Пустой набор

редактировать

Математический набор, не содержащий элементов

Пустой набор - это набор, не содержащий элементов.

В математике, пустой набор является уникальным набором, не имеющим элементов ; его размер или мощность (количество элементов в наборе) равно нулю. Некоторые аксиоматические теории множеств гарантируют существование пустого множества, включая аксиому пустого множества, в то время как в других теориях его существование может быть выведено. Многие возможные свойства наборов истинны для пустого набора.

В некоторых учебниках и популяризациях пустой набор упоминается как «нулевой набор». Однако нулевой набор является отдельным понятием в контексте теории меры, в которой он описывает набор нулевой меры (который не обязательно является пустым). Пустой набор можно также назвать пустым набором. Обычно его обозначают символами $∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ , $∅ {\ displaystyle \ emptyset}$ $\ emptyset$ или ${} {\ displaystyle \ {\}}$ $\ {\}$ .

Содержание

1 Обозначение
2 Свойства
- 2.1 Операции с пустым множеством
3 В других областях математики
- 3.1 Расширенные действительные числа
- 3.2 Топология
- 3.3 Теория категорий
- 3.4 Теория множеств
4 Сомнительное существование
- 4.1 Аксиоматическая теория множеств
- 4.2 Философские вопросы
5 См. Также
6 Ссылки
7 Дополнительная литература
8 Внешние ссылки

Обозначения

Символ для пустого набора

Общие обозначения для пустого набора включают «{}», « $∅ {\ displaystyle \ emptyset}$ $\ emptyset$ » и «∅». Последние два символа были введены группой Бурбаки (в частности, André Weil ) в 1939 году, вдохновленной буквой Ø в датском и норвежский алфавиты. В прошлом «0» иногда использовался как символ для пустого набора, но теперь это считается неправильным использованием обозначения.

Символ ∅ доступен в Unicode точка U + 2205. Его можно закодировать в HTML как ∅и как ∅. Его можно закодировать в LaTeX как \ varnothing. Символ $∅ {\ displaystyle \ emptyset}$ $\ emptyset$ кодируется в LaTeX как \ emptyset.

При записи на таких языках, как датский и норвежский, где символ пустого набора можно спутать с буквенная буква Ø (как при использовании символа в лингвистике), вместо нее можно использовать символ Юникода U + 29B0 REVERSED EMPTY SET ⦰.

Свойства

В стандартной теории аксиоматических множеств, согласно принципу протяженности, два набора равны, если они имеют одинаковые элементы. В результате может быть только один набор без элементов, отсюда и использование «пустого набора», а не «пустого набора».

В следующем документе перечислены некоторые из наиболее примечательных свойств, связанных с пустым набором. Дополнительные сведения об используемых в нем математических символах см. В разделе Список математических символов.

Для любого набора A:

Пустой набор - это подмножество из A:
$∀ A: ∅ ⊆ A {\ displaystyle \ forall A: \ varnothing \ substeq A}$ ${\ displaystyle \ forall A: \ varnothing \ substeq A}$
объединение элемента A с пустым набором равно A:
$∀ A: A ∪ ∅ = A { \ displaystyle \ forall A: A \ cup \ varnothing = A}$ ${\ displaystyle \ forall A: A \ cup \ varnothing = A}$
пересечение точки A с пустым набором - это пустой набор:
$∀ A: A ∩ ∅ = ∅ {\ displaystyle \ forall A: A \ cap \ varnothing = \ varnothing}$ ${\ displaystyle \ forall A: A \ cap \ varnothing = \ varnothing}$
Декартово произведение числа A и пустое множество - это пустое множество:
$∀ A: A × ∅ = ∅ {\ displaystyle \ forall A: A \ times \ varnothing = \ varnothing}$ ${\ displaystyle \ forall A: A \ times \ varnothing = \ varnothing}$

Пустой набор имеет следующие свойства:

Его единственное подмножество - это само пустое множество:
$∀ A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅ { \ displaystyle \ forall A: A \ substeq \ varnothing \ Rightarrow A = \ varnothing}$ ${\ displaystyle \ forall A: A \ substeq \ varnothing \ Rightarrow A = \ varnothing}$
набор мощности пустого набора - это набор, содержащий только пустой набор:
$2 ∅ = { ∅} {\ displaystyle 2 ^ {\ varnothing} = \ {\ varnothing \} }$ ${ \ displaystyle 2 ^ {\ varnothing} = \ {\ varnothing \}}$
Количество элементов пустого набора (т.е. его мощность ) равно нулю:
$| ∅ | = 0 {\ displaystyle \ mathrm {|} \ varnothing \ mathrm {|} = 0}$ ${\ displaystyle \ mathrm {|} \ varnothing \ mathrm {|} = 0}$

Однако связь между пустым множеством и нулем идет дальше: в стандартном теоретико-множественном определении натуральных чисел, наборы используются для модели натуральных чисел. В этом контексте ноль моделируется пустым набором.

Для любого свойства P:

Для каждого элемента $∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ свойство P имеет (пусто истина ).
Нет элемента из $∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ , для которого выполняется свойство P.

И наоборот, если для некоторого свойства P и некоторого набора V, следующие два выполняются утверждения:

Для каждого элемента V выполняется свойство P
Нет элемента V, для которого свойство P выполняется

, тогда V = ∅.

По определению из подмножества, пустой набор является подмножеством любого множества A. То есть каждый элемент x из $∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ принадлежит A. Действительно, если неверно, что каждый элемент $∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ находится в A, тогда будет хотя бы один элемент $∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ , которого нет в A. Поскольку нет элементов $∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ вообще, нет элемента $∅ {\ display style \ varnothing}$ $\ varnothing$ , которого нет в A. Любое утверждение, которое начинается «для каждого элемента $∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ », не содержит никаких существенных утверждений; это пустая правда. Это часто перефразируют как «все верно для элементов пустого множества».

Операции с пустым множеством

Говоря о сумме элементов конечного множества, неизбежно приводят к соглашению, что сумма элементов пустой набор равен нулю. Причина в том, что ноль - это элемент идентификации для добавления. Аналогично, произведение элементов пустого набора следует рассматривать как единицу (см. пустой продукт ), поскольку единица является элементом идентичности для умножения.

A расстройство - это перестановка набора без фиксированных точек. Пустой набор можно рассматривать как нарушение самого себя, потому что он имеет только одну перестановку ( $0! = 1 {\ displaystyle 0! = 1}$ ${\ displaystyle 0! = 1}$ ), и совершенно верно, что ни один элемент ( пустого набора), который сохраняет исходное положение.

В других областях математики

Расширенные действительные числа

Поскольку пустое множество не имеет членов, когда оно рассматривается как подмножество любого упорядоченного множества, каждый член этого набора будет верхней и нижней границей пустого набора. Например, если рассматривать как подмножество действительных чисел, с его обычным порядком, представленным строкой вещественных чисел, каждое действительное число является как верхней, так и нижней границей пустого набора. Если рассматривать как подмножество расширенных вещественных чисел, образованных добавлением двух «чисел» или «точек» к действительным числам (а именно, отрицательная бесконечность, обозначенная $- ∞, {\ displaystyle - \ infty \! \,,}$ $- \ infty \ ! \,,$ , которое определяется как меньшее, чем любое другое расширенное действительное число, и положительная бесконечность, обозначаемая $+ ∞, {\ displaystyle + \ infty \! \,,}$ $+ \ infty \! \,,$ , которое определяется как большее, чем любое другое расширенное действительное число), мы имеем, что:

sup ∅ = min ({- ∞, + ∞} ∪ R) Знак равно - ∞, {\ displaystyle \ sup \ varnothing = \ min (\ {- \ infty, + \ infty \} \ cup \ mathbb {R}) = - \ infty,}

{\ displaystyle \ sup \ varnothing = \ min (\ {- \ infty, + \ infty \} \ cup \ mathbb {R }) = - \ infty,}

inf ∅ = макс ({- ∞, + ∞} R) = + ∞. {\ displaystyle \ inf \ varnothing = \ max (\ {- \ infty, + \ infty \} \ cup \ mathbb {R}) = + \ infty.}

{\ displaystyle \ inf \ varnothing = \ макс (\ {- \ infty, + \ infty \} \ чашка \ mathbb {R}) = + \ infty.}

То есть наименьшая верхняя граница (sup или supremum ) пустого множества - это отрицательная бесконечность, а наибольшая нижняя граница (inf или infimum ) - положительная бесконечность. По аналогии с вышеизложенным, в области расширенных вещественных чисел отрицательная бесконечность является единичным элементом для операторов максимума и супремума, а положительная бесконечность является единичным элементом для операторов минимума и инфимума.

Топология

В любом топологическом пространстве X пустой набор по определению открытый, как и X. Поскольку дополнение открытого набора - это закрытый, а пустой набор и X являются дополнениями друг друга, пустой набор также закрывается, что делает его закрытым набором. Более того, пустое множество компактно в силу того факта, что каждое конечное множество компактно.

закрытие пустого набора пусто. Это известно как «сохранение нулевых объединений ».

Теория категорий

Если A - множество, то существует ровно одна функция f от ∅ до A, пустая функция. В результате пустой набор является уникальным начальным объектом из категории наборов и функций.

Пустой набор можно превратить в топологическое пространство, называемое пустым пространством, только одним способом: определив пустой набор как open. Это пустое топологическое пространство является единственным исходным объектом в категории топологических пространств с непрерывными отображениями. Фактически, это строгий начальный объект : только пустой набор имеет функцию для пустого набора.

Теория множеств

В конструкции фон Неймана порядковых чисел 0 определяется как пустое множество, а последователь порядкового номера определяется как $S (α) знак равно α ∪ {α} {\ displaystyle S (\ alpha) = \ alpha \ cup \ {\ alpha \}}$ ${\ displaystyle S (\ alpha) = \ alpha \ cup \ {\ alpha \}}$ . Таким образом, мы имеем $0 = ∅ {\ displaystyle 0 = \ varnothing}$ ${\ displaystyle 0 = \ varnothing}$ , $1 = 0 ∪ {0} = {∅} {\ displaystyle 1 = 0 \ cup \ {0 \} = \ {\ varnothing \}}$ ${\ displaystyle 1 = 0 \ cup \ {0 \} = \ {\ varnothing \}}$ , $2 = 1 ∪ {1} = {∅, {∅}} {\ displaystyle 2 = 1 \ cup \ {1 \} = \ {\ varnothing, \ {\ varnothing \} \}}$ ${\ displaystyle 2 = 1 \ cup \ {1 \} = \ {\ varnothing, \ {\ varnothing \} \}}$ и так далее. Конструкция фон Неймана вместе с аксиомой бесконечности, которая гарантирует существование хотя бы одного бесконечного множества, может использоваться для построения множества натуральных чисел, $N 0 {\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0}}$ $\ mathbb {N} _ {0}$ , чтобы выполнялись аксиомы Пеано арифметики.

Существование под сомнение

Аксиоматическая теория множеств

В теории множеств Цермело существование пустого множества подтверждается аксиомой пустого множества. установить, и его уникальность следует из аксиомы экстенсиональности. Однако аксиому пустого множества можно показать как избыточную по крайней мере двумя способами:

Стандартная логика первого порядка просто из логических аксиом подразумевает, что что-то существует, и на языке теории множеств, это должно быть множество. Теперь существование пустого множества легко следует из аксиомы разделения .
Даже при использовании свободной логики (которая логически не подразумевает, что что-то существует), уже существует аксиома, подразумевающая существование по крайней мере, один набор, а именно аксиома бесконечности.

Философские вопросы

Хотя пустой набор является стандартной и широко принятой математической концепцией, он остается онтологической диковинкой, которая смысл и полезность обсуждаются философами и логиками.

Пустой набор - это не то же самое, что ничего ; скорее, это набор, внутри которого ничего нет, а набор всегда что-то. Эту проблему можно решить, рассматривая набор как мешок - пустой мешок, несомненно, все еще существует. Дарлинг (2004) объясняет, что пустой набор - это не ничто, а скорее «набор всех треугольников с четырьмя сторонами, набор всех чисел, которые больше девяти, но меньше восьми, и набор всех начальных ходов. в шахматах с участием короля."

Популярный силлогизм

Нет ничего лучше вечного счастья; бутерброд с ветчиной лучше, чем ничего; следовательно, бутерброд с ветчиной лучше, чем вечное счастье

часто используется для демонстрации философской связи между концепцией «ничто» и пустым множеством. Дарлинг пишет, что контраст можно увидеть, переписав утверждения «Нет ничего лучше вечного счастья» и «[A ] бутерброд с ветчиной лучше, чем ничего »математическим тоном. По словам Дарлинга, первое эквивалентно« Множество всего, что лучше вечного счастья: $∅ {\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ "и последнее на" Набор {бутерброд с ветчиной} лучше, чем набор $∅ {\ displaystyle \ varnothin " g}$ $\ varnothing$ ". Первый сравнивает элементы множеств, а второй сравнивает сами множества.

Джонатан Лоу утверждает, что, хотя пустой набор:

«... несомненно, был важной вехой в истории математики,... мы не следует предполагать, что его полезность в вычислениях зависит от фактического обозначения им какого-либо объекта. "

это также случай, когда:

" Все, что нам когда-либо сообщают о пустом множестве, это то, что он (1) является set, (2) не имеет членов, а (3) уникален среди множеств тем, что не имеет членов.Однако есть очень много вещей, которые «не имеют членов» в теоретико-множественном смысле, а именно, все не-множества. Совершенно ясно, почему у этих вещей нет членов, поскольку они не являются множествами. Неясно, как может существовать однозначно среди множеств набор, не имеющий членов. Мы не можем вызвать такую сущность к существованию простым условием ".

Джордж Булос утверждал, что многое из того, что до сих пор было получено с помощью теории множеств, может быть так же легко получено множественным числом фиксация над отдельными людьми, без реифицируя наборы как единичные сущности с другими сущностями в качестве членов.

См. также

Ссылки

Дополнительная литература

Халмос, Пол, Наивная теория множеств. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag издание). Перепечатано Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (издание в мягкой обложке).
Jech, Thomas (2002), Теория множеств, Монографии Спрингера по математике (изд. 3-го тысячелетия), Springer, ISBN 3-540-44085-2
Graham, Malcolm (1975), Modern Elementary Mathematics (2nd ed..), Харкорт Брейс Йованович, ISBN 0155610392

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик У. «Пустой набор». MathWorld.