Фильтр (математика)

редактировать

В математике - специальное подмножество частично упорядоченного множества.

Решетка степенного набора множества {1,2, 3,4}, причем верхний набор ↑ {1,4} окрашен в темно-зеленый цвет. Это фильтр и даже главный фильтр. Это не ультрафильтр, поскольку его можно расширить до нетривиального фильтра ↑ {1} большего размера, включив также светло-зеленые элементы. Поскольку ↑ {1} не может быть расширено дальше, это ультрафильтр.

В математике фильтр является специальным подмножеством из частично заказанный комплект. Фильтры появляются в порядке и теории решетки, но их также можно найти в топологии, откуда они берутся. двойное понятие фильтра - это идеал порядка.

Фильтры были введены Анри Картаном в 1937 году и впоследствии использованы Бурбаки в своей книге Topologie Générale в качестве альтернативы аналогичной концепции сети, разработанной в 1922 году Э. Х. Мур и Х. Л. Смит.

Содержание

1 Мотивация
2 Общее определение: Фильтр по частично упорядоченному набору
3 Фильтр по набору
- 3.1 Определение фильтра
  - 3.1.1 Определение фильтра 1 : Двойной идеал
  - 3.1.2 Определение фильтра 2: Правильный двойной идеал
- 3.2 Базы фильтров, подосновы и сравнение
- 3.3 Примеры
4 Фильтры в теории моделей
5 Фильтры в топологии
- 5.1 Базы соседства
- 5.2 Базы конвергентных фильтров
- 5.3 Кластеризация
- 5.4 Свойства топологического пространства
- 5.5 Функции между топологическими пространствами
- 5.6 Фильтры Коши
6 См. Также
7 Примечания
8 Ссылки
9 Дополнительная литература

Мотивация

Интуитивно понятно, что фильтр в частично упорядоченном наборе (poset), P, является подмножеством P, которое включает в качестве членов те элементы, которые достаточно велики удовлетворять некоторому заданному критерию. Например, если x является элементом poset, то набор элементов, которые находятся выше x, является фильтром, называемым основным фильтром в x. (Если x и y являются несравнимыми элементами poset, то ни один из главных фильтров в x и y не содержится в другом, и наоборот.)

Аналогично, фильтр на множестве содержит те подмножества, которые достаточно велики, чтобы вместить некоторую данную вещь. Например, если набор представляет собой вещественную линию и x является одной из ее точек, то семейство наборов, которые включают x в свою внутреннюю часть, является фильтром, называемым фильтр окрестностей точки x. В этом случае объект немного больше x, но по-прежнему не содержит никакой другой конкретной точки линии.

Приведенные выше интерпретации объясняют условия 1 и 3 в разделе Общее определение : Очевидно, что пустой набор не является «достаточно большим», и очевидно, что набор «больших» достаточно «вещей, которые должны быть« закрыты вверх ». Однако на самом деле они не объясняют без подробностей условие 2 общего определения. Ибо почему две «достаточно большие» вещи должны содержать общую «достаточно большую» вещь?

В качестве альтернативы фильтр можно рассматривать как «схему расположения»: при попытке найти что-либо (точку или подмножество) в пространстве X, вызовите фильтр как набор подмножеств X, которые могут содержать " что ищем ". Тогда этот «фильтр» должен иметь следующую естественную структуру:

Схема определения местоположения должна быть непустой, чтобы вообще иметь какое-либо применение.
Если два подмножества, E и F, оба могут содержать «то, что ищется», то может быть и их пересечение. Таким образом, фильтр должен быть закрыт относительно конечного пересечения.
Если набор E может содержать «то, что ищется», то же самое делает и каждое его надмножество. Таким образом, фильтр закрывается снизу вверх.

Ультрафильтр можно рассматривать как «идеальную схему определения местоположения», где каждое подмножество E пространства X может использоваться для принятия решения о том, может ли «то, что ищется» лежат в E.

Исходя из этой интерпретации, компактность (см. математическую характеристику ниже) можно рассматривать как свойство, согласно которому «никакая схема расположения не может закончиться ничем», или, говоря это по-другому, «всегда что-нибудь найдется».

Математическое понятие фильтр предоставляет точный язык для строгого и общего подхода к этим ситуациям, который полезен при анализе общей топологии и логике.

Общее определение: фильтр по частично упорядоченному набору

Подмножество F частично упорядоченного набора (P, ≤) является фильтром, если выполняются следующие условия:

F непусто.
F направлено вниз : для каждого x, y ∈ F существует некоторый z ∈ F такой, что z ≤ x и z ≤ y.
F является верхним множеством или закрытым вверх : для любых x ∈ F и y ∈ P, x ≤ y означает, что y ∈ F.

Фильтр правильный, если он не равен всему набору P. Это условие иногда добавляется к определению фильтра.

Хотя приведенное выше определение является наиболее общим способом определения фильтра для произвольных наборов, изначально оно было определено только для решеток. В этом случае приведенное выше определение может быть охарактеризовано следующим эквивалентным утверждением: Подмножество F решетки (P, ≤) является фильтром, тогда и только тогда, когда это непустое верхнее множество, которое замкнуто относительно конечного infima (или соответствует ), т. е. для всех x, y ∈ F также бывает, что x ∧ y принадлежит F. Подмножество S в F является базисом фильтра, если верхний набор, сгенерированный S, состоит из F.

Наименьший фильтр, который содержит данный элемент p ∈ P, является основным фильтром и p - это главный элемент в этой ситуации. Главный фильтр для p просто задается множеством ${x ∈ P | p ≤ x} {\ displaystyle \ {x \ in P \ | \ p \ leq x \}}$ $\ {x \ in P \ | \ p \ leq x \}$ и обозначается префиксом p со стрелкой вверх: $↑ p {\ displaystyle \ uparrow p}$ $\ uparrow p$ .

двойное понятие фильтра, т. е. концепция, полученная перестановкой всех ≤ и заменой на, является идеальным . Из-за этой двойственности обсуждение фильтров обычно сводится к обсуждению идеалов. Следовательно, большую часть дополнительной информации по этой теме (включая определение максимальных фильтров и простых фильтров ) можно найти в статье о идеалах. Есть отдельная статья о ультрафильтрах.

Фильтр в наборе

Определение фильтра

Есть два завершающих определения «фильтра в наборе», оба из которых требуют, чтобы фильтр был двойным идеалом. Одно определение определяет «фильтр» как синоним «двойного идеала», в то время как другое определяет «фильтр» как обозначение двойственного идеала, который также является правильным.

Предупреждение : читателям рекомендуется всегда проверять, как определяется «фильтр» при чтении математической литературы.

Определение : Двойной идеал на множестве S не является -пустое подмножество F в P (S) со следующими свойствами:

F замкнуто относительно конечных пересечений : если A, B ∈ F, то их пересечение.
- Это свойство означает, что если ∅ ∉ F, то F имеет свойство конечного пересечения.
F is Закрыто вверх /Изотоника : Если A ∈ F и A ⊆ B, тогда B ∈ F для всех подмножеств B в S..
- Из этого свойства следует, что S ∈ F (поскольку F - непустое подмножество P (S)).

Для множества S канонический частичный порядок ⊆ может быть определяется на powerset P(S) включением подмножества, превращая (P (S), ⊆) в решетку. «Двойственный идеал» - это просто фильтр относительно этого частичного порядка. Заметим, что если S = ∅, то на S существует ровно один дуальный идеал, который равен P (S) = {∅}.

Определение фильтра 1: Двойной идеал

В статье используется следующее определение «фильтра по набору».

Определение : фильтр на множестве S является двойственным идеалом на S. Эквивалентно, фильтр на S является просто фильтром относительно канонического частичного порядка (P (S), ⊆), описанный выше.

Определение фильтра 2: Собственный двойственный идеал

Другое определение «фильтра на множестве» - это исходное определение «фильтра», данное Генри Картаном, которое требовало, чтобы фильтр на множестве будет двойным идеалом, не содержащим пустого множества:

Исходное / Альтернативное определение : фильтр на множестве S является двойственным идеалом на S со следующим дополнительным свойством :

F равно Собственный / Невырожденный : Пустой набор не находится в F (т.е. ∅ ∉ F).

Примечание : В этой статье не требуется, чтобы фильтр был правильным.

Единственным неправильным фильтром на S является P (S). В значительной части математической литературы, особенно связанной с Топологией, термин «фильтр» определяется как невырожденный двойственный идеал.

Базы фильтров, суббазы и сравнение

Базы фильтров и суббазы

Подмножество B P (S) называется предварительным фильтром, база фильтра или база фильтра, если B не является пустым, а пересечение любых двух элементов B включает (как подмножество) член B. Если пустой набор не является членом для B, мы говорим, что B является правильной базой фильтра .

Для данной базы фильтра B фильтр, сгенерированный или охватываемый B, определяется как минимальный фильтр, содержащий B. Это семейство всех подмножеств S, которое включать в себя член B. Каждый фильтр также является базой фильтра, поэтому процесс перехода от базы фильтра к фильтру можно рассматривать как своего рода завершение.

Для каждого подмножества T из P (S) существует наименьший (возможно, неправильный) фильтр F, содержащий T, называемый фильтром, порожденным или охватываемым T. Он строится путем взятия всех конечных пересечения T, которые затем образуют базу фильтра для F. Этот фильтр является правильным тогда и только тогда, когда каждое конечное пересечение элементов T непусто, и в этом случае мы говорим, что T является суббазой фильтра .

Более тонкая / эквивалентная основа фильтра

Если B и C - две основы фильтрации на S, один говорит, что C тоньше, чем B (или что C является уточнением B), если для каждого B 0 ∈ B существует C 0 ∈ C такой, что C 0 ⊆ B 0. Если также B тоньше, чем C, говорят, что они эквивалентные базы фильтров .

Если B и C являются базами фильтров, то C тоньше B тогда и только тогда, когда фильтр, охватываемый C, содержит фильтр, охватываемый B. Следовательно, B и C являются эквивалентными базами фильтров тогда и только тогда, когда они генерируют один и тот же фильтр.
Для баз фильтров A, B и C, если A тоньше B, а B тоньше C, то A более мелкий, чем C. Таким образом, отношение уточнения - это предварительный заказ в наборе баз фильтров, а переход от базы фильтра к фильтру является примером перехода от предварительного заказа к соответствующему частичному порядку.

Примеры

Пусть S - множество, а C - непустое подмножество S. Тогда {C} - база фильтра. Фильтр, который он генерирует (т. Е. Совокупность всех подмножеств, содержащих C), называется основным фильтром, сгенерированным C.
Фильтр называется свободным фильтром если пересечение всех его членов пусто. Правильный основной фильтр не бесплатен. Поскольку пересечение любого конечного числа элементов фильтра также является членом, ни один надлежащий фильтр на конечном множестве не является свободным и действительно является основным фильтром, порожденным общим пересечением всех его элементов. Неглавный фильтр на бесконечном множестве не обязательно является бесплатным.
Фильтр Фреше на бесконечном множестве S - это множество всех подмножеств S, которые имеют конечное дополнение. Фильтр на S является бесплатным тогда и только тогда, когда он включает фильтр Фреше.
Каждая равномерная структура на множестве X является фильтром на X × X.
A фильтр в poset может быть создан с использованием леммы Расиова – Сикорского, часто используемой в принуждении.
Набор ${{N, N + 1, N + 2,…}: N ∈ {1, 2, 3,…}} {\ displaystyle \ {\ {N, N + 1, N + 2, \ dots \}: N \ in \ {1,2,3, \ точки \} \}}$ $\ {\ { N, N + 1, N + 2, \ точки \}: N \ in \ {1,2,3, \ dots \} \}$ называется базой фильтра хвостов последовательности натуральных чисел $(1, 2, 3,…) {\ displaystyle (1,2,3, \ точек)}$ $(1,2,3, \ точек)$ . Базу хвостов фильтра можно составить из любой net $(x α) α ∈ A {\ displaystyle (x _ {\ alpha}) _ {\ alpha \ in A}}$ $(x _ {\ alpha}) _ {\ alpha \ in A}$ с использованием конструкции ${{x α: α ∈ A, α 0 ≤ α}: α 0 ∈ A} {\ displaystyle \ {\ {x _ {\ alpha}: \ alpha \ in A, \ alpha _ {0} \ leq \ alpha \}: \ alpha _ {0} \ in A \}}$ ${\ displaystyle \ {\ {x _ {\ alpha}: \ alpha \ in A, \ alpha _ {0} \ leq \ alpha \}: \ alpha _ {0} \ in A \}}$ , где фильтр, создаваемый этой базой фильтра, называется фильтром вероятности сети. Следовательно, все сети создают основу фильтра (и, следовательно, фильтр). Поскольку все последовательности являются сетями, это справедливо и для последовательностей.

Фильтры в теории моделей

Для каждого фильтра F на множестве S функция множества определена как

m (A) = {1 если A ∈ F 0, если S ∖ A ∈ F, не определено иначе {\ displaystyle m (A) = {\ begin {cases} 1 {\ text {if}} A \ in F \\ 0 {\ text {if}} S \ setminus A \ in F \\ {\ text {undefined}} {\ text {else}} \ end {cases}}}

m (A) = {\ begin {case} 1 {\ text {if}} A \ in F \\ 0 { \ text {if}} S \ setminus A \ in F \\ {\ text {undefined}} {\ text {else}} \ end {case}}

конечно аддитивно - «мера », если этот термин толкуется довольно свободно. Следовательно, утверждение

{x ∈ S: φ (x)} ∈ F {\ displaystyle \ left \ {\, x \ in S: \ varphi (x) \, \ right \} \ in F}

\ left \ {\, x \ in S: \ varphi (x) \, \ right \} \ in F

можно считать в некотором роде аналогом утверждения о том, что φ выполняется «почти всюду». Такая интерпретация принадлежности к фильтру используется (для мотивации, хотя она и не нужна для реальных доказательств) в теории сверхпродуктов в теории моделей, ветви математической теории. логика.

Фильтры в топологии

В топологии и анализе фильтры используются для определения сходимости аналогично роли последовательностей в метрическое пространство.

В топологии и смежных областях математики фильтр является обобщением сети. И сети, и фильтры предоставляют очень общие контексты для унификации различных понятий ограничения на произвольные топологические пространства.

A последовательность обычно индексируется натуральными числами, которые являются полностью упорядоченным набором. Таким образом, пределы в пробелах с первым счетом могут быть описаны последовательностями. Однако, если пространство не засчитывается первым, необходимо использовать сети или фильтры. Сети обобщают понятие последовательности, требуя, чтобы индексный набор был просто направленным набором. Фильтры можно рассматривать как наборы, построенные из нескольких сетей. Следовательно, и предел фильтра, и предел сети концептуально такие же, как предел последовательности.

Базы окрестностей

Пусть X - топологическое пространство, а x - точка X.

Возьмем N x в качестве фильтра соседства в точке x для X. Это означает, что N x - это множество всех топологических окрестностей точки x. Можно проверить, что N x является фильтром. система соседства - другое название для фильтра соседства .
. Сказать, что N является базой соседства в точке x для X, означает, что каждое подмножество V 0 X является окрестностью x тогда и только тогда, когда существует N 0 ∈ N такое, что N 0 ⊆ V 0. Каждая база окрестности в точке x является базой фильтра, которая генерирует фильтр окрестности в точке x.

Базы сходящихся фильтров

Пусть X - топологическое пространство, а точка x - точка X.

Сказать, что база фильтра B сходится к x, обозначается B → x, означает, что для каждой окрестности U точки x существует B 0 ∈ B такое, что B 0 ⊆ U В этом случае x называется пределом B, а B называется базой сходящегося фильтра .
. Каждая база N окрестности x сходится к x.
- Если N - база окрестностей в x, а C - база фильтров на X, то C → x, если C тоньше N. Если N - восходящий закрытый фильтр окрестности, то верно и обратное: любой базис сходящегося фильтра уточняет фильтр окрестности.
- Если Y ⊆ X, точка p ∈ X называется предельной точкой точки Y в X тогда и только тогда, когда каждая окрестность U точки p в X пересекает Y. Это происходит тогда и только тогда, когда существует база фильтра подмножеств Y, сходящаяся к p в X.
Для Y ⊆ X следующие условия эквивалентны:
- (i) Существует база фильтра F, все элементы которой содержатся в Y такая, что F → x.
- (ii) Существует фильтр F такой, что Y является элементом F и F → x.
- (iii) Точка x лежит в замыкании Y.

Действительно:

(i) влечет (ii): если F - база фильтра, удовлетворяющая свойствам (i), то фильтр, связанный с F, удовлетворяет свойствам (ii).

(ii) влечет (iii): если U - любая открытая окрестность точки x, то по определению сходимости U содержит элемент из F; поскольку Y также является элементом F, U и Y имеют непустое пересечение.

(iii) подразумевает (i): Определить $F = {U ∩ Y | U ∈ N x} {\ displaystyle F = \ {U \ cap Y \ | \ U \ in N_ {x} \}}$ $F = \ {U \ cap Y \ | \ U \ in N_ {x} \}$ . Тогда F - база фильтра, удовлетворяющая свойствам пункта (i).

Кластеризация

Пусть X будет топологическим пространством и x точкой X.

Определение : база фильтра B на X называется кластером в x (или иметь x как точку кластера ) тогда и только тогда, когда каждый элемент B имеет непустое пересечение с каждой окрестностью x.

Если база фильтра B кластеризуется в x и меньше, чем база фильтра C, затем C также кластеризуется в x.
Каждый предел базы фильтра также является точкой кластера базы.
База фильтра B, которая имеет x как точку кластера может не сходиться к x. Но есть более тонкая основа фильтра. Например, база фильтра конечных пересечений множеств суббазы B ∩ N x.
Для базы фильтра B набор ∩ {cl (B 0): B 0 ∈ B} - это множество всех точек кластера B (замыкание B 0 - это cl (B 0)). Предположим, что X - это полная решетка.
- нижний предел элемента B - это нижняя грань набора всех точек кластера B.
- верхний предел для B - это supremum из набора всех кластерных точек B.
- B является конвергентным базовым фильтром тогда и только тогда, когда его предел низший и предел высший согласны; в этом случае значение, с которым они согласны, является пределом базы фильтра.

Свойства топологического пространства

Пусть X будет топологическим пространством.

X является пространством Хаусдорфа тогда и только тогда, когда каждая база фильтра на X имеет не более одного предела.
X компактный тогда и только тогда, когда каждая база фильтра на X кластерах или имеет точку кластера.
X является компактным тогда и только тогда, когда каждая база фильтра на X является подмножеством конвергентной базы фильтра.
X компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр на X сходится.

Функции между топологическими пространствами

Пусть X и Y - топологические пространства, пусть A - база фильтра на X, и пусть f: X → Y - функция. изображение A под f, обозначенное f [A], определяется как множество f [A]: = {f (a): a ∈ A}, которое обязательно образует базу фильтра на Y.

f является непрерывным в x ∈ X тогда и только тогда, когда для любой базы фильтров A на X, A → x влечет f [A] → f (x).

фильтры Коши

Пусть $(X, d) {\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ будет метрическим пространством.

Чтобы сказать, что база фильтра B на X равна Коши означает, что для каждого действительного числа ε>0 существует B 0 ∈ B такой, что метрический диаметр числа B 0 меньше ε.
Возьмем (x n) как последовательность в метрическом пространстве X. (x n) является последовательностью Коши тогда и только тогда, когда база фильтра {{x N, x N +1,...}: N ∈ {1, 2, 3,...}} - это Коши.

В более общем смысле, учитывая однородное пространство X, фильтр F на X называется фильтром Коши, если для каждого окружение U существует A ∈ F с (x, y) ∈ U для всех x, y ∈ A. В метрическом пространстве это согласуется с предыдущим определением ition. X называется полным, если каждый фильтр Коши сходится. Наоборот, на однородном пространстве каждый сходящийся фильтр является фильтром Коши. Более того, каждая кластерная точка фильтра Коши является предельной точкой.

Компактное однородное пространство является полным: на компактном пространстве каждый фильтр имеет точку кластера, и если фильтр Коши, такая точка кластера является предельной точкой. Кроме того, однородность является компактной тогда и только тогда, когда она является полной и полностью ограниченной.

В большинстве случаев пространство Коши представляет собой набор, оснащенный классом фильтров, объявленным как Коши. Они должны иметь следующие свойства:

для каждого x в X, ультрафильтр в x, U (x), является Коши.
если F является фильтром Коши, и F является подмножеством фильтра G, тогда G является фильтром Коши.
если F и G являются фильтрами Коши и каждый член F пересекает каждый член G, то F ∩ G является фильтром Коши.

Фильтры Коши на однородном пространстве обладают этими свойствами, поэтому каждое однородное пространство (а значит, и каждое метрическое пространство) определяет пространство Коши.

См. Также

Фильтры в топологии - Применение фильтров к топологии.
Фильтрация (математика)
Фильтрация (теория вероятностей) - модель информации, доступной в данный момент точка случайного процесса
Фильтрация (абстрактная алгебра)
Общий фильтр
Идеал (теория множеств)
Сеть (математика) - Обобщение последовательности точек

Примечания

Ссылки

Николас Бурбаки, Общая топология (Topologie Générale), ISBN 0-387- 19374-X (Ch. 1-4): дает хороший справочник для фильтров в общей топологии (Глава I) и для фильтров Коши в однородных пространствах (Глава II)
Burris, Stanley N., и HP Санкаппанавар, Х. П., 1981. Курс универсальной алгебры. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
; Майнард, Фредерик (2016). Основы сходимости топологии. Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.

Дугунджи, Джеймс (1966). Топология. Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
MacIver, David, Filters in Analysis and Topology (2004) (Дает вводный обзор фильтров в топологии и в метрических пространствах.)
; (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Стивен Уиллард, Общая топология, (1970) издательство Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts. (Предоставляет вводный обзор фильтров в топологии.)
Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. (Первое изд.). Минеола, штат Нью-Йорк : Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.
Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.

Дополнительная литература

Джордж М. Бергман; Эхуд Грушовски: Линейные ультрафильтры, Comm. Alg., 26 (1998) 4079–4113.