Набор решений

редактировать

В математике набор решений является набор значений, которые удовлетворяют заданному набору уравнений или неравенств.

Например, для набора ${fi} {\ displaystyle \ {f_ {i} \}}$ $\ {f_ {i} \}$ из многочленов над кольцом $R {\ displaystyle R}$ $R$ , набор решений - это подмножество $R {\ displaystyle R}$ $R$ , на котором все многочлены исчезают (оценивается как 0) формально

{x ∈ R: ∀ i ∈ I, fi (x) = 0}. {\ displaystyle \ {x \ in R: \ forall i \ in I, f_ {i} (x) = 0 \}. \}

\ {x \ in R: \ forall i \ in I, f_ {i} (x) = 0 \}. \

допустимая область ограниченной оптимизации проблема - это набор решений для ограничений.

Содержание

1 Примеры
2 Примечания
3 Другие значения
- 3.1 Примеры
4 См. Также

Примеры

1. Набор решений единственного уравнения $x = 0 {\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ - это набор {0}.

2. Для любого ненулевого полинома $f {\ displaystyle f}$ $f$ от комплексных чисел в одной переменной набор решений состоит из конечного числа точек.

3. Однако для комплексного полинома от более чем одной переменной множество решений не имеет изолированных точек.

Примечания

В алгебраической геометрии наборы решений называются алгебраическими наборами, если нет неравенств. Над вещественными числами и с неравенствами называются полуалгебраические множества.

Другие значения

В более общем плане решение устанавливает в произвольный набор E из отношений (Ei) (i изменяется в некотором наборе индексов I) для набора неизвестных $(xj) j ∈ J {\ displaystyle {(x_ {j})} _ {j \ in J} }$ ${(x_ {j})} _ {{j \ in J }}$ , должен принимать значения в соответствующих пробелах $(X j) j ∈ J {\ displaystyle {(X_ {j})} _ {j \ in J}}$ ${(X_ {j})} _ {{j \ in J}}$ , - это множество S всех решений отношений E, где решение $x (k) {\ displaystyle x ^ {(k)}}$ $x ^ {(k)}$ представляет собой семейство значений $(xj (к)) j ∈ J ∈ ∏ j ∈ JX j {\ displaystyle {(x_ {j} ^ {(k)})} _ {j \ in J} \ in \ prod _ {j \ in J} X_ { j}}$ ${(x_ {j} ^ {{(k)}})} _ {{j \ in J}} \ in \ prod _ {{j \ in J}} X_ {j}$ таким образом, чтобы вместо $(xj) j ∈ J {\ displaystyle {(x_ {j})} _ {j \ in J}}$ ${(x_ {j})} _ {{j \ in J }}$ на $x (k) {\ displaystyle x ^ {(k)}}$ $x ^ {(k)}$ в коллекции E делает все отношения "истинными".

(Вместо отношений, зависящих от неизвестных, правильнее говорить о предикатах, набор E - это их логическое соединение, а набор решений - обратное изображение логического значения true ассоциированной булевозначной функцией.)

Вышеупомянутое значение является частным случаем этого, если набор многочленов f i, если интерпретируется как система уравнений f i (x) = 0.

Примеры

Набор решений для E = {x + y = 0} относительно $(x, y) ∈ R 2 {\ displaystyle (x, y) \ in \ mathbb { R} ^ {2}}$ $(x, y) \ in {\ mathbb R} ^ {2}$ - это S = {(a, -a); a ∈ R }.
Набор решений для E = {x + y = 0} относительно $x ∈ R {\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} }$ $x \ in {\ mathbb R}$ - это S = {-y}. (Здесь y не «объявляется» как неизвестное, и поэтому его следует рассматривать как параметр , от которого зависит уравнение и, следовательно, набор решений.)
Набор решений для $E = {x ≤ 4} {\ displaystyle E = \ {{\ sqrt {x}} \ leq 4 \}}$ $E = \ {{\ sqrt x} \ leq 4 \}$ относительно $x ∈ R {\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ $x \ in {\ mathbb R}$ - интервал S = [0,2] (поскольку $x {\ displaystyle {\ sqrt {x}}}$ ${\ sqrt {x}}$ не определен для отрицательные значения x).
Набор решений для $E = {exp ⁡ (ix) = 1} {\ displaystyle E = \ {\ exp (ix) = 1 \}}$ $E = \ {\ exp (ix) = 1 \}$ относительно $x ∈ C {\ displaystyle x \ in \ mathbb {C}}$ $x \ in {\ mathbb C}$ равно S = 2 π Z (см. тождество Эйлера ).

Набор решений

Содержание

Примеры

Примечания

Другие значения

Примеры

См. Также