0} + n} \, = \, 2 \ cdot \, 2 ^ {\ aleph _ {0} + n}$ ; полное доказательство см. Gillman (2002).

Курт Гёдель показал, что GCH является следствием ZF + V = L (аксиома о том, что каждый набор может быть сконструирован относительно ординалов), и, следовательно, совместим с ZFC. Поскольку GCH подразумевает CH, модель Коэна, в которой CH выходит из строя, является моделью, в которой GCH выходит из строя, и, таким образом, GCH не может быть доказан из ZFC. В. Б. Истон использовал метод принуждения, разработанный Коэном, чтобы доказать теорему Истона, которая показывает, что она совместима с ZFC для произвольно больших кардиналов $ℵ α {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$ $\ aleph _ {\ alpha}$ не удовлетворять $2 ℵ α = ℵ α + 1 {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {\ alpha}} = \ aleph _ {\ alpha +1}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {\ alpha}} = \ aleph _ {\ alpha +1}}$ . Намного позже Форман и Вудин доказали, что (с учетом согласованности очень больших кардиналов) согласованно, что $2 κ>κ + {\ displaystyle 2 ^ {\ kappa}>\ kappa ^ {+}}$ $2^\kappa>\ kappa ^ +$ выполняется для каждого бесконечного кардинала $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ . Позже Вудин расширил это, показав последовательность $2 κ = κ + + { \ displaystyle 2 ^ {\ kappa} = \ kappa ^ {++}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ kappa} = \ kappa ^ {++}}$ для каждого $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ . Карми Меримович (2007) показал, что для каждого n ≥ 1 согласно ZFC, для каждого κ, 2 является n-м преемником κ. С другой стороны, Ласло Патай (1930) доказал, что если γ - ординал, и для каждого бесконечного кардинала κ, 2 является γ-м преемником κ, тогда γ конечно.

Для любых бесконечных множеств A и B, если существует инъекция из A в B, то существует инъекция ion от подмножеств A к подмножествам B. Таким образом, для любых бесконечных кардиналов A и B $A < B → 2 A ≤ 2 B {\displaystyle A$ ${\ displaystyle A <B \ to 2 ^ {A} \ leq 2 ^ {B}}$ . Если A и B конечны, выполняется более сильное неравенство $A < B → 2 A < 2 B {\displaystyle A$ ${\ displaystyle A <B \ to 2 ^ {A} <2 ^ {B}}$ . Из GCH следует, что это строгое более сильное неравенство выполняется как для бесконечных кардиналов, так и для конечных кардиналов.

Значение GCH для кардинального возведения в степень

Хотя обобщенная гипотеза континуума напрямую относится только к кардинальному возведению в степень с 2 в качестве основы, из нее можно вывести значения кардинального возведения в степень $ℵ α ℵ β {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ beta}}}$ $\ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ beta}}$ во всех случаях. GCH подразумевает, что (Hayden Kennison 1968):

ℵ α ℵ β = ℵ β + 1 {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ beta}} = \ алеф _ {\ бета +1}}

{\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ beta}} = \ aleph _ {\ beta +1}}

когда α ≤ β + 1;

ℵ α ℵ β = ℵ α {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ beta }} = \ aleph _ {\ alpha}}

{\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ Алеф _ {\ бета}} = \ Алеф _ {\ альфа}}

, когда β + 1 <α и

ℵ β < cf ⁡ ( ℵ α) {\displaystyle \aleph _{\beta }<\operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}

\ aleph _ {\ beta} <\ operatorname {cf} (\ aleph _ {\ alpha})

, где cf - это кофинальность операция; и

ℵ α ℵ β = ℵ α + 1 {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ beta}} = \ aleph _ {\ alpha +1}}

{\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ beta}} = \ aleph _ { \ alpha +1}}

когда β + 1 <α и

ℵ β ≥ cf ⁡ (ℵ α) {\ displaystyle \ aleph _ {\ beta} \ geq \ operatorname {cf} (\ aleph _ {\ alpha})}

\ алеф _ {\ бета} \ geq \ OperatorName {cf} (\ алеф _ {\ альфа})

первое равенство (когда α ≤ β + 1) следует из:

ℵ α ℵ β ≤ ℵ β + 1 ℵ β = (2 ℵ β) ℵ β = 2 ℵ β ⋅ ℵ β = 2 ℵ β = ℵ β + 1 {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ beta}} \ leq \ aleph _ {\ beta +1} ^ {\ aleph _ {\ beta}} = (2 ^ {\ aleph _ {\ beta}}) ^ {\ aleph _ {\ beta}} = 2 ^ {\ aleph _ {\ beta} \ cdot \ aleph _ {\ beta}} = 2 ^ {\ aleph _ {\ beta}} = \ aleph _ {\ beta +1}}

{\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ beta}} \ leq \ aleph _ {\ beta +1} ^ {\ aleph _ {\ beta }} = (2 ^ {\ aleph _ {\ beta}}) ^ {\ aleph _ {\ beta}} = 2 ^ {\ aleph _ {\ beta} \ cdot \ aleph _ {\ beta}} = 2 ^ {\ Алеф _ {\ бета}} = \ Алеф _ {\ бета +1}}

, а:

ℵ β + 1 = 2 ℵ β ≤ ℵ α ℵ β {\ displaystyle \ aleph _ {\ beta +1} = 2 ^ {\ aleph _ {\ beta}} \ leq \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ beta}}}

{\ displaystyle \ aleph _ {\ beta +1} = 2 ^ {\ aleph _ {\ beta}} \ leq \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ beta}}}

;

Третье равенство (когда β + 1 <α и $ℵ β ≥ cf ⁡ (ℵ α) {\ displaystyle \ aleph _ {\ beta} \ geq \ operatorname {cf} (\ aleph _ {\ alpha})}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ beta} \ geq \ operatorname {cf} (\ aleph _ {\ alpha})}$ ) следует из:

ℵ α ℵ β ≥ ℵ α ср ⁡ (ℵ α)>ℵ α {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ beta}} \ geq \ aleph _ {\ alpha} ^ { \ operatorname {cf} (\ aleph _ {\ alpha})}>\ aleph _ {\ alpha}}

\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\geq \aleph _{\alpha }^{\operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}>\ aleph _ {\ alpha}

по теореме Кенига, в то время как:

β ≤ ℵ α ℵ α ℵ α ≤ (2 ℵ α) ℵ α = 2 ℵ α ⋅ ℵ α = 2 ℵ α = ℵ α + 1 {\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ beta}} \ leq \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ alpha}} \ leq (2 ^ {\ aleph _ {\ alpha}}) ^ {\ aleph _ {\ alpha}} = 2 ^ {\ aleph _ { \ alpha} \ cdot \ aleph _ {\ alpha}} = 2 ^ {\ aleph _ {\ alpha}} = \ aleph _ {\ alpha +1}}

{\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ beta}} \ leq \ aleph _ {\ alpha} ^ {\ aleph _ {\ alpha}} \ leq (2 ^ {\ aleph _ {\ alpha}}) ^ {\ aleph _ {\ alpha}} = 2 ^ {\ aleph _ {\ alpha} \ cdot \ aleph _ {\ alpha}} = 2 ^ {\ aleph _ {\ alpha}} = \ aleph _ {\ альфа +1}}

Где для каждого γ GCH используется для приравнивания $2 ℵ γ {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {\ gamma}}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {\ gamma}}}$ и $ℵ γ + 1 {\ displaystyle \ aleph _ {\ gamma +1}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ gamma +1}}$ ; $ℵ γ 2 = ℵ γ {\ displaystyle \ aleph _ {\ gamma} ^ {2} = \ aleph _ {\ gamma}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ gamma} ^ {2} = \ aleph _ {\ gamma}}$ используется, поскольку он эквивалентен аксиоме выбора.

См. Также

Ссылки

Коэн, Пол Джозеф (2008) [1966]. Теория множеств и гипотеза континуума. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46921-8. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Коэн, Пол Дж. (15 декабря 1963 г.)). «Независимость гипотезы континуума». Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 50 (6): 1143–1148. Bibcode : 1963PNAS... 50.1143C. doi : 10.1073 / pnas.50.6.1143. JSTOR 71858. PMC 221287. PMID 16578557. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Коэн, Пол Дж. (15 января 1964 г.). "Независимость гипотезы континуума, II". Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 51 (1): 105–110. Bibcode : 1964PNAS... 51..105C. doi : 10.1073 / pnas.51.1.105. JSTOR 72252. PMC 300611. PMID 16591132. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Dales, HG; Woodin, WH (1987). Введение t o Независимость аналитиков. Кембридж. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Даубен, Джозеф Уоррен (1990). Георг Кантор: его математика и философия бесконечности. Princeton University Press. Pp. 134 –137. ISBN 9780691024479. CS1 maint: ref = harv (link )
Enderton, Herbert (1977). Elements of Set Theory. Academic Press. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Соломон Феферман (февраль 1999 г.). «Нужны ли математике новые аксиомы?». American Mathematical Monthly. 106 (2): 99–111. CiteSeerX 10.1.1.37.295. doi : 10.2307 / 2589047. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Феферман, Соломон (2011). «Является ли гипотеза континуума определенной математической проблемой?» (PDF). Изучение границ независимости (Серия лекций Гарварда). CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Мэтт Форман (2003). «Была ли утверждена гипотеза континуума?» (PDF). 25 февраля 2006 г. CS1 maint: ref = harv (link )
Фрайлинг, Крис (1986). «Аксиомы симметрии: метание дротиков в линию действительных чисел». Журнал символической логики. Ассоциация символической логики. 51 (1): 190–200. DOI : 10.2307 / 2273955. JSTOR 2273955. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Гёдель, К. (1940). Согласованность гипотезы континуума. Принстонский университет Press. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Гиллман, Леонард (2002). «Два классических сюрприза относительно аксиомы выбора и гипотезы континуума» (PDF). American Mathematical Monthly. 109 . doi : 10.2307 / 2695444. CS1 maint: ref = harv (link )
Gödel, K.: Что такое проблема континуума Кантора?, Перепечатано в сборнике Бенацеррафа и Патнэма «Философия математики», 2-е изд., Cambridge University Press, 1983. Обзор аргументов Геделя против CH.
Голдрей, Дерек (1996). Классическая теория множеств.. Chapman Hall. CS1 maint: ref = harv (link )
Гудман, Николас Д. (1979). «Математика как объективная наука». American Mathematical Monthly. 86 (7): 540–551. doi : 10.2307 / 2320581. MR 0542765. Такой взгляд часто называют формализмом. Posi Более или менее подобные вещи можно найти в Haskell Curry [5], Abraham Robinson [17] и Paul Cohen [4].CS1 maint: ref = harv (link )
Hamkins, Джоэл Дэвид (2012). "Теоретико-множественная мультивселенная". Rev. Symb. Журнал. 5 (3): 416–449.
Хайден, Сеймур; Кеннисон, Джон Ф. (1968). Теория множеств Цермело-Френкеля. Колумбус, Огайо: издательство Charles E. Merrill Publishing Company. п. 147, упражнение 76. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Jourdain, Philip EB (1905). «О трансфинитных кардинальных числах экспоненциальной формы». Philosophical Magazine. Серия 6. 9 : 42–56. doi : 10.1080 / 14786440509463254. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Koellner, Peter (2011a). «Гипотеза континуума» (PDF). Exploring the Frontiers of Independence (серия лекций Гарварда). CS1 maint: ref = harv (link )
Келлнер, Питер (2011b). «Феферман о неопределенности CH» (PDF). CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: Введение в доказательства независимости. Амстердам: Северная Голландия. ISBN 978-0-444-85401-8. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Мэдди, Пенелопа (июнь 1988 г.). «Вера в аксиомы, я». Журнал символической логики. Association for Symbolic Logic. 53 ( 2): 481–511. doi : 10.2307 / 2274520. JSTOR 2274520. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Мартин Д. (1976). «Первая проблема Гильберта: гипотеза континуума», в «Математические разработки, вытекающие из проблем Гильберта», Труды симпозиумов по чистой математике XXVIII, Ф. Браудер, редактор. Американское математическое общество, 1976, стр. 81–92. ISBN 0-8218-1428-1
Макгоф, Нэнси. «Гипотеза континуума». CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Меримович, Карми (2007). «Степенная функция с фиксированным конечным зазором повсюду». Журнал символической логики. 72(2): 361–417. arXiv : math / 0005179. doi : 10.2178 / jsl / 1185803615. MR 2320282. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Мур, Грегори Х. (2011). «Ранняя история обобщенной гипотезы континуума: 1878–1938». Бюллетень Символьная логика. 17 (4): 489–532. doi : 10.2178 / bsl / 1318855631. MR 2896574. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Шелах, Сахарон (2003). «Логические мечты». Bull. Amer. Math. Soc. (NS). 40 (2): 203–228. arXiv : math / 0211398. doi : 10.1090 / s0273-0979-03-00981-9. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Woodin, W. Hugh (2001a). «Гипотеза континуума, часть I» (PDF). Уведомления AMS. 48 (6): 567–576. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Вудин, У. Хью (200 1б). «Гипотеза континуума, часть II» (PDF). Уведомления AMS. 48 (7): 681–690. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

Немецкая литература

Кантор, Георг (1878). «Эйн Бейтраг» zur Mannigfaltigkeitslehre ". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 84(84): 242–258. doi : 10.1515 / crll.1878.84.242.
Patai, L. (1930). "Untersuchungen über die א- reihe". Mathematische und naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn. 37 : 127–142. CS1 maint: ref = harv (link )

Источники

Эта статья включает материал из гипотезы Обобщенного континуума на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License. Архивировано 2017-02-08 на Wayback Machine

Внешние ссылки

и Weisstein, Eric W. «Гипотеза континуума». MathWorld. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )