Войти
Кристиан Феликс Кляйн (немецкий: ; 25 апреля 1849 г. - 22 июня 1925 г.) был немецким математиком и педагогом математики, известным своими работами в области теории групп, комплексного анализа, неевклидовой геометрии, и о связях между геометрией и теорией групп. Его 1872 программа Эрлангена, классифицирующая геометрии по их основным группам симметрии, стала влиятельным синтезом большей части математики того времени.
Кляйн во время его Лейпцигского периода. Феликс Кляйн родился 25 апреля 1849 года в Дюссельдорфе, в Пруссаке родители; его отец, Каспар Кляйн (1809–1889), был секретарем прусского правительственного чиновника, работавшего в Рейнской провинции. Матерью Кляйн была Софи Элиза Кляйн (1819–1890, урожденная Кайзер). Он посещал гимназию в Дюссельдорфе, затем изучал математику и физику в Боннском университете, 1865–1866 гг., Намереваясь стать физиком. В то время Юлиус Плюккер имел Боннское звание профессора математики и экспериментальной физики, но к тому времени, когда Клейн стал его ассистентом, в 1866 году Плюккер интересовался геометрией. Кляйн получил докторскую степень в Боннском университете под руководством Плюккера в 1868 году.
Плюккер умер в 1868 году, оставив свою книгу об основах линейной геометрии незавершенной. Кляйн был очевидным человеком, завершившим вторую часть Neue Geometrie des Raumes Плюккера, и таким образом познакомился с Альфредом Клебшем, который переехал в Геттинген в 1868 году. Кляйн посетил Клебша в следующем году вместе с визитами в Берлин и Париж. В июле 1870 г., в начале франко-прусской войны, он находился в Париже и был вынужден покинуть страну. Некоторое время он служил санитаром в прусской армии, а затем был назначен лектором в Геттингене в начале 1871 года.
Эрланген назначил профессором Кляйна в 1872 году, когда ему было всего 23 года.. Для этого он был одобрен Клебшем, который считал, что он может стать лучшим математиком своего времени. Кляйн не хотел иметь школу в Эрлангене, где было немного учеников, и поэтому он был рад, что в 1875 году ему предложили должность профессора в Высшей технической школе Мюнхена. Там он и Александр фон Бриль преподавал продвинутые курсы многим отличникам, в том числе Адольф Гурвиц, Вальтер фон Дейк, Карл Рон, Карл Рунге, Макс Планк, Луиджи Бьянки и Грегорио Риччи-Курбастро.
В 1875 году Кляйн женился на Анне Гегель, внучке философа Георга Вильгельма Фридриха Гегеля.
После Через пять лет в Высшей технической школе Кляйн был назначен на кафедру геометрии в Лейпциге. Среди его коллег были Вальтер фон Дейк, Рон, Эдуард Стюд и Фридрих Энгель. Годы Кляйна в Лейпциге, с 1880 по 1886 год, коренным образом изменили его жизнь. В 1882 году его здоровье ухудшилось; в 1883–1884 гг. его мучила депрессия. Тем не менее его исследования продолжались; его основополагающая работа по гиперэллиптическим сигма-функциям датируется примерно этим периодом и была опубликована в 1886 и 1888 годах.
Кляйн принял должность профессора в Геттингенском университете в 1886 году. С тех пор и до выхода на пенсию в 1913 году. он стремился восстановить Геттинген как главный в мире центр математических исследований. И все же ему так и не удалось перенести из Лейпцига в Геттинген свое первенство как разработчика геометрии. В Геттингене он читал различные курсы, в основном касающиеся взаимодействия математики и физики, такие как механика и теория потенциала.
. Исследовательский центр, основанный Кляйном в Геттингене, послужил образцом для лучшие такие объекты во всем мире. Он ввел еженедельные встречи для обсуждения и создал математический читальный зал и библиотеку. В 1895 году Кляйн нанял Давида Гильберта из Кенигсбергского университета ; это назначение оказалось судьбоносным, потому что Гильберт продолжал пользоваться хорошей репутацией Геттингена до самого выхода на пенсию в 1932 году.
Под редакцией Кляйна Mathematische Annalen стал одним из лучших математических журналов в мире. Основанная Клебшем, только под руководством Кляйна она сначала конкурировала, а затем превзошла Crelle's Journal, основанный в Берлинском университете. Кляйн создал небольшую команду редакторов, которые регулярно встречались для принятия демократических решений. Журнал специализировался на комплексном анализе, алгебраической геометрии и теории инвариантов (по крайней мере, пока Гильберт не закончил эту тему). Он также обеспечил важный выход для реального анализа и новой теории групп.
. В 1893 году в Чикаго Кляйн был основным докладчиком на Международном математическом конгрессе, проводившемся в рамках Всемирной конференции. Колумбийская выставка. Отчасти благодаря усилиям Кляйна Геттинген начал принимать женщин в 1893 году. Он руководил первой докторской диссертацией. диссертация по математике, написанная в Геттингене женщиной; она была Грейс Чисхолм Янг, английской студенткой Артура Кэли, которой восхищался Кляйн. В 1897 году Кляйн стал иностранным членом Королевской Нидерландской академии искусств и наук.
. Примерно в 1900 году Кляйн начал интересоваться математическим обучением в школах. В течение 1905 года он был решающим в разработке плана, в котором рекомендовалось преподавать аналитическую геометрию, основы дифференциального и интегрального исчисления и концепцию функции в средних школах.. Эта рекомендация постепенно внедрялась во многих странах мира. В 1908 году Клейн был избран президентом Международной комиссии по математическому обучению на Римском Международном конгрессе математиков. Под его руководством немецкая часть Комиссии опубликовала много томов о преподавании математики на всех уровнях в Германии.
Лондонское математическое общество наградило Кляйна своей медалью Де Моргана в 1893 году. Он был избран членом Королевского общества в 1885 году, и был награжден его медалью Копли в 1912 году. В следующем году он вышел на пенсию из-за плохого здоровья, но еще несколько лет продолжал преподавать математику в своем доме.
Кляйн был одним из 93 подписантов Манифест девяноста трех, документа, написанного в поддержку немецкого вторжения в Бельгию на ранних этапах Первой мировой войны..
Кляйн имел титул Geheimrat (доверенный советник).
Он умер в Геттингене в 1925 году.
Диссертация Кляйна по линейной геометрии и ее приложениям к механике, классифицировал комплексы прямых второй степени, используя теорию элементарных делителей Вейерштрасса.
Первые важные математические открытия Клейна были сделаны в 1870 году. В сотрудничестве с Софусом Ли он обнаружил фундаментальные свойства асимптотических линий на поверхности Куммера. Позже они исследовали W-кривые, кривые, инвариантные относительно группы проективных преобразований. Именно Ли познакомил Кляйна с концепцией группы, которая сыграла важную роль в его более поздних работах. Кляйн также узнал о группах от Камиллы Джордан.
Выдутая вручную бутылка Клейна Кляйн изобрел названную в его честь «бутылку Клейна », одностороннюю закрытую поверхность, которая не может быть встроена в трехмерном евклидовом пространстве, но он может быть погружен как цилиндр, петляющий через себя, чтобы соединиться с другим концом «изнутри». Он может быть вложен в евклидово пространство размерностей 4 и выше. Концепция бутылки Клейна была разработана как трехмерная лента Мёбиуса, при этом одним из методов построения было соединение краев двух лент Мёбиуса.
В 1890-х годах Кляйн начал изучение математическая физика более интенсивно, записывая на гироскоп с Арнольдом Зоммерфельдом. В 1894 году он инициировал идею энциклопедии математики, включая ее приложения, которая стала Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften. Это предприятие, просуществовавшее до 1935 года, стало важным эталоном непреходящей ценности.
В 1871 году, находясь в Геттингене, Кляйн сделал важные открытия в области геометрии. Он опубликовал две статьи о так называемой неевклидовой геометрии, показывающие, что евклидовы и неевклидовы геометрии могут считаться метрическими пространствами, определяемыми метрикой Кэли-Клейна. Это понимание привело к тому, что неевклидова геометрия была непротиворечивой тогда и только тогда, когда была евклидова геометрия, придавая одинаковый статус геометриям евклидовой и неевклидовой, и положив конец всем спорам о неевклидовой -Евклидова геометрия. Артур Кэли никогда не принимал аргумент Кляйна, считая его циркулярным.
Синтез геометрии Кляйном как исследование свойств пространства, инвариантного относительно данной группы преобразований, известный как программа Эрлангена (1872 г.), глубоко повлияли на эволюцию математики. Эта программа была инициирована вступительной лекцией Кляйна в качестве профессора в Эрлангене, хотя это не была реальная речь, которую он произнес по этому поводу. Программа предлагала единую систему геометрии, которая стала общепринятым современным методом. Кляйн показал, как существенные свойства данной геометрии могут быть представлены группой преобразований, которые сохраняют эти свойства. Таким образом, определение геометрии в программе включает как евклидову, так и неевклидову геометрию.
В настоящее время значение вклада Клейна в геометрию более чем очевидно, но не потому, что этот вклад теперь считается странным или неправильным. Напротив, эти вклады стали настолько важной частью нашего нынешнего математического мышления, что нам трудно оценить их новизну и то, как они не были сразу приняты всеми его современниками.
Кляйн считал свою работу по комплексному анализу своим главным вкладом в математику, в частности свою работу над:
Клейн показал, что модульная группа перемещает фундаментальную область комплекса плоскость для мозаики этой плоскости. В течение 1879 года он исследовал действие PSL (2,7), рассматриваемого как изображение модульной группы, и получил явное представление римановой поверхности теперь называется квартикой Клейна. Он показал, что эта поверхность была кривой в проективном пространстве, что ее уравнение было xy + yz + zx = 0, и что ее группа симметрий была PSL (2, 7) из заказа 168. Его книга Уэбера Римана «Теория алгебраических функций и интеграция» (1882) рассматривает комплексный анализ геометрическим способом, связывая теорию потенциала и конформные отображения. Эта работа основывалась на понятиях из гидродинамики.
. Кляйн рассматривал уравнения степени>4 и особенно интересовался использованием трансцендентных методов для решения общего уравнения пятой степени. Основываясь на методах Чарльза Эрмита и Леопольда Кронекера, он получил результаты, аналогичные результатам Бриоски, а затем полностью решил проблему с помощью группы икосаэдров. Эта работа позволила ему написать серию статей по эллиптическим модулярным функциям.
В своей книге 1884 года по икосаэдру Клейн установил теорию автоморфных функций, связывающих алгебру и геометрия. Однако Пуанкаре опубликовал набросок своей теории автоморфных функций в 1881 году, что привело к дружескому соперничеству между двумя людьми. Оба стремились сформулировать и доказать великую теорему об униформизации, которая установила бы новую теорию более полно. Кляйну удалось сформулировать такую теорему и описать стратегию ее доказательства. Но при выполнении этой работы его здоровье, как упоминалось выше, ухудшилось.
Кляйн резюмировал свою работу по автоморфным и эллиптическим модульным функциям в четырехтомном трактате, написанном с Робертом Фрике в период около 20 лет. лет.
 | На Викискладе есть материалы, связанные с Феликсом Кляйном. |
 | В Викицитатнике есть цитаты, связанные с: Феликсом Кляйном |
