Число Бет

редактировать

В математике числа представляют собой определенную последовательность бесконечных количественные числа, обычно записываемые $ℶ 0, ℶ 1, ℶ 2, ℶ 3,… {\ displaystyle \ beth _ {0}, \ \ beth _ {1}, \ \ beth _ {2}, \ \ beth _ {3}, \ \ dots}$ $\ beth _ {0}, \ \ beth _ {1}, \ \ beth _ {2}, \ \ beth _ {3}, \ \ dots$ , где $ℶ {\ displaystyle \ beth}$ $\ Бет$ - вторая буква иврита (бет ). Числа Бет связаны с числами алеф ( $ℵ 0, ℵ 1,… {\ displaystyle \ aleph _ {0}, \ \ aleph _ {1}, \ \ dots}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0}, \ \ aleph _ {1}, \ \ dots}$ ), но могут быть числа, проиндексированные $ℵ {\ displaystyle \ aleph}$ $\ aleph$ , которые не проиндексированы $ℶ {\ displaystyle \ beth}$ $\ Бет$ .

Contents

1 Определение
2 Связь с числами алеф
3 Конкретные кардиналы
- 3.1 Бет ноль
- 3.2 Бет один
- 3.3 Бет два
- 3.4 Бет омега
4 Обобщение
5 См. Также
6 Ссылки
7 Библиография

Определение

Чтобы определить числа Beth, начните с того, чтобы позволить

ℶ 0 = ℵ 0 {\ displaystyle \ beth _ {0} = \ aleph _ {0}}

\ beth _ {0} = \ aleph _ {0}

- мощность любого счетно бесконечного множества ; для конкретности возьмем набор $N {\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$ из натуральных чисел как типичный случай. Обозначим через P (A) набор степеней для A (т. Е. Набор всех подмножеств A), затем определим

ℶ α + 1 = 2 ℶ α, {\ displaystyle \ beth _ {\ alpha +1} = 2 ^ {\ beth _ {\ alpha}},}

\ beth _ {\ alpha +1} = 2 ^ {\ beth _ {\ alpha}},

, которая является мощностью множества степеней A (если $ℶ α {\ displaystyle \ beth _ {\ alpha} }$ $\ beth _ {\ alpha}$ - мощность элемента A).

Учитывая это определение,

ℶ 0, ℶ 1, ℶ 2, ℶ 3,… {\ displaystyle \ beth _ {0}, \ \ beth _ {1}, \ \ beth _ {2}, \ \ beth _ {3}, \ \ dots}

\ beth _ {0}, \ \ beth _ {1}, \ \ beth _ {2}, \ \ beth _ {3}, \ \ dots

- мощности

N, P (N), P (P ( N)), P (P (P (N))),…. {\ Displaystyle \ mathbb {N}, \ P (\ mathbb {N}), \ P (P (\ mathbb {N})), \ P (P (P (\ mathbb {N}))), \ \ точек.}

\ mathbb {N}, \ P (\ mathbb {N}), \ P (P (\ mathbb {N})), \ P (P (P (\ mathbb {N}))), \ \ точки.

так, чтобы второе число Beth $ℶ 1 {\ displaystyle \ beth _ {1}}$ $\ beth _ {1}$ было равно $c {\ displaystyle {\ mathfrak {c}} }$ ${\ mathfrak {c}}$ , мощность континуума (мощность множества действительных чисел), а третье число Beth $ℶ 2 {\ displaystyle \ beth _ {2} }$ $\ beth _ {2}$ - мощность множества степеней континуума.

Из-за теоремы Кантора каждый набор в предыдущей последовательности имеет мощность строго больше, чем предыдущий. Для бесконечных предельных ординалов λ, соответствующее число Beth, определяется как верхняя грань чисел Beth для всех ординалов, строго меньших, чем λ:

ℶ λ = sup { ℶ α: α < λ }. {\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.}

\ beth _ {\ lambda} = \ sup \ {\ beth _ {\ alpha} : \ альфа <\ лямбда \}.

Можно также показать, что вселенные фон Неймана $V ω + α {\ displaystyle V _ {\ omega + \ alpha}}$ ${\ displaystyle V _ {\ omega + \ alpha}}$ имеют мощность $ℶ α {\ displaystyle \ beth _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ beth _ { \ alpha}}$ .

Отношение к числам алеф

Принимая аксиому выбора , бесконечные мощности линейно упорядочены ; никакие две мощности не могут быть сопоставимы. Таким образом, поскольку по определению бесконечные мощности не находятся между $ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ и $ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ $\ aleph _ {1}$ , следует, что

ℶ 1 ≥ ℵ 1. {\ displaystyle \ beth _ {1} \ geq \ aleph _ {1}.}

\ beth _ {1} \ geq \ aleph _ {1}.

Повторение этого аргумента (см. трансфинитная индукция ) дает $ℶ α ≥ ℵ α {\ displaystyle \ beth _ {\ alpha} \ geq \ aleph _ {\ alpha}}$ $\ beth _ {\ alpha} \ geq \ aleph _ {\ alpha}$ для всех порядковых чисел $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$ .

Гипотеза континуума эквивалентна

ℶ 1 = ℵ 1. {\ displaystyle \ beth _ {1} = \ aleph _ {1}.}

\ beth _ {1} = \ aleph _ {1}.

Согласно обобщенной гипотезе континуума, последовательность чисел Beth, определенная таким образом, аналогична последовательности aleph числа, то есть $ℶ α = ℵ α {\ displaystyle \ beth _ {\ alpha} = \ aleph _ {\ alpha}}$ $\ beth _ {\ alpha} = \ aleph _ {\ alpha}$ для всех порядковых чисел $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$ .

Конкретные кардиналы

Beth null

Так как это определено как $ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ , или aleph null, наборы с мощностью $ℶ 0 {\ displaystyle \ beth _ {0}}$ $\ beth _ {0}$ включают:

натуральные числа N
рациональные числа Q
алгебраические числа
вычислимые числа и вычислимые наборы
набор конечных наборов из целых чисел
набор конечных мультимножеств из целых чисел
набор конечных последовательностей из целых чисел

Beth one

Наборы с мощностью $ℶ 1 {\ displaystyle \ beth _ {1}}$ $\ beth _ {1}$ включают:

трансцендентное число s
иррациональные числа
действительные числа R
комплексные числа C
невычислимые действительные числа
евклидово пространство R
набор степеней из натуральных чисел (набор всех подмножеств натуральных чисел)
набор последовательностей целых чисел (т.е. все функции N→ Z, часто обозначаемые Z)
набором последовательностей действительных чисел, R
набор всех вещественных аналитических функций от R до R
набор все непрерывные функции от R до R
множество конечных подмножеств действительных чисел
множество всех аналитических функций из C - C

Beth two

$ℶ 2 {\ displaystyle \ beth _ {2}}$ $\ beth _ {2}$ (произносится Beth two) также обозначается как 2 ( произносится как два в степени с).

Наборы с мощностью $ℶ 2 {\ displaystyle \ beth _ {2}}$ $\ beth _ {2}$ включают:

набор мощности из набора действительные числа, так что это количество подмножеств вещественной строки, или количество наборов действительных чисел
Набор мощности набор мощности набора натуральных чисел
Набор всех функций от R до R(R)
Набор всех функций от R to R
Набор степеней набора всех функций от набора натуральных чисел к самому себе, поэтому это количество наборов последовательностей натуральных чисел
Компактификации Стоуна – Чеха из R, Qи N

Бет омега

$ℶ ω {\ displaystyle \ beth _ {\ omega}}$ $\ beth _ {\ omega}$ (произносится как бет омега) - наименьшее несчетное число кардинал с сильным пределом.

Обобщение

Более общий символ $ℶ α (κ) {\ displaystyle \ beth _ {\ alpha} (\ kappa)}$ $\ beth _ {\ alpha} (\ kappa)$ для ординалов α и кардиналов κ, иногда используется. Он определяется следующим образом:

ℶ 0 (κ) = κ, {\ displaystyle \ beth _ {0} (\ kappa) = \ kappa,}

\ beth _ {0} (\ kappa) = \ kappa,

ℶ α + 1 (κ) = 2 ℶ α (κ)), {\ displaystyle \ beth _ {\ alpha +1} (\ kappa) = 2 ^ {\ beth _ {\ alpha} (\ kappa)},}

{\ Displaystyle \ Бет _ {\ альфа +1} (\ kappa) = 2 ^ {\ beth _ {\ alpha} (\ kappa)},}

ℶ λ (κ) = sup {ℶ α ( κ): α < λ } {\displaystyle \beth _{\lambda }(\kappa)=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa):\alpha <\lambda \}}

{\ displaystyle \ beth _ {\ lambda} (\ kappa) = \ sup \ {\ beth _ {\ alpha} (\ kappa): \ alpha <\ lambda \}}

, если λ - предельный порядковый номер.

Итак,

ℶ α = ℶ α (ℵ 0). {\ displaystyle \ beth _ {\ alpha} = \ beth _ {\ alpha} (\ aleph _ {0}).}

{\ displaystyle \ beth _ {\ alpha} = \ beth _ {\ alpha} (\ aleph _ {0}).}

В ZF для любых кардиналов κ и μ существует порядковый номер α, такой что:

κ ≤ ℶ α (μ). {\ displaystyle \ kappa \ leq \ beth _ {\ alpha} (\ mu).}

{\ displaystyle \ kappa \ leq \ beth _ {\ alpha} (\ mu).}

И в ZF для любого кардинала κ и ординалов α и β:

ℶ β (ℶ α (κ)) = ℶ α + β (κ). {\ displaystyle \ beth _ {\ beta} (\ beth _ {\ alpha} (\ kappa)) = \ beth _ {\ alpha + \ beta} (\ kappa).}

{\ displaystyle \ beth _ {\ beta} (\ beth _ {\ alpha} (\ kappa)) = \ beth _ {\ alpha + \ beta} (\ kappa).}

Следовательно, в Цермело –Теория множеств Френкеля отсутствует ur-элементы с аксиомой выбора или без нее, для любых кардиналов κ и μ, равенство

ℶ β (κ) = ℶ β (μ) {\ displaystyle \ beth _ {\ beta} (\ kappa) = \ beth _ {\ beta} (\ mu)}

{\ Displaystyle \ Бет _ {\ бета} (\ каппа) = \ Бет _ {\ бета} (\ му)}

выполняется для всех достаточно больших ординалов β. То есть существует ординал α такой, что равенство выполняется для любого ординала β ≥ α.

Это также верно в теории множеств Цермело – Френкеля с ur-элементами (с аксиомой выбора или без нее), при условии, что ur-элементы образуют множество, равное количеству чистого множества (набор, транзитивное замыкание не содержит ur-элементов). Если аксиома выбора верна, то любой набор ur-элементов равнозначен чистому набору.

См. Также

Ссылки

^ «Полный список символов теории множеств». Математическое хранилище. 2020-04-11. Проверено 5 сентября 2020 г.
^ "Beth numbers". planetmath.org. Проверено 5 сентября 2020 г.

Библиография

T. Э. Форстер, Теория множеств с универсальным множеством: исследование нетипизированной Вселенной, Oxford University Press, 1995 - Число Бет определено на странице 5.
Белл, Джон Лейн; Сломсон, Алан Б. (2006) [1969]. Модели и ультрапродукты: введение (перепечатка изд. 1974 г.). Dover Publications. ISBN 0-486-44979-3.См. Стр. 6 и 204–205 для получения информации о числах.
Ройтман, Джудит (2011). Введение в современную теорию множеств. Университет Содружества Вирджинии. ISBN 978-0-9824062-4-3.См. Стр. 109 для получения более подробной информации.