Теория множеств

редактировать
Раздел математики, изучающий множества A Диаграмма Венна, иллюстрирующая пересечение двух наборы.

теория множеств - это ветвь математической логики, изучающая множества, которые неформально представляют собой совокупности объектов. Хотя любой тип объекта может быть собран в набор, теория множеств чаще всего применяется к объектам, имеющим отношение к математике. Язык теории множеств можно использовать для определения почти всех математических объектов.

Современное изучение теории множеств было начато Георгом Кантором и Ричардом Дедекиндом в 1870-х годах. После открытия парадоксов в наивной теории множеств, таких как парадокс Рассела, в начале двадцатого века были предложены многочисленные системы аксиом, из которых аксиомы Цермело – Френкеля, с или без аксиомы выбора, являются наиболее известными.

Теория множеств обычно используется в качестве фундаментальной системы математики, особенно в форме теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора. Помимо своей основополагающей роли, теория множеств представляет собой самостоятельную ветвь математики с активным исследовательским сообществом. Современные исследования теории множеств включают в себя широкий набор тем, от структуры строки вещественного числа до исследования непротиворечивости больших кардиналов.

Содержание

  • 1 История
  • 2 Основные концепции и обозначения
  • 3 Некоторая онтология
  • 4 Аксиоматическая теория множеств
  • 5 Приложения
  • 6 Области исследований
    • 6.1 Комбинаторная теория множеств
    • 6.2 Описательные множества Теория
    • 6.3 Теория нечетких множеств
    • 6.4 Теория внутренней модели
    • 6.5 Большие кардиналы
    • 6.6 Детерминированность
    • 6.7 Принудительное воздействие
    • 6.8 Кардинальные инварианты
    • 6.9 Теоретико-множественная топология
  • 7 Возражения установить теорию как основу математики
  • 8 Теория множеств в математическом образовании
  • 9 См. также
  • 10 Примечания
  • 11 Ссылки
  • 12 Дополнительная литература
  • 13 Внешние ссылки

История

Георг Кантор.

Математические темы обычно возникают и развиваются в результате взаимодействия между многими исследователями. Теория множеств, однако, была основана в одной статье 1874 года Георга Кантора : «Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел ".

Начиная с V века до нашей эры, начиная с Греческий математик Зенон Элейский на Западе и первые индийские математики на Востоке, математики боролись с концепцией бесконечности. Особенно примечательно это работа Бернара Больцано в первой половине XIX века. Современное понимание бесконечности началось в 1870–1874 годах и было мотивировано работой Кантора в реальном анализе. Встреча 1872 года между Кантором и Ричардом Дедекиндом повлияли на мышление Кантора и достигли высшей точки в работе Кантора 1874 года.

Работа Кантора изначально поляризовала математиков того времени. Карл Вейерштрасс и Дедекинд поддерживали Кантор, Леопольд Кронекер, который теперь считается основателем математического конструктивизма, не сделал этого. Канторовская теория множеств в конечном итоге получила широкое распространение ad, благодаря полезности канторовских понятий, таких как взаимно-однозначное соответствие между множествами, его доказательством того, что действительных чисел больше, чем целых, и «бесконечности бесконечностей» "(" рай Кантора ") в результате операции power set. Эта полезность теории множеств привела к статье «Mengenlehre», внесенной в 1898 году Артуром Шенфлисом в энциклопедию Клейна.

Следующая волна ажиотажа в теории множеств пришла примерно в 1900 году, когда она была открыта. что некоторые интерпретации канторовской теории множеств породили несколько противоречий, называемых антиномиями или парадоксами. Бертран Рассел и Эрнст Цермело независимо друг от друга обнаружили простейший и наиболее известный парадокс, который теперь называется парадоксом Рассела : рассмотрите «множество всех множеств, которые не являются членами самих себя. ", что ведет к противоречию, поскольку он должен быть членом самого себя, а не самого себя. В 1899 году Кантор сам задал вопрос «Какое кардинальное число множества всех множеств?» И получил связанный с этим парадокс. Рассел использовал свой парадокс в качестве темы в своем обзоре континентальной математики 1903 года в своей книге Принципы математики.

В 1906 году английские читатели получили книгу «Теория множеств точек, написанная мужем и женой Уильям Генри Янг и Грейс Чизхолм Янг, опубликовано Cambridge University Press.

Импульс теории множеств был таков, что дебаты о парадоксах не привели к отказу от нее. Работа Цермело в 1908 году и работа Абрахама Френкеля и Торальфа Сколема в 1922 году привели к набору аксиом ZFC, который стал наиболее часто используемым набором аксиом теории множеств. Работа аналитиков, например, Анри Лебега, продемонстрировала огромную математическую полезность теории множеств, которая с тех пор стала неотъемлемой частью современной математики. Теория множеств обычно используется в качестве базовой системы, хотя в некоторых областях, таких как алгебраическая геометрия и алгебраическая топология - теория категорий считается предпочтительной основой.

Основные понятия и обозначения

Теория множеств начинается с фундаментального бинарного отношения между объектом o и множеством A. Если o является элементом (или элемент) матрицы A используется обозначение o ∈ A. Набор описывается перечислением элементов, разделенных запятыми, или характеристическим свойством его элементов в фигурных скобках {}. Поскольку множества являются объектами, отношение членства также может связывать множества.

Производное двоичное отношение между двумя наборами - это отношение подмножества, также называемое включением набора. Если все элементы множества A также являются членами множества B, то A является подмножеством B, обозначенным A ⊆ B. Например, {1, 2} является подмножеством {1, 2, 3}, как и {2}, но не {1, 4}. Как следует из этого определения, набор - это подмножество самого себя. Для случаев, когда такая возможность не подходит или имеет смысл отвергнуть, определяется термин собственное подмножество. A называется собственным подмножеством B тогда и только тогда, когда A является подмножеством B, но A не равно B. Кроме того, 1, 2 и 3 являются членами (элементами) набора {1, 2, 3}, но не являются его подмножествами; и, в свою очередь, подмножества, такие как {1}, не являются членами набора {1, 2, 3}.

Так же, как арифметика включает бинарные операции над числами, теория множеств предусматривает бинарные операции над множествами. Ниже приводится их частичный список:

  • Объединение множеств A и B, обозначенное A ∪ B, представляет собой набор всех объектов, которые являются членами A, или B, или обоих. Например. объединение {1, 2, 3} и {2, 3, 4} - это множество {1, 2, 3, 4}.
  • Пересечение множеств A и B, обозначенное A ∩ B, - это набор всех объектов, которые являются членами как A, так и B. Например, пересечение {1, 2, 3} и {2, 3, 4} - это набор {2, 3}.
  • Установить разницу U и A, обозначенное U \ A, - это множество всех членов U, которые не являются членами A. Разница множеств {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} равна {1}, в то время как, наоборот, разность множеств {2, 3, 4} \ {1, 2, 3} равна {4}. Когда A является подмножеством U, разность множеств U \ A также называется дополнением к A в U. В этом случае, если выбор U ясен из контекста, обозначение A иногда используется вместо U \ A, особенно если U является универсальным множеством, как в исследовании диаграмм Венна.
  • Симметричная разность множеств A и B, обозначенная A △ B или A ⊖ B - это набор всех объектов, которые являются членами только одного из A и B (элементы, которые находятся в одном из наборов, но не в обоих). Например, для наборов {1, 2, 3} и {2, 3, 4} набор симметричных разностей равен {1, 4}. Это разность множеств объединения и пересечения, (A ∪ B) \ (A ∩ B) или (A \ B) ∪ (B \ A).
  • Декартово произведение A и B, обозначенное A × B - это множество, членами которого являются все возможные упорядоченные пары (a, b), где a - член A, а b - член B. Например, декартово произведение {1, 2} и {красный, белый} - это {(1, красный), (1, белый), (2, красный), (2, белый)}.
  • Набор мощности из набора A, обозначенный P (A) {\ displaystyle {\ mathcal {P}} (A)}{\ mathcal {P}} (A) - это набор, членами которого являются все возможные подмножества A. Например, набор степеней { 1, 2} равно {{}, {1}, {2}, {1, 2}}.

Некоторые основные наборы, имеющие центральное значение, - это набор натуральных чисел, набор вещественные числа и пустой набор - уникальный набор, не содержащий элементов. Пустой набор также иногда называют нулевым набором, хотя это имя неоднозначно и может привести к нескольким интерпретациям.

Некоторая онтология

Начальный сегмент иерархии фон Неймана.

Набор является чистым, если все его члены являются наборами, все члены его членов являются наборами и скоро. Например, набор {{}}, содержащий только пустой набор, является непустым чистым набором. В современной теории множеств принято ограничивать внимание вселенной фон Неймана чистых множеств, и многие системы аксиоматической теории множеств предназначены для аксиоматизации только чистых множеств. У этого ограничения есть много технических преимуществ, и теряется небольшая общность, потому что практически все математические концепции могут быть смоделированы с помощью чистых множеств. Множества во вселенной фон Неймана организованы в совокупную иерархию в зависимости от того, насколько глубоко вложены их элементы, элементы элементов и т. Д. Каждому набору в этой иерархии присваивается (с помощью трансфинитной рекурсии ) порядковый номер α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha , известный как его ранг. Ранг чистого набора X {\ displaystyle X}X определяется как наименьшая верхняя граница всех преемников рангов членов Икс {\ Displaystyle X}X . Например, пустому набору присваивается ранг 0, тогда как набору {{}}, содержащему только пустой набор, назначается ранг 1. Для каждого порядкового номера α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha набор V α {\ displaystyle V _ {\ alpha}}V _ {\ alpha} определяется как состоящий из всех чистых множеств с рангом меньше α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha . Вся вселенная фон Неймана обозначается V {\ displaystyle V}V .

Аксиоматическая теория множеств

Теорию элементарных множеств можно изучать неформально и интуитивно, и поэтому ее можно преподавать в начальной школе с использованием Диаграммы Венна. Интуитивный подход неявно предполагает, что набор может быть сформирован из класса всех объектов, удовлетворяющих любому конкретному определяющему условию. Это предположение порождает парадоксы, наиболее простыми и известными из которых являются парадокс Рассела и парадокс Бурали-Форти. Аксиоматическая теория множеств была первоначально разработана, чтобы избавить теорию множеств от таких парадоксов.

Наиболее широко изученные системы аксиоматической теории множеств предполагают, что все множества образуют совокупную иерархию. Такие системы бывают двух видов, онтология которых состоит из:

Вышеупомянутые системы могут быть изменены, чтобы разрешить элементы, объекты, которые могут быть членами множеств, но не сами по себе наборы и не имеют членов.

Системы New Foundations из NFU (допускающие мочевые элементы ) и NF (без них) не основаны на совокупная иерархия. NF и NFU включают «набор всего», относительно которого каждый набор имеет дополнение. В этих системах элементы имеют значение, потому что NF, но не NFU, производит наборы, для которых аксиома выбора не выполняется.

Системы теории конструктивных множеств, такие как CST, CZF и IZF, включают свои аксиомы множеств в интуиционистскую вместо классической логики. Тем не менее, другие системы принимают классическую логику, но имеют нестандартные отношения принадлежности. К ним относятся теория грубых множеств и теория нечетких множеств, в которых значение атомарной формулы, воплощающей отношение принадлежности, не просто Истина или Ложь . Булевозначные модели из ZFC являются связанной темой.

Расширение ZFC под названием теория внутренних множеств было предложено Эдвардом Нельсоном в 1977 году.

Приложения

Многие математические концепции можно точно определить, используя только теоретико-множественные концепции. Например, такие разнообразные математические структуры, как графы, многообразия, кольца и векторные пространства, могут быть определены как наборы, удовлетворяющие различным ( аксиоматические) свойства. Эквивалентность и отношения порядка широко используются в математике, и теория математических отношений может быть описана в теории множеств.

Теория множеств также является многообещающей основополагающей системой для большей части математики. С момента публикации первого тома Principia Mathematica утверждалось, что большинство (или даже все) математических теорем могут быть получены с использованием удачно разработанного набора аксиом теории множеств, дополненного множеством определений, с использованием первый или логика второго порядка. Например, свойства натуральных и действительных чисел могут быть получены в рамках теории множеств, поскольку каждая система счисления может быть идентифицирована с помощью набора классов эквивалентности под подходящее отношение эквивалентности -, поле которого является некоторым бесконечным множеством.

Теория множеств как основа для математического анализа, топологии, абстрактной алгебры и дискретная математика также бесспорны; математики признают (в принципе), что теоремы в этих областях могут быть выведены из соответствующих определений и аксиом теории множеств. Однако остается лишь несколько полных выводов сложных математических теорем из теории множеств, которые были формально проверены, поскольку такие формальные выводы часто намного длиннее, чем обычно представляемые математиками доказательства на естественном языке. Один проект проверки, Metamath, включает написанные человеком, проверенные компьютером выводы более чем 12000 теорем, начиная с теории множеств ZFC, логики первого порядка и логика высказываний.

Области изучения

Теория множеств - важная область математических исследований со многими взаимосвязанными подполями.

Комбинаторная теория множеств

Комбинаторная теория множеств касается расширений конечной комбинаторики на бесконечные множества. Это включает в себя изучение кардинальной арифметики и изучение расширений теоремы Рамсея, таких как теорема Эрдеша – Радо.

описательная теория множеств

описательная Теория множеств - это изучение подмножеств вещественной прямой и, в более общем смысле, подмножеств польских пространств. Он начинается с изучения классов точек в иерархии Бореля и распространяется на изучение более сложных иерархий, таких как проективная иерархия и иерархия Уэджа.. Многие свойства борелевских множеств могут быть установлены в ZFC, но для доказательства того, что эти свойства выполняются для более сложных множеств, требуются дополнительные аксиомы, связанные с определенностью и большими кардиналами.

Область теории эффективных описательных множеств находится между теорией множеств и теорией рекурсии. Он включает изучение классов точек со световыми лучами и тесно связан с теорией гиперарифметики. Во многих случаях результаты классической описательной теории множеств имеют эффективные версии; в некоторых случаях новые результаты получают, сначала доказывая эффективную версию, а затем расширяя («релятивизируя») ее, чтобы сделать ее более широко применимой.

Недавняя область исследований касается отношений эквивалентности по Борелю и более сложных определяемых отношений эквивалентности. Это имеет важные приложения к изучению инвариантов во многих областях математики.

Теория нечетких множеств

В теории множеств, как определено Кантором и аксиоматизированы Цермело и Френкель, объект либо является членом множества, либо нет. В теории нечетких множеств это условие было ослаблено Лотфи А. Заде, поэтому объект имеет степень принадлежности к набору, число от 0 до 1. Например, степень принадлежности принадлежность человека к группе «высокие люди» более гибкая, чем простой ответ «да» или «нет», и может быть действительным числом, например 0,75.

Теория внутренней модели

Внутренняя модель теории множеств Цермело – Френкеля (ZF) - это транзитивный класс, который включает в себя все ординалы и удовлетворяет всем аксиомам ZF. Каноническим примером является конструируемая вселенная L, разработанная Гёделем. Одна из причин, по которой исследование внутренних моделей представляет интерес, заключается в том, что его можно использовать для доказательства согласованности результатов. Например, можно показать, что независимо от того, удовлетворяет ли модель V ZF континуальной гипотезе или аксиоме выбора , внутренняя модель L, построенная внутри исходной модели, будет удовлетворять обоим гипотеза обобщенного континуума и аксиома выбора. Таким образом, предположение, что ZF согласован (имеет по крайней мере одну модель), означает, что ZF вместе с этими двумя принципами согласован.

Изучение внутренних моделей является обычным делом при изучении определенности и больших кардиналов, особенно при рассмотрении таких аксиом, как аксиома определенности, которые противоречат аксиоме выбора.. Даже если фиксированная модель теории множеств удовлетворяет выбранной аксиоме, внутренняя модель может не удовлетворять выбранной аксиоме. Например, существование достаточно больших кардиналов подразумевает, что существует внутренняя модель, удовлетворяющая аксиоме определенности (и, следовательно, не удовлетворяющая выбранной аксиоме).

Большие кардиналы

Большие кардиналы - это Кардинальное число с дополнительным свойством. Многие такие свойства изучаются, в том числе недоступные кардиналы, измеримые кардиналы и многие другие. Эти свойства обычно подразумевают, что кардинальное число должно быть очень большим, при этом существование кардинала с указанным свойством недоказуемо в теории множеств Цермело-Френкеля.

Детерминированность

Детерминированность относится к тому факту, что при Если исходить из соответствующих предположений, то некоторые игры с идеальной информацией для двух игроков определяются с самого начала в том смысле, что у одного игрока должна быть выигрышная стратегия. Существование этих стратегий имеет важные последствия для описательной теории множеств, поскольку предположение о том, что определен более широкий класс игр, часто подразумевает, что более широкий класс множеств будет обладать топологическим свойством. аксиома детерминированности (AD) - важный объект исследования; хотя это и несовместимо с выбранной аксиомой, AD подразумевает, что все подмножества действительной прямой имеют хорошее поведение (в частности, измеримы и обладают свойством идеального множества). AD можно использовать, чтобы доказать, что степени Уэджа имеют элегантную структуру.

Форсирование

Пол Коэн изобрел метод форсирования при поиске модели из ZFC, в которой гипотеза континуума не работает, или модель ZF, в которой аксиома выбора не работает. Принуждение присоединяется к некоторой заданной модели теории множеств дополнительных наборов, чтобы создать более крупную модель со свойствами, определяемыми (т.е. «принудительными») конструкцией и исходной моделью. Например, конструкция Коэна присоединяет дополнительные подмножества натуральных чисел без изменения каких-либо кардинальных чисел исходной модели. Форсирование также является одним из двух методов доказательства относительной непротиворечивости с помощью финитистических методов, второй метод - это булевозначные модели.

Кардинальные инварианты

Кардинальный инвариант - это свойство реальная линия измеряется кардинальным числом. Например, хорошо изученный инвариант - это наименьшая мощность набора скудных множеств вещественных чисел, объединением которых является вся вещественная линия. Это инварианты в том смысле, что любые две изоморфные модели теории множеств должны давать одинаковый кардинал для каждого инварианта. Многие кардинальные инварианты были изучены, и отношения между ними часто сложны и связаны с аксиомами теории множеств.

Теоретико-множественная топология

Теоретико-множественная топология изучает вопросы общей топологии, которые имеют теоретико-множественный характер или для решения которых требуются передовые методы теории множеств. Многие из этих теорем не зависят от ZFC, и для их доказательства требуются более сильные аксиомы. Известной проблемой является вопрос о нормальном пространстве Мура, вопрос общей топологии, который был предметом интенсивных исследований. В конечном итоге было доказано, что ответ на обычный вопрос о пространстве Мура не зависит от ZFC.

Возражения против теории множеств как основы математики

С самого начала теории множеств возражали против нее как основы математики. Наиболее частое возражение против теории множеств, которое Кронекер высказывалось в первые годы существования теории множеств, начинается с конструктивистской точки зрения, согласно которой математика слабо связана с вычислениями. Если эта точка зрения будет предоставлена, то рассмотрение бесконечных множеств, как в наивном, так и в аксиоматической теории множеств, вводит в математику методы и объекты, которые невозможно вычислить даже в принципе. Возможность использования конструктивизма в качестве альтернативы математике была значительно увеличена благодаря влиятельной книге Эрретта Бишопа «Основы конструктивного анализа».

Другое возражение, выдвинутое Анри Пуанкаре заключается в том, что определение множеств с использованием схем аксиом спецификации и замены, а также аксиомы сильного множества вводит отрицательную способность, тип округлости, в определения математических объектов. Сфера применения математики, основанной на предсказаниях, хотя и меньше, чем у общепринятой теории Цермело-Френкеля, но гораздо больше, чем у конструктивной математики, до такой степени, что Соломон Феферман сказал, что «весь научно применимый анализ могут быть разработаны [с использованием методов предсказания] ».

Людвиг Витгенштейн философски осудил теорию множеств за ее коннотации математического платонизма. Он писал, что «теория множеств ошибочна», поскольку она строится на «бессмыслице» фиктивного символизма, имеет «пагубные идиомы» и что бессмысленно говорить о «всех числах». Витгенштейн отождествлял математику с алгоритмической человеческой дедукцией; потребность в надежном фундаменте математики казалась ему бессмысленной. Более того, поскольку человеческие усилия неизбежно конечны, философия Витгенштейна требовала онтологической приверженности радикальному конструктивизму и конечности. Мета-математические утверждения, которые, по Витгенштейну, включали в себя любое утверждение, количественно оценивающее бесконечные области, и, таким образом, почти вся современная теория множеств, не являются математикой. Немногие современные философы приняли взгляды Витгенштейна после зрелищной ошибки в Замечаниях об основах математики : Витгенштейн попытался опровергнуть теоремы Гёделя о неполноте, прочитав только аннотацию. Как отмечали рецензенты Крайзель, Бернейс, Даммет и Гудштейн, многие из его критических замечаний не относились к статье полностью.. Только недавно такие философы, как Криспин Райт, начали реабилитировать аргументы Витгенштейна.

Теоретики категорий предложили теорию топосов в качестве альтернативы традиционной аксиоматической теории множеств. Теория Топоса может интерпретировать различные альтернативы этой теории, такие как конструктивизм, теория конечных множеств и теория вычислимых множеств. Топои также создают естественную среду для принуждения и обсуждения независимости выбора от ZF, а также обеспечивают основу для бессмысленной топологии и каменных пространств.

Активной областью исследований является однолистные основания и связанные с ними теория гомотопического типа. В рамках теории гомотопических типов набор может рассматриваться как гомотопический 0-тип с универсальными свойствами множеств, возникающими из индуктивных и рекурсивных свойств высших индуктивных типов. Такие принципы, как аксиома выбора и закон исключенного середины, могут быть сформулированы способом, соответствующим классической формулировке в теории множеств, или, возможно, спектром различных способов, уникальных для теория типов. Некоторые из этих принципов могут оказаться следствием других принципов. Разнообразие формулировок этих аксиоматических принципов позволяет проводить подробный анализ формулировок, необходимых для получения различных математических результатов.

Теория множеств в математическом образовании

Поскольку теория множеств приобрела популярность в качестве основы для современной математики была поддержана идея введения базовой теории или теории наивных множеств в начале математического образования.

В США в 1960-х годах новая математика Эксперимент был направлен на преподавание основной теории множеств, среди других абстрактных понятий, учащихся начальных классов, но был встречен большой критикой. Учебная программа по математике в европейских школах следовала этой тенденции и в настоящее время включает этот предмет на разных уровнях во всех классах.

Теория множеств используется для ознакомления студентов с логическими операторами (НЕ, И, ИЛИ) и семантическим описанием или описанием правил (технически интенсиональным определением ) множеств, ( например, «месяцы, начинающиеся с буквы А»). Это может быть полезно при изучении компьютерного программирования, поскольку наборы и логическая логика являются базовыми строительными блоками многих языков программирования.

Наборы обычно используются при обучении различным типам чисел (N, Z, R,...), а также при определении математических функций как отношения между двумя наборами.

См. Также

  • значок Портал математики

Примечания

Ссылки

Дополнительная литература

Внешние ссылки

В Викиучебнике есть книга по теме: Дискретная математика / теория множеств
Последняя правка сделана 2021-06-08 01:34:59
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте