Общий фильтр

редактировать

В математическом поле теории множеств универсальный фильтр - это своего рода объект, используемый в теории принуждения, техники, используемой для многих целей, но особенно для установления независимости определенных утверждений от определенных формальных теорий, таких как ZFC. Например, Пол Коэн использовал форсирование, чтобы установить, что ZFC, если он непротиворечив, не может подтвердить гипотезу континуума, которая утверждает, что существует ровно алеф-он вещественные числа. В современной интерпретации доказательства Коэна он продолжается путем построения общего фильтра, который кодирует более $ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ $\ aleph _ {1}$ вещественных чисел, без изменения значения $ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ $\ aleph _ {1}$ .

Формально, пусть P будет частично упорядоченным множеством, и пусть F будет фильтром на P; то есть F является подмножеством P такое, что:

F непусто
Если p, q ∈ P и p ≤ q и p является элементом F, то q является элементом F ( F замкнуто вверх )
Если p и q являются элементами F, тогда существует элемент r из F такой, что r ≤ p и r ≤ q (F направлен вниз )

Теперь, если D представляет собой набор плотных открытых подмножеств P, в топологии, основные открытые множества которой - все множества вида {q | q ≤ p} для конкретного p в P, то F называется D-общим, если F встречает все множества в D; то есть

F ∩ E ≠ ∅, {\ displaystyle F \ cap E \ neq \ varnothing, \,}

{\ displaystyle F \ cap E \ neq \ varnothing, \,}

для всех E ∈ D.

Аналогично, если M является транзитивной моделью ZFC (или некоторым ее достаточным фрагментом), где P является элементом M, тогда F называется M-общим или иногда общим над M, если F встречает все плотные открытые подмножества P, которые являются элементами M.

См. также

1-универсальный в вычислимости

Ссылки

К. Чесельски (1997). Теория множеств для рабочей математики ician. Лондонское математическое общество, студенческие тексты 39. Cambridge University Press.