Войти
В математике, a направленный набор (или направленный предварительный заказ или фильтрованный набор ) - это непустой набор A вместе с рефлексивным и транзитивное бинарное отношение ≤ (то есть предзаказ ), с дополнительным свойством, что каждая пара элементов имеет верхнюю границу. Другими словами, для любых a и b в A должно существовать c в A с a ≤ c и b ≤ c.
Определенное выше понятие иногда называют направленным вверх набором . Множество, направленное вниз, определяется аналогично, что означает, что каждая пара элементов ограничена снизу. Некоторые авторы (и эта статья) предполагают, что направленный набор направлен вверх, если не указано иное. Имейте в виду, что другие авторы называют набор направленным тогда и только тогда, когда он направлен как вверх, так и вниз.
Направленные наборы являются обобщением непустых полностью упорядоченных наборов. То есть все полностью упорядоченные множества являются направленными наборами (в отличие от частично упорядоченных наборов, которые не обязательно должны быть направленными). Полурешетки Join (которые являются частично упорядоченными множествами) также являются направленными множествами, но не наоборот. Точно так же решетки направлены как вверх, так и вниз.
В топологии направленные наборы используются для определения сетей, которые обобщают последовательности и объединяют различные понятия limit используется в анализе. Направленные множества также приводят к прямым ограничениям в абстрактной алгебре и (в более общем смысле) теории категорий.
В дополнение к приведенному выше определению существует эквивалентное определение. Направленный набор - это набор A с предварительным порядком , такой, что каждое конечное подмножество A имеет верхнюю границу. В этом определении наличие верхней границы пустого подмножества означает, что A непусто.
Примеры направленных наборов включают:
Свидетель Направленные множества - более общее понятие чем (объединяемые) полурешетки: каждая полурешетка соединения является направленным множеством, поскольку соединение или наименьшая верхняя граница двух элементов является искомой c. Однако обратное неверно, свидетельствуем о том, что направленный набор {1000,0001,1101,1011,1111} упорядочен побитно (например, 1000 ≤ 1011, но 0001 ≤ 1000 нет, поскольку в последнем бите 1>0), где {1000,0001} имеет три верхние границы, но не имеет наименьшей верхней границы, ср. картина. (Также обратите внимание, что без 1111 набор не является направленным.)
Отношение порядка в направленном наборе не обязательно должно быть антисимметричным, и поэтому направленные наборы не всегда частичные заказы. Однако термин направленный набор также часто используется в контексте посетов. В этой настройке подмножество A частично упорядоченного набора (P, ≤) называется направленным подмножеством, если оно является направленным набором в соответствии с тем же частичным порядком: другими словами, это не 94>пустой набор, и каждая пара элементов имеет верхнюю границу. Здесь отношение порядка на элементах A наследуется от P; по этой причине рефлексивность и транзитивность не требуются явно.
Направленное подмножество позиции не обязательно должно быть закрыто вниз ; подмножество ч.у. направлено тогда и только тогда, когда его закрытие вниз является идеалом. Хотя определение направленного множества предназначено для «направленного вверх» набора (каждая пара элементов имеет верхнюю границу), также возможно определить направленный вниз набор, в котором каждая пара элементов имеет общую нижнюю границу. Подмножество poset направлено вниз тогда и только тогда, когда его верхнее замыкание является фильтром.
Направленные подмножества используются в теории предметной области, которая изучает направленные полные частичные порядки. Это позы, в которых каждый направленный вверх набор должен иметь наименьшую верхнюю границу. В этом контексте направленные подмножества снова обеспечивают обобщение сходящихся последовательностей.
