Войти
В математической логике, независимость - это недоказуемость предложение из других предложений.
A предложение σ является независимым от данной теории первого порядка T, если T не доказывает и не опровергает σ; то есть невозможно доказать σ из T, а также невозможно доказать из T, что σ ложно. Иногда σ говорят (как синонимы) как неразрешимую из T; это не то же самое значение слова «разрешимость », как в проблеме принятия решения.
Теория T независима, если каждая аксиома в T не доказуема из остальных аксиом в T. Теория, для которой существует независимый набор аксиом, независимо аксиоматизируема .
Некоторые авторы говорят, что σ не зависит от T, когда T просто не может доказать σ, и не обязательно утверждают этим, что T не может опровергнуть σ. Эти авторы иногда говорят, что «σ не зависит от T и согласуется с ним», чтобы указать, что T не может ни доказать, ни опровергнуть σ.
Многие интересные утверждения в теории множеств не зависят от теории множеств Цермело – Френкеля (ZF). Следующие утверждения теории множеств, как известно, не зависят от ZF при условии, что ZF непротиворечиво:
Следующие утверждения (ни одно из которых не было доказано, ложное) не могут быть доказаны в ZFC (теория множеств Цермело-Френкеля плюс аксиома выбора) как независимые от ZFC, при добавленной гипотезе, что ZFC непротиворечив.
Следующие утверждения несовместимы с аксиомой выбора, и, следовательно, с ZFC. Однако они, вероятно, не зависят от ZF в смысле, соответствующем вышесказанному: они не могут быть доказаны в ZF, и немногие теоретики рабочих множеств надеются найти опровержение в ZF. Однако ZF не может доказать, что они независимы от ZF, даже с добавленной гипотезой о том, что ZF непротиворечива.
С 2000 года логическая независимость стала пониматься как имеющая решающее значение в основах физики.
