Войти
В математической логике, Boolean- оценочная модель является обобщением обычного тарского понятия структуры из теории моделей. В булевозначной модели значения истинности из предложений не ограничиваются «истинным» и «ложным», а вместо этого принимают значения в некоторой фиксированной полной булевой алгебре.
булевозначные модели были введены Даной Скотт, Робертом М. Соловаем и Петром Вопенькой в 1960-х годах, чтобы помочь понять Пола Метод Коэна принуждения к. Они также связаны с семантикой алгебры Гейтинга в интуиционистской логике.
Исправьте полную булеву алгебру B и язык первого порядка L; подпись L будет состоять из набора постоянных символов, функциональных символов и символов отношения.
Булевозначная модель для языка L состоит из юниверса M, который представляет собой набор элементов (или имен ) вместе с интерпретациями символов. В частности, модель должна назначить каждому константному символу L элемент M, а также каждому n-арному функциональному символу f из L и каждому кортежу из n
Интерпретация атомарных формул L более сложна. Каждой паре a и b элементов M модель должна присвоить значение истинности || a = b || к выражению a = b; это значение истинности берется из булевой алгебры B. Аналогично, для каждого n-арного символа отношения R в L и каждого n-кортежа
Значения истинности атомарных формул можно использовать для восстановления значений истинности более сложных формул, используя структуру булевой алгебры. Для пропозициональных связок это легко; один просто применяет соответствующие логические операторы к значениям истинности подформул. Например, если φ (x) и ψ (y, z) - формулы с одной и двумя свободными переменными соответственно, и если a, b, c - элементы вселенной модели, которые необходимо заменить на x, y и z, то значение истинности
просто
Полнота булевой алгебры требуется для определения значений истинности для количественных формул. Если φ (x) - формула со свободной переменной x (и, возможно, с другими свободными переменными, которые подавляются), то
, где правая часть должна пониматься как супремум в B множества всех истинностных значений || φ (a) || поскольку диапазон превышает M.
Истинное значение формулы иногда называют ее вероятностью. Однако это не вероятности в обычном смысле, потому что они не действительные числа, а скорее элементы полной булевой алгебры B.
Для полной булевой алгебры B существует булевозначная модель, обозначенная V, которая является булевозначным аналогом вселенной фон Неймана V. (Строго говоря, V является правильным классом, поэтому нам нужно соответствующим образом переосмыслить, что значит быть моделью.) Неформально элементы V являются «булевозначными множествами». Для обычного набора A каждый набор либо является, либо не является членом; но с учетом булевозначного набора каждый набор имеет определенную фиксированную «вероятность» быть членом A. Опять же, «вероятность» - это элемент B, а не действительное число. Концепция булевозначных множеств напоминает, но не то же самое, что понятие нечеткого множества.
("вероятностные") элементы булевозначного множества, в свою очередь, также являются булевозначными множества, элементы которых также являются булевозначными множествами и т. д. Чтобы получить некруглое определение булевозначного множества, они определяются индуктивно в иерархии, аналогичной кумулятивной иерархии . Для каждого ординала α множества V множество V α определяется следующим образом.
Класс V определяется как объединение всех множеств V α.
Также возможно преобразовать всю эту конструкцию в некоторую транзитивную модель M из ZF (или иногда ее фрагмент). Булевозначная модель M получается путем применения вышеупомянутой конструкции внутри M. Ограничение на транзитивные модели несерьезно, поскольку теорема о коллапсе Мостовского подразумевает, что каждая "разумная" (хорошо обоснованная, экстенсиональная) модель изоморфна транзитивной. (Если модель M не является транзитивной, все становится еще сложнее, поскольку интерпретация M того, что значит быть «функцией» или «порядковым номером», может отличаться от «внешней» интерпретации.)
Когда-то элементы V определены, как указано выше, необходимо определить B-значные отношения равенства и принадлежности на V. Здесь B-значное отношение на V - это функция из V × V в B. Во избежание путаницы с обычным равенством и принадлежностью., они обозначаются || x = y || и || x ∈ y || для x и y в V. Они определены следующим образом:
Символы ∑ и ∏ обозначают операции наименьшей верхней границы и наибольшей нижней границы, соответственно, в полной булевой алгебре B. На первый взгляд, приведенные выше определения кажутся круглыми: || ∈ || зависит от || = ||, который зависит от || ⊆ ||, который зависит от || ∈ ||. Однако внимательное рассмотрение показывает, что определение || ∈ || зависит только от || ∈ || для элементов меньшего ранга, поэтому || ∈ || и || = || - корректно определенные функции из V × V в B.
Можно показать, что B-значные отношения || ∈ || и || = || на V превращают V в булевозначную модель теории множеств. Каждое предложение теории множеств первого порядка без свободных переменных имеет значение истинности в B; необходимо показать, что аксиомы равенства и все аксиомы теории множеств ZF (написанные без свободных переменных) имеют значение истинности 1 (самый большой элемент B). Это простое доказательство, но оно длинное, потому что существует множество различных аксиом, которые необходимо проверить.
Теоретики множеств используют технику под названием принуждение для получения результатов независимости и для построения моделей теории множеств для других целей. Метод был первоначально разработан Полом Коэном, но с тех пор был значительно расширен. В одной форме форсирование «добавляет к юниверсу» универсальное подмножество poset, при этом poset разработан для наложения интересных свойств на вновь добавленный объект. Сложность в том, что (для интересных посетов) можно доказать, что такого общего подмножества не существует. Есть три обычных способа справиться с этим:
определено между элементами p позиции. и формулы φ вынуждающего языка. Это отношение определяется синтаксически и не имеет семантики; то есть ни одной модели никогда не производили. Скорее, начиная с предположения, что ZFC (или какая-то другая аксиоматизация теории множеств) доказывает независимое утверждение, можно показать, что ZFC также должен быть в состоянии доказать противоречие. Однако форсирование осуществляется «через V»; то есть необязательно начинать со счетной транзитивной модели. См. Описание этого метода в Kunen (1980).Булевозначные модели могут использоваться для придания семантики синтаксическому форсированию; заплаченная цена состоит в том, что семантика не является двузначной («истина или ложь»), а присваивает значения истинности из некоторой полной булевой алгебры. Учитывая принудительный poset P, существует соответствующая полная булева алгебра B, часто получаемая как набор регулярных открытых подмножеств в P, где топология на P определяется объявлением всех нижние наборы открыты (и все верхние наборы закрыты). (Другие подходы к построению B обсуждаются ниже.)
Теперь порядок на B (после удаления нулевого элемента) может заменить P для целей принуждения, и отношение принуждения можно интерпретировать семантически, сказав, что для p элемент из B и φ формула языка принуждения,
где || φ || является значением истинности φ в V.
Этот подход позволяет присвоить семантику форсированию V без обращения к вымышленным универсальным объектам. Недостатки состоят в том, что семантика не является двузначной и комбинаторика B часто сложнее, чем у базового poset P.
Одна интерпретация принуждения начинается со счетной транзитивной модели M теории множеств ZF, частично упорядоченного множества P и «общего» подмножества G в P и строит новую модель теории множеств ZF из этих объектов. (Условия счетности и транзитивности модели упрощают некоторые технические проблемы, но не являются существенными.) Конструкция Коэна может быть выполнена с использованием булевозначных моделей следующим образом.
Теперь мы объясните эти шаги более подробно.
Для любого ч.у. множества P существует полная булева алгебра B и отображение e из P в B (ненулевые элементы B) такие, что изображение плотное, e (p) ≤e (q) всякий раз, когда p≤q, и e (p) e (q) = 0, когда p и q несовместимы. Эта булева алгебра единственна с точностью до изоморфизма. Его можно построить как алгебру регулярных открытых множеств в топологическом пространстве P (с базовым множеством P и базой, заданной множествами U p элементов q с q≤p).
Отображение ч.у.м. P в полную булеву алгебру B, вообще говоря, не инъективно. Отображение инъективно, если и только если P обладает следующим свойством: если каждое r≤p совместимо с q, то p≤q.
Ультрафильтр U на B определяется как набор элементов b из B, которые больше, чем некоторый элемент (образа) G. Для данного ультрафильтра U на булевой алгебре мы получаем гомоморфизм {истина, ложь} путем преобразования U в истину и его дополнение в ложь. Наоборот, при таком гомоморфизме прообраз истины является ультрафильтром, поэтому ультрафильтры по сути такие же, как гомоморфизмы к {истина, ложь}. (Алгебраисты могут предпочесть использовать максимальные идеалы вместо ультрафильтров: дополнение к ультрафильтру является максимальным идеалом, и, наоборот, дополнение к максимальному идеалу является ультрафильтром.)
Если g - гомоморфизм из булевой алгебры B для булевой алгебры C, а M - это любая B-значная модель ZF (или любой другой теории, если на то пошло), мы можем превратить M в C-значную модель, применив гомоморфизм g к значению всех формул. В частности, если C равно {true, false}, мы получаем модель со значением {true, false}. Это почти то же самое, что и обычная модель: фактически мы получаем обычную модель на множестве классов эквивалентности при || = || модели с {истинным, ложным} значением. Итак, мы получаем обычную модель теории множеств ZF, начиная с M, булевой алгебры B и ультрафильтра U на B. (Модель ZF, построенная таким образом, не является транзитивной. На практике применяется теорема о коллапсе Мостовского , чтобы превратить это в транзитивную модель.)
Мы видели, что форсирование может быть выполнено с использованием булевозначных моделей, построив булеву алгебру с ультрафильтром из чугуна с общим подмножеством. Также можно вернуться назад: для булевой алгебры B мы можем сформировать ч.у.м. P из всех ненулевых элементов B, а общий ультрафильтр на B ограничивается общим набором на P. Таким образом, методы принудительного применения и булевозначные модели по существу эквивалентны.
