Войти
В топологии и связанных ветвях математика, топологическое пространство может быть определено как набор из точек вместе с набором окрестностей для каждого точка, удовлетворяющая набору аксиом, связывающих точки и окрестности. Определение топологического пространства основывается только на теории множеств и является наиболее общим понятием математического пространства, которое позволяет определять такие понятия, как непрерывность, связность и конвергенция. Другие пространства, такие как многообразия и метрические пространства, являются специализациями топологических пространств с дополнительными структурами или ограничениями. Будучи настолько общими, топологические пространства являются центральным объединяющим понятием и появляются практически во всех областях современной математики. Раздел математики, изучающий топологические пространства самостоятельно, называется точечной топологией или общей топологией.
Примерно в 1735 году Эйлер открыл формулу 
Тем не менее," до работ Римана в начале 1850-х годов поверхности всегда рассматривались с локальной точки зрения (как параметрические поверхности), а топологические вопросы никогда не рассматривались ». «Мёбиус и Джордан, кажется, первыми осознали, что основная проблема топологии (компактных) поверхностей состоит в том, чтобы найти инварианты (предпочтительно числовые) для определения эквивалентности поверхностей, то есть решить, являются ли две поверхности гомеоморфными или нет ».
Предмет четко определен Феликсом Кляйном в его« Программе Эрлангена »(1872 г.): геометрические инварианты произвольных непрерывных трансформация, своего рода геометрия. Термин «топология» был введен Иоганном Бенедиктом Листинг в 1847 году, хотя он использовал этот термин в переписке несколькими годами ранее вместо ранее использовавшегося «Analysis situs». Фундамент этой науки для пространства любого измерения был создан Пуанкаре. Его первая статья на эту тему появилась в 1894 году. В 1930-х годах Джеймс Уоддел Александр II и Хасслер Уитни впервые высказали идею о том, что поверхность - это топологическое пространство, локально как евклидова плоскость.
Полезность понятия топологии демонстрируется тем фактом, что существует несколько эквивалентных определений этой структуры. Таким образом, выбирается аксиоматизация, подходящая для приложения. Чаще всего используется в терминах открытых множеств, но, возможно, более интуитивно понятен в терминах окрестностей, поэтому он дается первым.
Эта аксиоматизация принадлежит Феликсу Хаусдорфу. Пусть X - множество; элементы X обычно называют точками, хотя они могут быть любым математическим объектом. Мы позволяем X быть пустым. Пусть N будет функцией , назначающей каждому x (точке) в X непустую коллекцию N (x) подмножеств X. Элементы N (x) будем называть окрестностями x относительно N (или, просто, окрестностями x). Функция N называется топологией окрестности, если выполняются следующие аксиомы ; и тогда X с N называется топологическим пространством .
Первые три аксиомы для окрестностей имеют ясный смысл. Четвертая аксиома имеет очень важное применение в структуре теории, а именно связывание окрестностей разных точек X.
Стандартный пример такой системы окрестностей - для вещественной прямой R, где подмножество N из R определяется как окрестность действительного числа x, если оно включает в себя открытый интервал, содержащий x.
При такой структуре подмножество U в X определяется как открытое, если U является окрестностью всех точек в U. Тогда открытые множества удовлетворяют аксиомам, приведенным ниже. И наоборот, когда заданы открытые множества топологического пространства, окрестности, удовлетворяющие указанным выше аксиомам, могут быть восстановлены, определяя N как окрестность x, если N включает открытое множество U такое, что x ∈ U.
Четыре примера и два не-примера топологий на трехточечном множестве {1,2,3}. Нижний левый пример не является топологией, потому что объединение {2} и {3} [т.е. {2,3}] отсутствует; нижний правый пример не является топологией, потому что пересечение {1,2} и {2,3} [т.е. {2}], отсутствует. Топологическое пространство - это упорядоченная пара (X, τ), где X - это набор, а τ - это набор подмножеств X, удовлетворяющие следующим аксиомам :
Элементы τ называются открытыми множествами, а набор τ называется топология на X.
Используя законы де Моргана, указанные выше аксиомы, определяющие открытые множества, становятся аксиомами, определяющими закрытые множества :
Используя эти аксиомы, другой способ определить топологическое пространство - это как множество X вместе с коллекцией τ замкнутых подмножеств X. Таким образом, множества в топологии τ - замкнутые множества, а их дополнения в X - открытые множества.
Есть много других эквивалентных способов определения топологического пространства: другими словами, концепции соседства, открытых или закрытых множеств могут быть восстановлены из других исходных точек и удовлетворены правильные аксиомы.
Другой способ определить топологическое пространство - использовать аксиомы замыкания Куратовского, которые определяют замкнутые множества как фиксированные точки оператора на наборе мощности X.
A net является обобщением концепции последовательности. Топология полностью определена, если для каждой цепи в X задан набор ее точек накопления.
На множестве можно разместить множество топологий, чтобы сформировать топологическое пространство. Когда каждый набор в топологии τ 1 также находится в топологии τ 2 и τ 1 является подмножеством τ 2, мы говорят, что τ 2 мельче, чем τ 1, и τ 1 грубее, чем τ 2. Доказательство, основанное только на существовании определенных открытых множеств, будет справедливо и для любой более тонкой топологии, и аналогично доказательство, основанное только на том, что определенные множества не являются открытыми, применимо к любой более грубой топологии. Термины «больший» и «меньший» иногда используются вместо терминов «более мелкий» и «грубый» соответственно. Термины «сильнее» и «слабее» также используются в литературе, но их значение практически не согласовано, поэтому при чтении всегда следует быть уверенным в соглашении автора.
Набор всех топологий на заданном фиксированном множестве X образует полную решетку : если F = {τ α | α ∈ A} - это набор топологий на X, тогда meet F является пересечением F, а join of F является пересечением набора всех топологий на X, которые содержат каждый член F.
A Функция f: X → Y между топологическими пространствами называется continuous, если для каждого x в X и любой окрестности N точки f (x) существует такая окрестность M точки x, что f (M) ⊆ N. Это легко соотносится с обычным определением в анализе. Эквивалентно, f является непрерывным, если прообраз каждого открытого набора открыт. Это попытка уловить интуицию, что в функции нет «скачков» или «разделений». гомеоморфизм - это биекция, которая является непрерывной и обратная которой также непрерывна. Два пространства называются гомеоморфными, если между ними существует гомеоморфизм. С точки зрения топологии гомеоморфные пространства по существу идентичны.
В теории категорий, Top, категория топологических пространств с топологическими пространствами как объекты и непрерывные функции как морфизмы, является одной из фундаментальных категорий . Попытка классифицировать объекты этой категории (вплоть до гомеоморфизма) по инвариантам мотивировала такие области исследований, как теория гомотопии, теория гомологии и K-теория.
У данного множества может быть много различных топологий. Если набору задается другая топология, он рассматривается как другое топологическое пространство. Любому набору может быть задана дискретная топология , в которой каждое подмножество открыто. Единственными сходящимися последовательностями или цепями в этой топологии являются те, которые в конечном итоге являются постоянными. Кроме того, любому набору может быть дана тривиальная топология (также называемая недискретной топологией), в которой только пустое множество и все пространство открыты. Каждая последовательность и сеть в этой топологии сходится к каждой точке пространства. Этот пример показывает, что в общих топологических пространствах пределы последовательностей не обязательно должны быть уникальными. Однако часто топологические пространства должны быть хаусдорфовыми пространствами, где предельные точки уникальны.
Метрические пространства воплощают метрику, точное понятие расстояния между точками.
Каждому метрическому пространству может быть задана метрическая топология, в которой основные открытые множества представляют собой открытые шары, определяемые метрикой. Это стандартная топология любого нормированного векторного пространства. На конечномерном векторном пространстве эта топология одинакова для всех норм.
Существует много способов определения топологии на R, наборе действительных чисел. Стандартная топология на R генерируется открытыми интервалами. Набор всех открытых интервалов образует базу или основу для топологии, что означает, что каждый открытый набор является объединением некоторого набора наборов из базы. В частности, это означает, что набор является открытым, если существует открытый интервал ненулевого радиуса вокруг каждой точки набора. В более общем смысле, евклидовым пространствам Rможет быть задана топология. В обычной топологии на R базовыми открытыми множествами являются открытые шары. Аналогично, C, набор комплексных чисел и C имеют стандартную топологию, в которой основные открытые множества являются открытыми шарами.
Пространства близости обеспечивают понятие близости двух множеств.
Однородные пробелы аксиоматизируют упорядочение расстояния между отдельными точками.
Топологическое пространство, в котором точки являются функциями, называется функциональным пространством.
Пространства Коши аксиоматизируют возможность проверки того, является ли сеть - это Коши. Пространства Коши обеспечивают общую настройку для изучения завершений.
отражают некоторые особенности сходимости фильтров.
Сайты Гротендика являются категории с дополнительными данными, аксиоматизирующими, закрывает ли семейство стрелок объект. Сайты - это общая установка для определения пучков.
Если Γ является фильтром на множестве X, то {∅} ∪ Γ является топологией на X.
Многие наборы линейных операторов в функциональном анализе наделены топологиями, которые определяются путем определения момента, когда конкретная последовательность функций сходится к нулевой функции.
Любое локальное поле имеет собственную топологию, и ее можно распространить на векторные пространства над этим полем.
Каждое многообразие имеет естественную топологию, поскольку оно локально евклидово. Аналогично, каждый симплекс и каждый симплициальный комплекс наследует естественную топологию от R.
Топология Зарисского определена алгебраически на спектре кольца или алгебраическое многообразие. На R или C замкнутые множества топологии Зарисского являются множествами решений систем полиномиальных уравнений.
A линейный граф имеет естественную топологию, которая обобщает многие геометрические аспекты графов с вершинами и ребрами.
пространство Серпинского - простейшее недискретное топологическое пространство. Он имеет важное отношение к теории вычислений и семантике.
Существует множество топологий на любом заданном конечном множестве. Такие пространства называются конечными топологическими пространствами. Конечные пространства иногда используются в качестве примеров или контрпримеров к гипотезам о топологических пространствах в целом.
Любому набору может быть дана конфинитная топология, в которой открытые множества являются пустым множеством, и множествами, дополнение которых конечно. Это наименьшая топология T1 на любом бесконечном множестве.
Любому набору может быть присвоена сопоставляемая топология, в которой набор определяется как открытый, если он либо пуст, либо его дополнение счетно. Когда набор неисчислим, эта топология служит контрпримером во многих ситуациях.
Реальная линия также может иметь топологию нижнего предела. Здесь основные открытые множества - это полуоткрытые интервалы [a, b). Эта топология на R строго более тонкая, чем евклидова топология, определенная выше; последовательность сходится к точке в этой топологии тогда и только тогда, когда она сходится сверху в евклидовой топологии. Этот пример показывает, что в наборе может быть определено множество различных топологий.
Если Γ - порядковое число , то множество Γ = [0, Γ) может быть снабжено топологией порядка , порожденной интервалами (a, b), [0, b) и (a, Γ), где a и b - элементы Γ.
Внешнее пространство из свободной группы Fnсостоит из так называемых «помеченных структур метрического графа» тома 1 на F n.
Каждое подмножество топологическому пространству может быть задана топология подпространства, в которой открытые множества являются пересечениями открытых множеств большего пространства с подмножеством. Для любого индексированного семейства топологических пространств продукту может быть задана топология продукта, которая генерируется из прообразов открытых наборов факторов в рамках проекции сопоставления. Например, в конечных продуктах основу топологии продукта составляют все продукты открытых множеств. Для бесконечных произведений существует дополнительное требование, чтобы в базовом открытом множестве все его проекции, кроме конечного числа, составляли все пространство.
A факторпространство определяется следующим образом: если X - топологическое пространство, а Y - множество, и если f: X → Y - surjective функция, то Фактор-топология на Y - это совокупность подмножеств Y, у которых есть открытые прообразы под f. Другими словами, фактор-топология - это тончайшая топология на Y, для которой f непрерывна. Типичный пример факторной топологии - это когда отношение эквивалентности определено в топологическом пространстве X. Тогда отображение f является естественной проекцией на множество классов эквивалентности.
Топология Виеториса на множестве всех непустых подмножеств топологического пространства X, названного в честь Леопольда Виеториса, генерируется следующим основанием: для каждого набора из n элементов U 1,..., U n открытых множеств в X, мы строим базисный набор, состоящий из всех подмножеств объединения U i, которые имеют непустые пересечения с каждым U i.
Топология Фелла на множестве всех непустых замкнутых подмножеств локально компактного польского пространства X является вариантом топологии Вьеториса, и назван в честь математика Джеймса Фелла. Он порождается следующим базисом: для каждого набора U 1,..., U n открытых множеств в X и для каждого компакта K множество всех подмножества X, которые не пересекаются с K и имеют непустые пересечения с каждым U i, являются членом базиса.
Топологические пространства можно широко классифицировать, от до гомеоморфизма, по их топологическим свойствам. Топологическое свойство - это свойство пространств, инвариантное относительно гомеоморфизмов. Чтобы доказать, что два пространства не гомеоморфны, достаточно найти топологическое свойство, не разделяемое ими. Примеры таких свойств включают в себя связность, компактность и различные аксиомы разделения. Об алгебраических инвариантах см. алгебраическая топология.
Для любых алгебраических объектов мы можем ввести дискретную топологию, при которой алгебраические операции являются непрерывными функциями. Для любой такой структуры, которая не является конечной, мы часто имеем естественную топологию, совместимую с алгебраическими операциями, в том смысле, что алгебраические операции все еще непрерывны. Это приводит к таким понятиям, как топологические группы, топологические векторные пространства, топологические кольца и локальные поля.
 | Викицитатник содержит цитаты, связанные с: Топологическим пространством |
