Набор (математика)

Набор математических объектов Набор полигонов на диаграмме Эйлера

В математика, набор - это четко определенный набор различных объектов, рассматриваемых как объект сам по себе. Расположение предметов в наборе значения не имеет. Набор можно обозначить, поместив его объекты между парой фигурных скобок. Например, числа 2, 4 и 6 - разные объекты, если рассматривать их по отдельности; если рассматривать их вместе, они образуют единый набор размера три, записанный как {2, 4, 6}, который также может быть записан как {2, 6, 4}, {4, 2, 6}, {4, 6, 2}, {6, 2, 4} или {6, 4, 2}. Наборы также можно обозначать заглавными латинскими буквами в курсивом, например $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$, $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$.

Понятие множества - одно из самых фундаментальных в математике. Разработанная в конце 19 века теория множеств теперь является повсеместной частью математики и может использоваться в качестве основы, на которой может быть выведена почти вся математика.

• 1 Этимология
• 2 Определение
• 3 Обозначение набора
  • 3.1 Обозначение реестра
  • 3.2 Обозначение конструктора наборов
  • 3.3 Другие способы определения наборов
• 4 Членство
  • 4.1 Подмножества
  • 4.2 Разделы
  • 4.3 Наборы мощности
• 5 Мощность
• 6 Специальные наборы
• 7 Основные операции
  • 7.1 Объединения
  • 7.2 Пересечения
  • 7.3 Дополнения
  • 7.4 Декартово произведение
• 8 Приложения
• 9 Аксиоматическая теория множеств
• 10 Принцип включения и исключения
• 11 Законы Де Моргана
• 12 См. Также
• 13 Примечания
• 14 Ссылки
• 15 Внешние ссылки

Немецкое слово Menge, переведенное как «набор» на английском языке, было придумано Бернардом Больцано в его работе Парадоксы бесконечного.

Переход с переводом исходного определения множества Ge org Cantor. Немецкое слово Menge для обозначения набора здесь переводится как совокупность.

Набор - это четко определенный набор отдельных объектов. Объекты, составляющие набор (также известные как элементы набора или члены), могут быть любыми: числами, людьми, буквами алфавита, другими наборами и т. Д. Георг Кантор, один из основоположников теории множеств, дал следующее определение множества в начале своей книги Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre:

Множество - это совокупность определенных, различных объектов нашего восприятия [ Anschauung] или нашей мысли - которые называются элементами множества.

Множества условно обозначаются заглавными буквами. Множества A и B равны тогда и только тогда, когда имеют в точности одинаковые элементы.

По техническим причинам определение Кантора оказалось неадекватным; сегодня, в контекстах, требующих большей строгости, можно использовать аксиоматическую теорию множеств, в которой понятие «множество» принимается за примитивное понятие, а свойства множеств определены набором аксиом. Самыми основными свойствами являются то, что набор может иметь элементы, и что два набора равны (одно и то же) тогда и только тогда, когда каждый элемент каждого набора является элементом другого; это свойство называется расширяемостью наборов.

Существует два распространенных способа описания или указания членов набора: обозначение списка и обозначение конструктора набора. Это примеры экстенсионального и интенсионального определений наборов соответственно.

Нотация реестра

Метод определения набора в нотации (или нотации перечисления) состоит из перечисления каждого член набора. Более конкретно, в обозначении списка (пример экстенсионального определения ) набор обозначается заключением списка членов в фигурные скобки :

A = {4, 2, 1, 3}

B = {синий, белый, красный}.

Для наборов с большим количеством элементов перечисление элементов может быть сокращено. Например, набор из первой тысячи положительных целых чисел может быть указан в записи реестра как

{1, 2, 3,..., 1000},

, где многоточие ("... ") указывает, что список продолжается в соответствии с продемонстрированным шаблоном.

В нотации реестра повторное перечисление члена не изменяет набор, например, набор {11, 6, 6} идентичен к набору {11, 6}. Более того, порядок, в котором перечислены элементы набора, не имеет значения (в отличие от последовательности или кортежа ), поэтому {6, 11} снова является тем же самым набором.

Нотация создателя множеств

В нотации создателя множеств набор определяется как выбор из большего набора, определяемый условием, включающим элементы. Например, набор F может быть определен следующим образом:

$F\; =\; \{n\; \mid \; n\; -\; целое\; число,\; а\; 0\; \le \; n\; \le \; 19\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; \backslash \; \{n\; \backslash \; mid\; n\; \{\backslash \; text\; \{является\; целым\; числом,\; и\}\}\; 0\; \backslash \; leq\; n\; \backslash \; leq\; 19\; \backslash \}.\}$

В этом обозначении вертикальная черта ( «|») означает «такой, что», и описание можно интерпретировать как «F - это набор всех чисел n, таких, что n является целым числом в диапазоне от 0 до 19 включительно». Иногда вместо вертикальной черты используется двоеточие (":").

Нотация конструктора множеств является примером содержательного определения.

Другие способы определения множеств

Другой метод определения набора - использование правила или семантического описания:

A - это набор, членами которого являются первые четыре положительных целых числа..

B - набор цветов Французский флаг.

Это еще один пример содержательного определения.

Если B - это множество, а x - один из объектов B, это обозначается как x ∈ B, и читается как «x является элементом B», как «x принадлежит B» или «x находится в B». Если y не является членом B, то это записывается как y ∉ B, читается как «y не является элементом B» или «y не входит в B».

Например, в отношении множества A = {1, 2, 3, 4}, B = {синий, белый, красный} и F = {n | n целое число и 0 ≤ n ≤ 19},

4 ∈ A и 12 ∈ F; и

20 ∉ F и зеленый ∉ B.

Подмножества

Если каждый элемент набора A также находится в B, то A называется подмножеством B, записывается A ⊆ B (произносится как A содержится в B). Эквивалентно, можно написать B ⊇ A, читать, поскольку B является надмножеством A, B включает A, или B содержит A. Отношение между наборами, установленными by, называется включением или включением. Два множества равны, если они содержат друг друга: A ⊆ B и B ⊆ A эквивалентно A = B.

Если A является подмножеством B, но не равно B, то A называется собственным подмножество B, записывается A ⊊ B или просто A ⊂ B (A - собственное подмножество B), или B ⊋ A (B - собственное надмножество A, B ⊃ A).

Выражения A ⊂ B и B ⊃ A используются разными авторами по-разному; некоторые авторы используют их для обозначения того же, что и A ⊆ B (соответственно B ⊇ A), тогда как другие используют их для обозначения того же, что и A ⊊ B (соответственно B ⊋ A).

A является подмножеством из B

Примеры:

• Набор всех людей является надлежащим подмножеством набора всех млекопитающих.
• {1, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4}.
• {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.

Существует уникальный набор без элементов, называемый пустой набор (или нулевой набор), который обозначается символом ∅ или {} (используются другие обозначения; см. пустой набор ). Пустой набор является подмножеством каждого набора, и каждый набор является подмножеством самого себя:

• ∅ ⊆ A.
• A ⊆ A.

Разделы

A раздел набора S - это набор непустых подмножеств S, такой, что каждый элемент x в S находится ровно в одном из этих подмножеств. То есть подмножества попарно не пересекаются (что означает, что любые два набора раздела не содержат общих элементов), и объединение всех подмножеств раздела равно S.

Наборы мощности

Набор мощности набора S - это набор всех подмножеств S. Набор мощности содержит сам S и пустой набор, поскольку оба они являются подмножествами S. Например, набор мощности набора {1, 2, 3} равен {{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3 }, ∅}. Набор мощности набора S обычно записывается как P (S).

Набор мощности конечного набора с n элементами имеет 2 элемента. Например, набор {1, 2, 3} содержит три элемента, а показанный выше набор мощности содержит 2 = 8 элементов.

Набор мощности бесконечного (либо счетного, либо несчетного ) набора всегда неисчислим. Более того, набор мощности набора всегда строго «больше», чем исходный набор, в том смысле, что нет способа спарить каждый элемент S ровно с одним элементом P (S). (Никогда не бывает на карте или сюръекции из S на P (S).)

Мощность множества S, обозначенная | S |, равна количество членов S. Например, если B = {синий, белый, красный}, то | B | = 3. Повторяющиеся члены в записи реестра не учитываются, поэтому | {синий, белый, красный, синий, белый} | = 3 тоже.

Мощность пустого набора равна нулю.

Некоторые наборы имеют бесконечную мощность. Набор N из натуральных чисел, например, бесконечен. Некоторые бесконечные мощности больше других. Например, набор действительных чисел имеет большую мощность, чем набор натуральных чисел. Однако можно показать, что мощность прямой прямой (т. Е. Количество точек на линии) такая же, как мощность любого сегмента этой линии, вся плоскость , а также любое конечномерное евклидово пространство.

натуральные числа ℕ содержатся в целые числа ℤ, которые содержатся в рациональных числах ℚ, которые содержатся в вещественных числах ℝ, которые содержатся в комплексных числах ℂ

Есть некоторые множества или виды множеств, которые имеют большое математическое значение и упоминаются с такой регулярностью, что получили специальные имена и условные обозначения для их идентификации. Один из них - пустой набор, обозначенный {} или ∅. Набор с ровно одним элементом, x, представляет собой единичный набор или одноэлементный, {x}; последний обычно отличается от x.

Многие из этих наборов представлены жирным шрифтом (например, P ) или полужирным шрифтом (например, ℙ). К ним относятся:

• Pили ℙ, обозначающий набор всех простых чисел : P= {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...}.
• Nили ℕ, обозначающий набор всех натуральных чисел : N= {0, 1, 2, 3,...} (иногда определяется за исключением 0).
• Zили ℤ, обозначающий набор всех целых чисел (положительное, отрицательное или нулевое): Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2,...}.
• Qили ℚ, обозначающее множество всех рациональные числа (то есть набор всех правильных и неправильных дробей ): Q = {a / b | a, b ∈ Z, b ≠ 0}. Например, 1/4 ∈ Q и 11/6 ∈ Q . Все целые числа входят в этот набор, так как каждое целое число a может быть выражено как дробь a / 1 (Z⊊ Q).
• Rили ℝ, обозначающая набор всех вещественных чисел. Этот набор включает все рациональные числа вместе со всеми иррациональные числа (то есть алгебраические числа, которые нельзя переписать в виде дробей, например √2, а также трансцендентные числа, такие как π, e ).
• Cили ℂ, обозначающее множество всех комплексных чисел : C= {a + bi | a, b ∈ R }. Например, 1 + 2i ∈ C.
• Hили ℍ, обозначающее множество всех кватернионы : H= {a + bi + cj + dk | a, b, c, d ∈ R }. Например, 1 + i + 2j - k ∈ H.

Каждый из приведенные выше наборы чисел имеют бесконечное количество элементов, и каждый из них может рассматриваться как надлежащее подмножество перечисленных ниже наборов. Простые числа используются реже, чем другие, за пределами теории чисел и связанных

Положительные и отрицательные множества иногда обозначаются надстрочными знаками плюс и минус соответственно. Например, ℚ представляет собой набор положительных рациональных чисел.

Есть несколько основных операций для построения новых наборов из заданных наборов.

Объединения

объединение A и B, обозначенное A ∪ B

Два набора могут быть «сложены» вместе. Объединение A и B, обозначаемое A ∪ B, представляет собой набор всех вещей, которые являются членами A или B.

Примеры:

• {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
• {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
• {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}

Некоторые основные свойства объединений:

• A ∪ B = B ∪ A.
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
• A ⊆ (A ∪ B).
• A ∪ A = A.
• A ∪ ∅ = A.
• A ⊆ B тогда и только тогда, когда A ∪ B = B.

Пересечения

Новый набор также можно построить, определив, какие элементы у двух наборов «общие». Пересечение A и B, обозначенное A ∩ B, - это множество всех вещей, которые являются членами как A, так и B. Если A ∩ B = ∅, то A и B называются не пересекающимися.

пересечение точек A и B, обозначенное A ∩ B.

Примеры:

• {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
• {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
• {1, 2} ∩ {3, 4} = ∅.

Некоторые основные свойства перекрестков:

• A ∩ B = B ∩ A.
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
• A ∩ B ⊆ A.
• A ∩ A = A.
• A ∩ ∅ = ∅.
• A ⊆ B тогда и только тогда, когда A ∩ B = A.

Дополняет

относительное дополнение . B в A дополнение A в U симметричная разность A и B

Два наборы также можно «вычесть». Относительное дополнение B в A (также называемое теоретико-множественной разностью A и B), обозначаемое A \ B (или A - B), представляет собой набор всех элементов, которые являются членами A, но не членами B Допустимо «вычитать» элементы набора, которых нет в наборе, например, удаление зеленого элемента из набора {1, 2, 3}; это не повлияет на элементы в наборе.

В определенных настройках все обсуждаемые наборы считаются подмножествами данного универсального набора U. В таких случаях U \ A называется абсолютным дополнением или просто дополнением к A и обозначается A ′ или A.

• A ′ = U \ A

Примеры:

• {1, 2} \ {1, 2} = ∅.
• {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.
• Если U - это набор целых чисел, E - набор четных целых чисел, а O - набор нечетных целых чисел, тогда U \ E = E ′ = O.

Некоторые основные свойства дополнений включают следующее:

• A \ B ≠ B \ A для A ≠ B.
• A ∪ A ′ = U.
• A ∩ A ′ = ∅.
• (A ′) ′ = A.
• ∅ \ A = ∅.
• A \ ∅ = A.
• A \ A = ∅.
• A \ U = ∅.
• A \ A ′ = A и A ′ \ A = A ′.
• U ′ = ∅ и ∅ ′ = U.
• A \ B = A ∩ B ′.
• если A ⊆ B, то A \ B = ∅.

Расширением дополнения является симметричная разность, определенная для множеств A, B как

$A\; \Delta \; B\; =\; (A\; \setminus \; B)\; \cup \; (B\; \setminus \; A).\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; \backslash ,\; B\; =\; (A\; \backslash \; setminus\; B)\; \backslash \; cup\; (B\; \backslash \; setminus\; A).\}$

Например, симметричная разность {7, 8, 9, 10} и {9, 10, 11, 12} - это набор {7, 8, 11, 12}. Набор мощности любого набора становится булевым кольцом с симметричной разницей в виде сложения кольца (с пустым набором в качестве нейтрального элемента) и пересечения как умножения кольца.

Декартово произведение

Новый набор может быть построен путем связывания каждого элемента одного набора с каждым элементом другого набора. Декартово произведение двух множеств A и B, обозначенное A × B, представляет собой набор всех упорядоченных пар (a, b) таких, что a является членом A, а b является членом B.

Примеры:

• {1, 2} × {красный, белый, зеленый} = {(1, красный), (1, белый), (1, зеленый), (2, красный), (2, белый), (2, зеленый)}.
• {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
• {a, b, c} × {d, e, f} = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)}.

Некоторые основные свойства декартовых произведений:

• A × ∅ = ∅.
• A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
• (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).

Пусть A и B - конечные множества; тогда мощность декартова произведения - это произведение мощностей:

• | A × B | = | B × A | = | А | × | B |.

Теория множеств рассматривается как фундамент, на котором может быть выведена практически вся математика. Например, структуры в абстрактной алгебре, такие как группы, поля и кольца, являются наборами закрыл по одной или нескольким операциям.

Одно из основных приложений теории наивных множеств - построение отношений. Отношение из домена A к codomain B является подмножеством декартова произведения A × B. Например, учитывая набор S = {камень, ножницы, бумага} форм в игре с тем же названием отношение «удары» от S к S - это множество B = {(ножницы, бумага), (бумага, камень), (камень, ножницы)}; таким образом, x побеждает y в игре, если пара (x, y) является членом B. Другим примером является множество F всех пар (x, x), где x вещественное число. Это отношение является подмножеством R '× R, потому что набор всех квадратов является подмножеством набора всех действительных чисел. Поскольку для каждого x в R одна и только одна пара (x,...) находится в F, она называется функцией . В функциональных обозначениях это соотношение можно записать как F (x) = x.

Хотя изначально теория наивных множеств, которая определяла множество как любую четко определенную коллекцию, была хорошо принята, она вскоре наткнулся на несколько препятствий. Было обнаружено, что это определение породило несколько парадоксов, в первую очередь:

• парадокс Рассела - он показывает, что «множество всех множеств, которые не содержат самих себя», то есть «множество» { x | x - это набор, а x ∉ x} не существует.
• Парадокс Кантора - Он показывает, что «набор всех наборов» не может существовать.

Причина в том, что фраза четко определена не очень четко определен. Было важно освободить теорию множеств от этих парадоксов, потому что почти вся математика переопределялась в терминах теории множеств. В попытке избежать этих парадоксов теория множеств была аксиоматизирована на основе логики первого порядка, и таким образом родилась аксиоматическая теория множеств.

Однако для большинства целей теория наивных множеств по-прежнему полезна.

Принцип включения-исключения может использоваться для вычисления размера объединения множеств: размер объединения - это размер двух множеств за вычетом размера их пересечение.

Принцип включения-исключения - это метод подсчета, который можно использовать для подсчета количества элементов в объединении двух наборов, если размер каждого набора и размер их пересечения известны. Это может быть выражено символически как

$|\; A\; \cup \; B\; |\; =\; |\; А\; |\; +\; |\; B\; |\; -\; |\; A\; \cap \; B\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; A\; \backslash \; cup\; B\; |\; =\; |\; A\; |\; +\; |\; B\; |\; -\; |\; A\; \backslash \; cap\; B\; |.\}$

Для определения мощности любого конечного объединения множеств можно использовать более общую форму этого принципа:

$|\; A\; 1\; \cup \; A\; 2\; \cup \; A\; 3\; \cup \dots \; \cup \; A\; n\; |\; =\; (|\; A\; 1\; |\; +\; |\; A\; 2\; |\; +\; |\; A\; 3\; |\; +\dots \; |\; A\; n\; |)\; -\; (|\; A\; 1\; \cap \; A\; 2\; |\; +\; |\; A\; 1\; \cap \; A\; 3\; |\; +\dots \; |\; A\; n\; -\; 1\; \cap \; A\; n\; |)\; +\dots \; +\; (-\; 1)\; n\; -\; 1\; (|\; A\; 1\; \cap \; A\; 2\; \cap \; A\; 3\; \cap \dots \; \cap \; A\; n\; |).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; left\; |\; A\_\; \{1\}\; \backslash \; cup\; A\_\; \{2\}\; \backslash \; cup\; A\_\; \{3\}\; \backslash \; cup\; \backslash \; ldots\; \backslash \; cup\; A\_\; \{n\}\; \backslash \; right\; |\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; |\; A\_\; \{1\}\; \backslash \; right\; |\; +\; \backslash \; left\; |\; A\_\; \{2\}\; \backslash \; right\; |\; +\; \backslash \; left\; |\; A\_\; \{3\}\; \backslash \; right\; |\; +\; \backslash \; ldots\; \backslash \; left\; |\; A\_\; \{n\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; \{\}\; -\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; |\; A\_\; \{1\}\; \backslash \; cap\; A\_\; \{2\}\; \backslash \; right\; |\; +\; \backslash \; left\; |\; A\_\; \{1\}\; \backslash \; cap\; A\_\; \{3\}\; \backslash \; right\; |\; +\; \backslash \; ldots\; \backslash \; left\; |\; A\_\; \{n-1\}\; \backslash \; cap\; A\_\; \{n\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; \{\}\; +\; \backslash \; ldots\; \backslash \backslash \; \{\}\; +\; \backslash \; left\; (-1\; \backslash \; right)\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; |\; A\_\; \{1\}\; \backslash \; cap\; A\_\; \{2\}\; \backslash \; cap\; A\_\; \{3\}\; \backslash \; cap\; \backslash \; ldots\; \backslash \; cap\; A\_\; \{n\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; right).\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Август Де Морган заявил два закона о множествах.

Если A и B - любые два множества, то

• (A ∪ B) ′ = A ′ ∩ B ′

Дополнение A union B равно дополнению A, которое пересекается с дополнением B.

• (A ∩ B) ′ = A ′ ∪ B ′

Дополнение A, пересекающееся с B, равно дополнению объединения A до дополнения B.

• Философский портал

• Алгебра множеств
• Альтернативная теория множеств
• Аксиоматическая теория множеств
• Категория множеств
• Класс (теория множеств)
• Плотное множество
• Семейство множеств
• Нечеткое множество
• Внутреннее множество
• Математический объект
• Мереология
• Мультимножество
• Наивная теория множеств
• Principia Mathematica
• Грубое множество
• Парадокс Рассела
• Последовательность (математика)
• Установить обозначение
• Таксономия
• Кортеж

• Даубен, Джозеф У. (1979). Георг Кантор: его математика и философия бесконечного. Бостон: Издательство Гарвардского университета. ISBN 0-691-02447-2.
• Халмос, Пол Р. (1960). Наивная теория множеств. Принстон, Нью-Джерси: Ван Ностранд. ISBN 0-387-90092-6.
• Столл, Роберт Р. (1979). Теория множеств и логика. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-63829-4.
• Веллеман, Дэниел (2006). Как это доказать: структурированный подход. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-67599-5.

• "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" Кантора (на немецком языке)