В математике, пустой набор является уникальным набором, не имеющим элементов ; его размер или мощность (количество элементов в наборе) равно нулю. Некоторые аксиоматические теории множеств гарантируют существование пустого множества, включая аксиому пустого множества, в то время как в других теориях его существование может быть выведено. Многие возможные свойства наборов истинны для пустого набора.
В некоторых учебниках и популяризациях пустой набор упоминается как «нулевой набор». Однако нулевой набор является отдельным понятием в контексте теории меры, в которой он описывает набор нулевой меры (который не обязательно является пустым). Пустой набор можно также назвать пустым набором. Обычно его обозначают символами , или .
Общие обозначения для пустого набора включают «{}», «» и «∅». Последние два символа были введены группой Бурбаки (в частности, André Weil ) в 1939 году, вдохновленной буквой Ø в датском и норвежский алфавиты. В прошлом «0» иногда использовался как символ для пустого набора, но теперь это считается неправильным использованием обозначения.
Символ ∅ доступен в Unicode точка U + 2205. Его можно закодировать в HTML как ∅и как ∅. Его можно закодировать в LaTeX как \ varnothing. Символ кодируется в LaTeX как \ emptyset.
При записи на таких языках, как датский и норвежский, где символ пустого набора можно спутать с буквенная буква Ø (как при использовании символа в лингвистике), вместо нее можно использовать символ Юникода U + 29B0 REVERSED EMPTY SET ⦰.
В стандартной теории аксиоматических множеств, согласно принципу протяженности, два набора равны, если они имеют одинаковые элементы. В результате может быть только один набор без элементов, отсюда и использование «пустого набора», а не «пустого набора».
В следующем документе перечислены некоторые из наиболее примечательных свойств, связанных с пустым набором. Дополнительные сведения об используемых в нем математических символах см. В разделе Список математических символов.
Для любого набора A:
Пустой набор имеет следующие свойства:
Однако связь между пустым множеством и нулем идет дальше: в стандартном теоретико-множественном определении натуральных чисел, наборы используются для модели натуральных чисел. В этом контексте ноль моделируется пустым набором.
Для любого свойства P:
И наоборот, если для некоторого свойства P и некоторого набора V, следующие два выполняются утверждения:
, тогда V = ∅.
По определению из подмножества, пустой набор является подмножеством любого множества A. То есть каждый элемент x из принадлежит A. Действительно, если неверно, что каждый элемент находится в A, тогда будет хотя бы один элемент , которого нет в A. Поскольку нет элементов вообще, нет элемента , которого нет в A. Любое утверждение, которое начинается «для каждого элемента », не содержит никаких существенных утверждений; это пустая правда. Это часто перефразируют как «все верно для элементов пустого множества».
Говоря о сумме элементов конечного множества, неизбежно приводят к соглашению, что сумма элементов пустой набор равен нулю. Причина в том, что ноль - это элемент идентификации для добавления. Аналогично, произведение элементов пустого набора следует рассматривать как единицу (см. пустой продукт ), поскольку единица является элементом идентичности для умножения.
A расстройство - это перестановка набора без фиксированных точек. Пустой набор можно рассматривать как нарушение самого себя, потому что он имеет только одну перестановку (), и совершенно верно, что ни один элемент ( пустого набора), который сохраняет исходное положение.
Поскольку пустое множество не имеет членов, когда оно рассматривается как подмножество любого упорядоченного множества, каждый член этого набора будет верхней и нижней границей пустого набора. Например, если рассматривать как подмножество действительных чисел, с его обычным порядком, представленным строкой вещественных чисел, каждое действительное число является как верхней, так и нижней границей пустого набора. Если рассматривать как подмножество расширенных вещественных чисел, образованных добавлением двух «чисел» или «точек» к действительным числам (а именно, отрицательная бесконечность, обозначенная , которое определяется как меньшее, чем любое другое расширенное действительное число, и положительная бесконечность, обозначаемая , которое определяется как большее, чем любое другое расширенное действительное число), мы имеем, что:
и
То есть наименьшая верхняя граница (sup или supremum ) пустого множества - это отрицательная бесконечность, а наибольшая нижняя граница (inf или infimum ) - положительная бесконечность. По аналогии с вышеизложенным, в области расширенных вещественных чисел отрицательная бесконечность является единичным элементом для операторов максимума и супремума, а положительная бесконечность является единичным элементом для операторов минимума и инфимума.
В любом топологическом пространстве X пустой набор по определению открытый, как и X. Поскольку дополнение открытого набора - это закрытый, а пустой набор и X являются дополнениями друг друга, пустой набор также закрывается, что делает его закрытым набором. Более того, пустое множество компактно в силу того факта, что каждое конечное множество компактно.
закрытие пустого набора пусто. Это известно как «сохранение нулевых объединений ».
Если A - множество, то существует ровно одна функция f от ∅ до A, пустая функция. В результате пустой набор является уникальным начальным объектом из категории наборов и функций.
Пустой набор можно превратить в топологическое пространство, называемое пустым пространством, только одним способом: определив пустой набор как open. Это пустое топологическое пространство является единственным исходным объектом в категории топологических пространств с непрерывными отображениями. Фактически, это строгий начальный объект : только пустой набор имеет функцию для пустого набора.
В конструкции фон Неймана порядковых чисел 0 определяется как пустое множество, а последователь порядкового номера определяется как . Таким образом, мы имеем , , и так далее. Конструкция фон Неймана вместе с аксиомой бесконечности, которая гарантирует существование хотя бы одного бесконечного множества, может использоваться для построения множества натуральных чисел, , чтобы выполнялись аксиомы Пеано арифметики.
В теории множеств Цермело существование пустого множества подтверждается аксиомой пустого множества. установить, и его уникальность следует из аксиомы экстенсиональности. Однако аксиому пустого множества можно показать как избыточную по крайней мере двумя способами:
Хотя пустой набор является стандартной и широко принятой математической концепцией, он остается онтологической диковинкой, которая смысл и полезность обсуждаются философами и логиками.
Пустой набор - это не то же самое, что ничего ; скорее, это набор, внутри которого ничего нет, а набор всегда что-то. Эту проблему можно решить, рассматривая набор как мешок - пустой мешок, несомненно, все еще существует. Дарлинг (2004) объясняет, что пустой набор - это не ничто, а скорее «набор всех треугольников с четырьмя сторонами, набор всех чисел, которые больше девяти, но меньше восьми, и набор всех начальных ходов. в шахматах с участием короля."
Популярный силлогизм
часто используется для демонстрации философской связи между концепцией «ничто» и пустым множеством. Дарлинг пишет, что контраст можно увидеть, переписав утверждения «Нет ничего лучше вечного счастья» и «[A ] бутерброд с ветчиной лучше, чем ничего »математическим тоном. По словам Дарлинга, первое эквивалентно« Множество всего, что лучше вечного счастья: "и последнее на" Набор {бутерброд с ветчиной} лучше, чем набор ". Первый сравнивает элементы множеств, а второй сравнивает сами множества.
Джонатан Лоу утверждает, что, хотя пустой набор:
это также случай, когда:
Джордж Булос утверждал, что многое из того, что до сих пор было получено с помощью теории множеств, может быть так же легко получено множественным числом фиксация над отдельными людьми, без реифицируя наборы как единичные сущности с другими сущностями в качестве членов.