Топологическое многообразие

редактировать

В топологии , ветке математики, топологическом многообразии - это топологическое пространство (которое также может быть разделенным пространством ), которое в некотором смысле локально напоминает реальное n- мерное пространство определено ниже. Топологические многообразия образуют важный класс топологических пространств с приложениями во всей математике. Все многообразия являются топологическими многообразиями по определению, но многие многообразия могут быть снабжены дополнительной структурой (например, дифференцируемые многообразия - это топологические многообразия, снабженные дифференциальной структурой ). Каждое многообразие имеет «лежащее в основе» топологическое многообразие, полученное простым «забвением» любой дополнительной структуры, которую имеет многообразие.

Содержание

1 Формальное определение
2 Примеры
- 2.1 n-Многообразия
- 2.2 Проективное многообразия
- 2.3 Другие многообразия
3 Свойства
- 3.1 Аксиома Хаусдорфа
- 3.2 Аксиомы компактности и счетности
- 3.3 Размерность
4 Координатные карты
5 Классификация многообразий
- 5.1 Дискретность Пространства (0-коллектор)
- 5.2 Кривые (1-коллектор)
- 5.3 Поверхности (2-коллектор)
- 5.4 Объемы (3-коллектор)
- 5.5 Общие n-коллектор
- 5.6 Коллекторы с граница
6 Конструкции
- 6.1 Многообразия продукта
- 6.2 Несвязное соединение
- 6.3 Связанная сумма
- 6.4 Подмногообразие
7 Сноски
8 Ссылки

Формальное определение

A топологическое пространство X называется локально евклидовым, если существует неотрицательное целое n такое, что каждая точка в X имеет окрестность, которая гомеоморфна в вещественное n-пространство R.

A тополь Упражнение является локально евклидовым хаусдорфовым пространством. К топологическим многообразиям обычно предъявляются дополнительные требования. В частности, многие авторы определяют их как паракомпакт или со счетчиком секунд.

В оставшейся части этой статьи многообразие будет означать топологическое многообразие. N-многообразие будет означать топологическое многообразие такое, что каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную R.

примерам

n-многообразиям

вещественное координатное пространство Rявляется n-многообразием.
Любое дискретное пространство является 0-мерным многообразием.
A окружность является компактным 1-многообразием.
A тор и a бутылка Клейна - это компактные 2-многообразия (или поверхности ).
n-мерная сфера S - компактное n-многообразие.
n-мерный тор T(произведение n окружностей) является компактным n-многообразием.

Проективные многообразия

Проективные пространства над вещественными, комплексами, или кватернионы являются компактными многообразиями.
- Вещественное проективное пространство RPявляется n-мерным многообразием.
- Комплексное проективное пространство CPявляется 2n-мерным многообразием.
- Кватернионное проективное пространство HPявляется 4n-мерным многообразием.
Многообразия, связанные с проективным пространством, включают грассманианы, многообразия флагов и многообразие Штифеля lds.

Другие многообразия

Пространства линз - это класс многообразий, которые являются частными нечетномерными сферами.
Группы Ли - это многообразия, наделенные структура группы.

Свойства

Свойство быть локально евклидовым сохраняется локальными гомеоморфизмами. То есть, если X локально евклидово размерности n и f: Y → X - локальный гомеоморфизм, то Y локально евклидово размерности n. В частности, быть локально евклидовым - это топологическое свойство.

Многообразия наследуют многие локальные свойства евклидова пространства. В частности, они являются локально компактными, локально связанными, первыми счетными, локально стягиваемыми и локально метризуемыми. Будучи локально компактными хаусдорфовыми пространствами, многообразия обязательно являются тихоновскими пространствами.

Добавление условия Хаусдорфа может сделать некоторые свойства многообразия эквивалентными. В качестве примера можно показать, что для хаусдорфова многообразия понятия σ-компактности и второй счетности совпадают. В самом деле, хаусдорфово многообразие является локально компактным хаусдорфовым пространством, следовательно, оно (полностью) регулярно. Предположим, что такое пространство X σ-компактно. Тогда это Линделёф, и поскольку из регулярности Линделёфа + следует паракомпакт, X метризуемо. Но в метризуемом пространстве вторая счетность совпадает со счетностью по Линделёфу, поэтому X счетно по второму. Наоборот, если X - хаусдорфово вторично счетное многообразие, оно должно быть σ-компактным.

Многообразие не обязательно должно быть связным, но каждое многообразие M является несвязным объединением связных многообразий. Это всего лишь компоненты связности множества M, которые являются открытыми множествами, поскольку многообразия локально связны. Будучи локально путевым соединением, многообразие линейно связано тогда и только тогда, когда оно соединено. Отсюда следует, что компоненты пути такие же, как и компоненты.

Аксиома Хаусдорфа

Свойство Хаусдорфа не является локальным; так что даже если евклидово пространство хаусдорфово, локально евклидово пространство не обязательно. Однако верно, что каждое локально евклидово пространство T1.

Примером нехаусдорфового локально евклидова пространства является линия с двумя началами. Это пространство создается заменой начала действительной прямой двумя точками, открытая окрестность любой из которых включает все ненулевые числа в некотором открытом интервале с центром в нуле. Это пространство не хаусдорфово, потому что два начала нельзя разделить.

Аксиомы компактности и счетности

Многообразие метризуемо тогда и только тогда, когда оно паракомпактно. Поскольку метризуемость - такое желаемое свойство топологического пространства, обычно к определению многообразия добавляют паракомпактность. В любом случае непаракомпактные коллекторы обычно считаются патологическими. Пример непаракомпактного коллектора дается длинной строкой . Паракомпактные многообразия обладают всеми топологическими свойствами метрических пространств. В частности, это совершенно нормальные хаусдорфовы пространства..

Многообразия также обычно должны иметь счетчик секунд. Это в точности условие, необходимое для того, чтобы многообразие вкладывало в некоторое конечномерное евклидово пространство. Для любого многообразия свойства счетчика второй, Линделёфа и σ-компактного эквивалентны.

Каждое счетное многообразие паракомпактно, но не наоборот. Однако почти верно и обратное: паракомпактное многообразие имеет счетчик секунд тогда и только тогда, когда оно имеет счетное количество связанных компонентов. В частности, связное многообразие паракомпактно тогда и только тогда, когда оно счетно во втором. Каждое счетное многообразие разделимо и паракомпактно. Более того, если многообразие сепарабельно и паракомпактно, то оно также счетно во вторых.

Каждый компактный коллектор является паракомпактным и имеет счетчик секунд.

Размерность

По инвариантности области непустое n-многообразие не может быть m-многообразием при n ≠ m. Размерность непустого n-многообразия равна n. Быть n-многообразием - это топологическое свойство, означающее, что любое топологическое пространство, гомеоморфное n-многообразию, также является n-многообразием.

Координатные карты

По определению, каждая точка локально евклидова пространства имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ { n}}$ . Такие окрестности называются евклидовыми окрестностями . Из инвариантности области следует, что евклидовы окрестности всегда являются открытыми множествами. Всегда можно найти евклидовы окрестности, гомеоморфные "красивым" открытым множествам в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ { n}}$ . Действительно, пространство M локально евклидово тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

каждая точка M имеет окрестность, гомеоморфную открытому шару в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ { n}}$ .
каждая точка M имеет окрестность, гомеоморфную самой $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ { n}}$ .

Евклидова окрестность, гомеоморфная открытому шару в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ { n}}$ , называется евклидовым шаром . Евклидовы шары образуют базис топологии локально евклидова пространства.

Для любой евклидовой окрестности U гомеоморфизм $ϕ: U → ϕ (U) ⊂ R n {\ displaystyle \ phi: U \ rightarrow \ phi \ left (U \ right) \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ phi: U \ rightarrow \ phi \ left (U \ right) \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ называется координатной диаграммой на U (хотя словесная диаграмма часто используется для обозначения области или диапазона такой карты). Пространство M локально евклидово тогда и только тогда, когда оно может быть покрыто евклидовыми окрестностями. Набор евклидовых окрестностей, покрывающих M, вместе с их координатными картами, называется атласом на M. (Терминология происходит от аналогии с картографией, где сферический глобус может быть описан атласом плоских карт или схем).

Для двух диаграмм $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ и $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ с перекрывающимися доменами U и V, есть является функцией перехода

ψ ϕ - 1: ϕ (U ∩ V) → ψ (U ∩ V) {\ displaystyle \ psi \ phi ^ {- 1}: \ phi \ left (U \ cap V \ right) \ rightarrow \ psi \ left (U \ cap V \ right)}

{\ displaystyle \ psi \ phi ^ {- 1}: \ phi \ left (U \ cap V \ right) \ rightarrow \ psi \ left (U \ cap V \ right)}

Такое отображение является гомеоморфизмом между открытыми подмножествами $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ { n}}$ . То есть координатные диаграммы соглашаются на перекрытия с точностью до гомеоморфизма. Различные типы многообразий могут быть определены путем наложения ограничений на разрешенные типы переходных карт. Например, для дифференцируемых многообразий отображения переходов должны быть диффеоморфизмами.

Классификация многообразий

Дискретные пространства (0-многообразие)

A 0 -многообразие - это просто дискретное пространство. Дискретное пространство является второсчетным тогда и только тогда, когда оно счетно.

Кривые (1-многообразие)

Всякое непустое, паракомпактное связное 1-многообразие гомеоморфно либо R или круг .

Поверхности (2-многообразие)

Сфера является двумерным многообразием.

Каждое непустое, компактное, связное двумерное многообразие (или поверхность ) гомеоморфна сфере, связной сумме торов или связанной сумме проективных плоскостей.

объемов (3-многообразие)

Классификация 3-многообразий вытекает из гипотезы геометризации Терстона, доказанной Григорием Перельманом в 2003 году. Более конкретно, результаты Перельмана предоставляют алгоритм для решения, гомеоморфны ли два трехмерных многообразия друг другу.

Общее n-многообразие

Известно, что полная классификация n-многообразий для n больше трех невозможна; это по крайней мере так же сложно, как проблема слов в теории групп, которая, как известно, алгоритмически неразрешима.

На самом деле не существует алгоритма для определения того, является ли данный коллектор односвязным. Однако существует классификация односвязных многообразий размерности ≥ 5.

Многообразия с краем

Иногда полезно несколько более общее понятие. Топологическое многообразие с краем - это хаусдорфово пространство, в котором каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству евклидова полупространства (для фиксированного n) :

R + n = {(x 1,…, xn) ∈ R n: xn ≥ 0}. {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}: x_ {n} \ geq 0 \}.}

{\ displaystyle \ mathbb R ^ n _ {+} = \ {(x_1, \ ldots, x_n) \ in \ mathbb R ^ n: x_n \ ge 0 \}.}

Каждое топологическое многообразие является топологическим многообразием с краем, но не наоборот.

Конструкции

Есть несколько методов создания многообразий из других многообразий.

Продуктовые многообразия

Если M - m-многообразие, а N - n-многообразие, декартово произведение M × N является (m + n) -многообразием когда задана топология продукта .

Disjoint Union

дизъюнктное объединение счетного семейства n-многообразий является n-многообразием (все части должны иметь одинаковую размерность

Связная сумма

связная сумма двух n-многообразий определяется удалением открытого шара из каждого многообразия и принятием частного несвязного объединения образовавшихся многообразий с краем с факторизацией, взятой по гомеоморфизму граничных сфер удаленных шаров. Это приводит к другому n-многообразию.

Подмногообразие

Любое открытое подмножество n-многообразия является n-многообразием с топологией подпространства .

Сноски

Ссылки

Gauld, DB (1974). «Топологические свойства многообразий». Американский математический ежемесячник. Математическая ассоциация Америки. 81 (6): 633–636. doi : 10.2307 / 2319220. JSTOR 2319220.
Кирби, Робион С. ; Зибенманн, Лоуренс К. (1977). Основные очерки топологических многообразий. Сглаживания и триангуляции (PDF). Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08191-3.
Ли, Джон М. (2000). Введение в топологические многообразия. Тексты для выпускников по математике 202 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-98759-2.

На Викискладе есть материалы, связанные с Математическими многообразиями.