Обычный кардинал

редактировать

В теории множеств, обычное кардинальное число - это кардинальное число, которое равно его собственному cofinality. Более конкретно, это означает, что $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ каппа$ является обычным кардиналом тогда и только тогда, когда каждое неограниченное подмножество $C ⊆ κ {\ displaystyle C \ substeq \ kappa}$ ${\ displaystyle C \ substeq \ kappa}$ имеет мощность $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ каппа$ . Бесконечные упорядоченные кардиналы, которые не являются регулярными, называются единственными кардиналами . Конечные кардинальные числа обычно не называют правильными или единственными.

При наличии аксиомы выбора любое количественное число может быть хорошо упорядоченным, и тогда следующие значения эквивалентны для кардинала $κ { \ displaystyle \ kappa}$ $\ каппа$ :

$κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ каппа$ - обычный кардинал.
Если $κ = ∑ i ∈ I λ i {\ displaystyle \ kappa = \ sum _ {i \ in I} \ lambda _ {i}}$ ${\ displaystyle \ kappa = \ sum _ {i \ in I} \ lambda _ {i}}$ и $λ i < κ {\displaystyle \lambda _{i}<\kappa }$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i} <\ kappa}$ для всех $i {\ displaystyle i}$ $i$ , тогда $| Я | ≥ κ {\ displaystyle | I | \ geq \ kappa}$ ${\ displaystyle | I | \ geq \ kappa}$ .
Если $S = ⋃ i ∈ IS, я {\ displaystyle S = \ bigcup _ {i \ in I} S_ {i}}$ ${\ displaystyle S = \ bigcup _ {i \ in I} S_ {i}}$ , а если $| Я | < κ {\displaystyle |I|<\kappa }$ ${\ displaystyle | I | <\ kappa}$ и $| S i | < κ {\displaystyle |S_{i}|<\kappa }$ ${ \ displaystyle | S_ {i} | <\ kappa}$ для всех $i {\ displaystyle i}$ $i$ , затем $| S | < κ {\displaystyle |S|<\kappa }$ ${\ displaystyle | S | <\ каппа}$ .
Категория $Установить < κ {\displaystyle \operatorname {Set} _{<\kappa }}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Set} _ {<\ kappa}}$ наборов мощности меньше $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ каппа$ и все функции между ними закрываются под копределами мощности меньше $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ каппа$ .

Грубо говоря, это означает, что обычный кардинал - это такой кардинал, который нельзя разбить на небольшое количество более мелких частей.

Ситуация немного сложнее в контекстах, где аксиома выбора может не сработать, поскольку в этом случае не все кардиналы обязательно являются мощностями хорошо упорядоченных множеств. В этом случае указанная выше эквивалентность сохраняется только для хорошо упорядочиваемых кардиналов.

Бесконечный порядковый номер $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ - это обычный порядковый номер, если это предельный порядковый номер, который не является предел набора меньших порядковых номеров, который в качестве набора имеет тип заказа меньше, чем $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ . Обычный порядковый номер всегда является начальным порядковым номером, хотя некоторые начальные порядковые номера не являются правильными, например, $ω ω {\ displaystyle \ omega _ {\ omega}}$ $\ omega _ {\ omega}$ (см. пример ниже).

Содержание

1 Примеры
2 Свойства
3 См. Также
4 Ссылки

Примеры

Порядковые числа меньше $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ конечно. Конечная последовательность конечных порядковых чисел всегда имеет конечный максимум, поэтому $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ не может быть пределом любой последовательности типа меньше $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ , чьи элементы являются порядковыми номерами меньше $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ и, следовательно, являются обычными порядковыми числами. $ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ алеф _ {0}$ (aleph-null ) является обычным кардиналом, поскольку его начальный порядковый номер $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ , регулярно. Также можно непосредственно увидеть, что он является регулярным, поскольку кардинальная сумма конечного числа конечных кардинальных чисел сама конечна.

$ω + 1 {\ displaystyle \ omega +1}$ $\ omega +1$ - это следующее порядковое число, большее, чем $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ . Это единственное число, так как это не предельный ординал. $ω + ω {\ displaystyle \ omega + \ omega}$ $\ omega + \ omega$ - следующий порядковый номер предела после $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ . Его можно записать как предел последовательности $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ , $ω + 1 {\ displaystyle \ omega +1}$ $\ omega +1$ , $ω + 2 {\ displaystyle \ omega +2}$ $\ omega +2$ , $ω + 3 {\ displaystyle \ omega +3}$ $\ omega +3$ и так далее. Эта последовательность имеет тип порядка $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ , поэтому $ω + ω {\ displaystyle \ omega + \ omega}$ $\ omega + \ omega$ является пределом последовательности типа меньше $ω + ω {\ displaystyle \ omega + \ omega}$ $\ omega + \ omega$ , чьи элементы являются порядковыми числами меньше $ω + ω {\ displaystyle \ omega + \ omega}$ $\ omega + \ omega$ ; поэтому это единственное число.

$ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ $\ aleph _ {1}$ - следующее кардинальное число больше, чем $ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ алеф _ {0}$ , поэтому кардиналы меньше $ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ $\ aleph _ {1}$ являются счетными (конечными или счетными). Принимая аксиому выбора, объединение счетного множества счетных множеств само является счетным. Итак, $ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ $\ aleph _ {1}$ не может быть записано как сумма счетного набора счетных количественных чисел и является правильным.

$ℵ ω {\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$ $\ aleph _ {\ omega}$ - следующее количественное число после последовательности $ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ алеф _ {0}$ , $ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ $\ aleph _ {1}$ , $ℵ 2 {\ displaystyle \ aleph _ {2}}$ $\ aleph _ {2}$ , $ℵ 3 {\ displaystyle \ aleph _ {3}}$ $\ aleph_3$ и т. д.. Его начальный порядковый номер $ω ω {\ displaystyle \ omega _ {\ omega}}$ $\ omega _ {\ omega}$ является пределом последовательности $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ , $ω 1 {\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ , $ω 2 {\ displaystyle \ omega _ {2}}$ $\ omega _ {2}$ , $ω 3 {\ displaystyle \ omega _ {3}}$ $\ omega _ {3}$ и т. д., которые имеют порядок введите $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ , поэтому $ω ω {\ displaystyle \ omega _ {\ omega}}$ $\ omega _ {\ omega}$ является единственным числом, как и $ℵ ω {\ Displaystyle \ Алеф _ {\ omega}}$ $\ aleph _ {\ omega}$ . Предполагая выбранную аксиому, $ℵ ω {\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$ $\ aleph _ {\ omega}$ - это первый бесконечный кардинал, который является единичным (первый бесконечный порядковый номер, являющийся единичным, равен $ω + 1 {\ displaystyle \ omega +1}$ $\ omega +1$ ). Для доказательства существования единичных кардиналов требуется аксиома замены, а также невозможность доказать существование $ℵ ω {\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$ $\ aleph _ {\ omega}$ в теория множеств Цермело - вот что привело Френкеля к постулированию этой аксиомы.

Свойства

Бесчисленные (слабые) предельные кардиналы которые также являются регулярными, известны как (слабо) недоступные кардиналы. Их существование в ZFC невозможно доказать, хотя известно, что их существование несовместимо с ZFC. Их существование иногда воспринимается как дополнительная аксиома. Недоступные кардиналы обязательно являются фиксированными точками алеф-функции, хотя не все фиксированные точки являются регулярными. Например, первая фиксированная точка является пределом $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ -последовательности $ℵ 0, ℵ ℵ 0, ℵ ℵ ℵ 0,... {\ displaystyle \ aleph _ {0}, \ aleph _ {\ aleph _ {0}}, \ aleph _ {\ aleph _ {\ aleph _ {0}}},...}$ $\ aleph _ {0}, \ aleph _ {{\ aleph _ {0}}}, \ aleph _ {{\ алеф _ {{\ алеф _ {0}}}}},...$ и поэтому единственное число.

Если выполняется аксиома выбора, то каждый кардинал-преемник является правильным. Таким образом, регулярность или сингулярность большинства алеф-чисел может быть проверена в зависимости от того, является ли кардинал последующим кардиналом или предельным кардиналом. Невозможно доказать, что некоторые кардинальные числа равны какому-либо конкретному алефу, например, мощность континуума, значение которой в ZFC может быть любым несчетным кардиналом бесчисленной конфинальности (см. теорему Истона ). Гипотеза континуума постулирует, что мощность континуума равна $ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ $\ aleph _ {1}$ , что является правильным.

Без аксиомы выбора были бы количественные числа, которые нельзя было бы хорошо упорядочить. Более того, кардинальная сумма произвольного набора не может быть определена. Следовательно, только числа алефа могут значимо называться регулярными или единственными кардиналами. Более того, алеф-преемник не обязательно должен быть обычным. Например, объединение счетного множества счетных множеств не обязательно должно быть счетным. Это согласуется с ZF, что $ω 1 {\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ должен быть пределом счетной последовательности счетных порядковых чисел, а также множества действительных числа - счетное объединение счетных множеств. Кроме того, ZF соответствует тому, что каждый алеф, размер которого превышает $ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ алеф _ {0}$ , является единичным (результат доказал Моти Гитик ).

См. Также

Недоступный кардинал

Ссылки

Герберт Б. Эндертон, Элементы теории множеств, ISBN 0-12- 238440-7
Кеннет Кунен, Теория множеств, Введение в доказательства независимости, ISBN 0-444-85401-0