Войти
| Бинарные отношения | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Знак «✓» указывает, что свойство столбца требуется в определении строки.. Например, определение отношения эквивалентности требует, чтобы оно было симметричным.. Все определения неявно требуют транзитивности и рефлексивности. |
В математике, однородное отношение R на множестве. X является антисимметричным, если не существует пары отдельных элементов X, каждый из которых связан посредством R друг с другом. Более формально, R антисимметрично в точности, если для всех a и b в X
или, что то же самое,
(определение антисимметрии ничего не говорит о том, действительно ли R (a, a) выполняется или нет для любого a.)
Отношение делимости в натуральных числах - важный пример антисимметричного отношения. В этом контексте антисимметрия означает, что единственный способ деления каждого из двух чисел на другое - это если эти два числа фактически являются одним и тем же числом; эквивалентно, если n и m различны и n является множителем m, то m не может быть множителем n. Например, 12 делится на 4, но 4 не делится на 12.
Обычное отношение порядка ≤ на вещественных числах антисимметрично: если для двух действительные числа x и y выполняются оба неравенства x ≤ y и y ≤ x, тогда x и y должны быть равны. Аналогично, порядок подмножеств ⊆ на подмножествах любого данного набора является антисимметричным: для данных двух наборов A и B, если каждый элемент в A также находится в B и каждый элемент в B является также в A, то A и B должны содержать все одинаковые элементы и, следовательно, быть равными:
Реальным примером отношения, которое обычно является антисимметричным, является «оплачен счет в ресторане» (понимается как ограниченный конкретным случаем). Обычно одни люди оплачивают свои счета, а другие - своих супругов или друзей. Пока нет двух людей, которые платят друг другу по счетам, отношения антисимметричны.
Частичные и общие заказы по определению антисимметричны. Отношение может быть как симметричным, так и антисимметричным (в данном случае оно должно быть coreflexive ), и есть отношения, которые не являются ни симметричными, ни антисимметричными (например, отношение "жертвы" по биологическим видам ).
Антисимметрия отличается от асимметрии : отношение асимметрично тогда и только тогда, когда оно антисимметрично и нерефлексивно.
