Гемиконепрерывность

редактировать

В математике понятие непрерывности из функций не может быть немедленно расширен до многозначных отображений или соответствий между двумя наборами A и B. Двойные концепции верхней полунепрерывности и нижней геминепрерывность способствует такому расширению. Соответствие, которое имеет оба свойства, называется непрерывным по аналогии со свойством с тем же именем для функций.

Грубо говоря, функция является полунепрерывной сверху, когда (1) сходящаяся последовательность точек в области отображается на последовательность наборов в диапазоне, который (2) содержит другую сходящуюся последовательность, затем изображение предельной точка в домене должна содержать предел последовательности в диапазоне. Нижняя геминепрерывность существенно меняет это положение, говоря, что если последовательность в домене сходится, учитывая точку в диапазоне предела, то вы можете найти подпоследовательность, изображение которой содержит сходящуюся последовательность к данной точке.

Содержание

1 Верхняя полунепрерывность
- 1.1 Последовательная характеристика
- 1.2 Теорема о замкнутом графике
2 Нижняя полунепрерывность
- 2.1 Последовательная характеристика
- 2.2 Теорема об открытом графике
3 Свойства
4 Последствия для непрерывности
5 Другие концепции непрерывности
6 См. Также
7 Примечания
8 Ссылки

Верхняя полунепрерывность

Это соответствие везде непрерывно вверху, но не полунепрерывно внизу в точке x: для последовательности точек {x m }, которая сходится к x, у нас есть y (y в f (x)), такое что никакая последовательность {y m } не сходится к y, где каждое y m принадлежит f (x m).

Соответствие Γ: A → B называется полунепрерывным сверху в точке a, если для любой открытой окрестности V точки Γ (a) существует окрестность U точки a такая, что для всех x в U Γ (x) является подмножеством V.

Последовательная характеризация

Для соответствия Γ: A → B с замкнутым значения, если Γ: A → B полунепрерывно сверху в $a ∈ A {\ displaystyle a \ in A }$ $a \ in A$ затем $∀ an ∈ A {\ displaystyle \ forall a_ {n} \ in A}$ $\ forall a_ {n} \ in A$ , $∀ b ∈ B {\ displaystyle \ forall b \ in B}$ $\ forall b \ in B$ и $∀ bn ∈ Γ (an) {\ displaystyle \ forall b_ {n} \ in \ Gamma (a_ {n})}$ $\ forall b_ {n} \ in \ Gamma (a_ {n})$

lim n → ∞ an = a, lim n → ∞ bn = b ⟹ b ∈ Γ (a) {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = a, \; \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n} = b \ подразумевает b \ in \ Gamma (a)}

\ lim _ {{n \ to \ infty}} a_ {n} = a, \; \ lim _ {{n \ to \ infty}} b_ {n} = b \ подразумевает b \ in \ Gamma (a)

Если B компактно, верно и обратное.

Теорема о замкнутом графе

График соответствия Γ: A → B - это множество, определенное формулой $G r (Γ) = {(a, b) ∈ A × B: b ∈ Γ (a)} {\ displaystyle Gr (\ Gamma) = \ {(a, b) \ in A \ times B: b \ in \ Gamma (a) \}}$ $Gr (\ Gamma) = \ {(a, b) \ in A \ раз B: b \ in \ Gamma (a) \}$ .

Если Γ: A → B является полунепрерывным сверху соответствием с замкнутой областью (то есть, множество точек a ∈ A, где Γ (a) не является пустым, замкнуто) и замкнутыми значениями (т.е. Γ (a) замкнуто для всех a в A), то Gr (Γ) замкнуто. Если B компактен, то верно и обратное.

Полунепрерывность снизу

Это соответствие полунепрерывно снизу всюду, но не полунепрерывно сверху в точке x, потому что граф (множество) не замкнут.

Соответствие Γ: A → B называется полунепрерывным снизу в точке a, если для любого открытого множества V, пересекающего Γ (a), существует окрестность U точки a такая, что Γ (x) пересекает V при все x в U (здесь V пересекает S означает непустое пересечение $V ∩ S ≠ ∅ {\ displaystyle V \ cap S \ neq \ emptyset}$ $V \ cap S \ neq \ emptyset$ ).

Последовательная характеризация

Γ: A → B полунепрерывна снизу в точке a тогда и только тогда, когда

∀ am ∈ A, am → a, ∀ b ∈ Γ (a), ∃ amk {\ displaystyle \ forall a_ {m} \ in A, \, a_ {m} \ rightarrow a, \ forall b \ in \ Gamma (a), \ существует a_ {m_ {k}}}

\ forall a_ {m} \ in A, \, a_ {m} \ rightarrow a, \ forall b \ in \ Gamma (a), \ существует _ {{m_ {k}}}

подпоследовательность

am, ∃ bk ∈ Γ (amk), bk → b {\ displaystyle a_ {m}, \, \ exists b_ {k} \ in \ Gamma (a_ {m_ {k}}), \, b_ {k} \ rightarrow b}

a_ {m}, \, \ exists b_ { k} \ in \ Gamma (a _ {{m_ {k}}}), \, b_ {k} \ rightarrow b

Теорема об открытом графике

Соответствие Γ: A → B имеет открытые нижние секции, если множество $Γ - 1 (b) = {a ∈ A: b ∈ Γ (a)} {\ displaystyle \ Gamma ^ {- 1} (b) = \ {a \ in A: b \ in \ Gamma (a) \}}$ ${\ displaystyle \ Gamma ^ {- 1} (b) = \ {a \ in A: b \ in \ Gamma (a) \}}$ открыт в A для каждого b ∈ B. Если все значения Γ - открытые множества в B, то говорят, что Γ имеет открытые верхние секции.

Если Γ имеет открытый граф Gr (Γ), то Γ имеет открытые верхние и нижние секции, а если Γ имеет открытые нижние секции, то он полунепрерывен снизу.

Теорема об открытом графе утверждает, что если Γ: A → P (R ) - выпуклозначное соответствие с открытыми верхними секциями, то Γ имеет открытый граф в A × R тогда и только тогда, когда Γ полунепрерывно снизу.

Свойства

Теоретико-множественные, алгебраические и топологические операции над многозначными отображениями (например, объединение, композиция, сумма, выпуклая оболочка, замыкание) обычно сохраняют тип непрерывности. Но к этому следует подходить с должной осторожностью, поскольку, например, существует пара полунепрерывных снизу соответствий, пересечение которых не является полунепрерывным снизу. Это можно исправить, усилив свойства непрерывности: если одна из этих полунепрерывных снизу мультифункций имеет открытый граф, то их пересечение снова будет полунепрерывным снизу.

Решающее значение для многозначного анализа (с точки зрения приложений) имеет исследование однозначных выборок и аппроксимации многозначных отображений. Обычно нижние полунепрерывные соответствия допускают однозначный выбор (теорема Майкла о выборе, теорема Брессана – Коломбо о непрерывном выборе по направлениям, выбор разложимых отображений Фрышковского). Точно так же полунепрерывные сверху отображения допускают приближения (например, теорема Анселя – Гранаса – Горневича – Крышевского).

Последствия для непрерывности

Если соответствие является как верхним полунепрерывным, так и нижним полунепрерывным, оно называется непрерывным. Непрерывная функция во всех случаях является полунепрерывной как верхней, так и нижней полунепрерывной.

Другие концепции непрерывности

Верхнюю и нижнюю полунепрерывность можно рассматривать как обычную непрерывность:

Γ: A → B - нижняя [соотв. верхний] полунепрерывно тогда и только тогда, когда отображение Γ: A → P (B) непрерывно, где гиперпространство P (B) наделено нижним [соотв. верхний] топология Вьеториса.

(Для понятия гиперпространства сравните также набор мощности и функциональное пространство ).

Используя нижнюю и верхнюю хаусдорфовую однородность, мы также можем определить так называемые верхнюю и нижнюю полунепрерывные отображения в смысле Хаусдорфа (также известные как метрически полунепрерывные нижние / верхние карты ).

См. Также

Дифференциальное включение
Расстояние Хаусдорфа
Многозначная функция - Обобщение функции, которая может выдавать несколько выходов для каждого входа
Полунепрерывность

Примечания

Ссылки

Алипрантис, Хараламбос Д. ; Граница, Ким С. (2007). Анализ бесконечных измерений: Автостопом (Третье изд.). Берлин: Springer. ISBN 978-3-540-32696-0.
; Челлина, Арриго (1984). Дифференциальные включения: многозначные карты и теория жизнеспособности. Grundl. der Math. Wiss. 264 . Берлин: Springer. ISBN 0-387-13105-1.
Обен, Жан-Пьер; Франковская, Элен (1990). Многозначный анализ. Базель: Биркхойзер. ISBN 3-7643-3478-9.
Деймлинг, Клаус (1992). Многозначные дифференциальные уравнения. Вальтер де Грюйтер. ISBN 3-11-013212-5.
Мас-Колелл, Андреу ; Whinston, Michael D.; Грин, Джерри Р. (1995). Микроэкономический анализ. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. 949–951. ISBN 0-19-507340-1.
Хорошо, Эфе А. (2007). Реальный анализ с экономическими приложениями. Издательство Принстонского университета. С. 216–226. ISBN 0-691-11768-3.