Функция выбора

редактировать

A функция выбора (селектор, выбор ) - это математическая функция f, которая определена в некоторой коллекции X непустых наборов и присваивается каждому набору S в этом коллекция некоторый элемент f (S) из S. Другими словами, f является функцией выбора для X тогда и только тогда, когда он принадлежит прямому продукту X.

Содержание

1 Пример
2 История и важность
3 Функция выбора многозначной карты
4 Функция тау Бурбаки
5 См. Также
6 Примечания
7 Ссылки

Пример

Пусть X = {{1,4,7}, {9}, {2,7}}. Тогда функция, которая присваивает 7 множеству {1,4,7}, 9 - {9} и 2 - {2,7}, является функцией выбора в X.

История и важность

Эрнст Цермело (1904) ввел функции выбора, а также аксиому выбора (AC) и доказал теорему о хорошем упорядочивании, которая гласит, что любое множество может быть хорошо организованный. AC утверждает, что каждый набор непустых множеств имеет функцию выбора. Более слабая форма AC, аксиома счетного выбора (AC ω) утверждает, что каждое счетное множество непустых множеств имеет функцию выбора. Однако при отсутствии либо AC, либо AC ω некоторые наборы все же могут быть показаны как имеющие функцию выбора.

Если $X {\ displaystyle X}$ $X$ является конечным набором непустых множеств, то можно построить функцию выбора для $X {\ displaystyle X}$ $X$ , выбирая по одному элементу из каждого члена $X. {\ displaystyle X.}$ $X.$ Для этого требуется только конечное число вариантов, поэтому ни AC, ни AC ω не нужны.
Если каждый член $X {\ displaystyle X}$ $X$ - непустой набор, а union $⋃ X {\ displaystyle \ bigcup X}$ $\ bigcup X$ хорошо упорядочен, тогда можно выбрать наименьший элемент каждого члена $X {\ displaystyle X}$ $X$ . В этом случае можно было одновременно правильно упорядочить каждый член $X {\ displaystyle X}$ $X$ , сделав только один выбор хорошего порядка объединения, так что ни AC, ни AC ω было необходимо. (Этот пример показывает, что из теоремы о хорошем порядке следует AC. Обратное также верно, но менее тривиально.)

Функция выбора многозначного отображения

Даны два множества X и Y, пусть F будет многозначным отображением из X и Y (эквивалентно, $F: X → P (Y) {\ displaystyle F: X \ rightarrow {\ mathcal {P}} (Y) }$ ${\ displaystyle F: X \ rightarrow {\ mathcal {P}} (Y)}$ - функция от X до набора мощности Y).

Функция $f: X → Y {\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$ $е: Икс \ стрелка вправо Y$ называется выбор из F, если:

∀ x ∈ X (f (x) ∈ F (x)). {\ displaystyle \ forall x \ in X \, (f (x) \ in F (x)) \,.}

{\ displaystyle \ forall x \ in X \, (f (x) \ in F (x)) \,.}

Существование более регулярных функций выбора, а именно непрерывного или измеримого выбора, важно в теории дифференциальные включения, оптимальное управление и математическая экономика. См. Теорема выбора.

функция тау Бурбаки

Николас Бурбаки использовал эпсилон-исчисление для своих основ, которые имели $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ символ, который можно интерпретировать как выбор объекта (если он существует), который удовлетворяет заданному предложению. Итак, если $P (x) {\ displaystyle P (x)}$ $Р (х)$ является предикатом, то $τ x (P) {\ displaystyle \ tau _ {x} (P)}$ $\ tau_ {x} (P)$ - один конкретный объект, который удовлетворяет $P {\ displaystyle P}$ $P$ (если он существует, в противном случае он возвращает произвольный объект). Следовательно, мы можем получить кванторы из функции выбора, например, $P (τ x (P)) {\ displaystyle P (\ tau _ {x} (P))}$ $P (\ tau_ {x} (P))$ эквивалентно $(∃ x) (P (x)) {\ displaystyle (\ exists x) (P (x))}$ $(\ существует x) (P (x))$ .

Однако оператор выбора Бурбаки сильнее обычного: это оператор глобального выбора. То есть это подразумевает аксиому глобального выбора. Гильберт понял это, когда ввел эпсилон-исчисление.

См. Также

Примечания

Ссылки

Это Статья включает материал из функции выбора на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.