Спектральное пространство

В математике спектральное пространство - это топологическое пространство, которое гомеоморфно спектр коммутативного кольца. Иногда его также называют когерентным пространством из-за связи с когерентными топосами.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Эквивалентные описания
• 3 Свойства
• 4 Спектральные карты
• 5 Ссылки
• 6 Сноски

Определение

Пусть X будет топологическим пространством и пусть K (X) будет набором всех компактных открытых подмножеств X. Тогда X называется спектральным, если он удовлетворяет всем следующим условиям:

• X компактно и T0.
• K (X) является базисом открытых подмножеств X.
• K (X) замкнуто относительно конечных пересечений.
• X трезвый, т.е. каждое непустое неприводимое замкнутое подмножество X имеет (обязательно уникальную) общую точку.

Эквивалентные описания

Пусть X - топологическое пространство. Каждое из следующих свойств эквивалентно свойству X быть спектральным:

1. X гомеоморфен проективному пределу конечных T0-пространств.
2. X гомеоморфен спектру ограниченной дистрибутивной решетки L. В этом случае L изоморфна (как ограниченная решетка) решетке K (X) (это называется Стоунское представление дистрибутивных решеток ).
3. X гомеоморфно спектру коммутативной кольцо.
4. X - топологическое пространство, определяемое пространством Пристли..
5. X - пространство T 0, кадр открытых множеств которого является когерентным (и каждый когерентный кадр происходит из уникального спектрального пространства таким образом).

Свойства

Пусть X будет спектральным пространством и пусть K (X) будет таким же, как и раньше. Тогда:

• K (X) является ограниченная подрешетка подмножеств X.
• Каждое замкнутое подпространство в X спектрально.
• Произвольное пересечение компактных и открытых подмножеств X (отсюда элементов из K (X)) снова является спектральным.
• X является T0 по определению, но в целом не T1. Фактически спектральное пространство является T 1 тогда и только если это Хаусдорф (или T 2) тогда и только тогда, когда это логическое пространство тогда и только тогда, когда K (X) является логическим алгебра.
• X можно рассматривать как попарно Пространство камня.

Спектральные отображения

A спектральное отображение f: X → Y между спектральными пространствами X и Y - это непрерывное отображение, такое что прообраз каждого открытого и компактного подмножества Y при f снова компактный.

Категория спектральных пространств, в которых спектральные отображения есть морфизмы, двойственно категории ограниченных дистрибутивных решеток (вместе с морфизмами таких решеток). В этой антиэквивалентности спектральное пространство X соответствует решетке K (X).

Ссылки

• М. Хохстер (1969). Структура простых идеалов в коммутативных кольцах. Пер. Амер. Математика. Soc., 142 43-60
• Johnstone, Peter (1982), «II.3 Coherent locales», Stone Spaces, Cambridge University Press, стр. 62–69, ISBN 978-0-521-33779-3.
• Дикманн, Макс; Шварц, Нильс; Трессл, Маркус (2019). Спектральные пространства. Новые математические монографии. 35 . Кембридж: Cambridge University Press. doi : 10.1017 / 9781316543870. ISBN 9781107146723.

Сноски