Теоретико-множественное определение натуральных чисел

редактировать

В теории множеств было предложено несколько способов построения натурального числа. К ним относятся представление через ординалы фон Неймана, обычно используемые в аксиоматической теории множеств, и систему, основанную на эквиномерности, предложенную Готтлобом Фреге и Бертран Рассел.

Содержание

  • 1 Определение как порядковые числа фон Неймана
  • 2 Фреге и Рассел
  • 3 Хэтчер
  • 4 См. Также
  • 5 Ссылки
  • 6 Внешние ссылки

Определение как порядковые числа фон Неймана

В теории множеств Цермело – Френкеля (ZF) натуральные числа определяются рекурсивно, если 0 = {} быть пустое множество и n + 1 = n ∪ {n} для каждого n. Таким образом, n = {0, 1,..., n - 1} для каждого натурального числа n. Это определение обладает тем свойством, что n - это набор, содержащий n элементов. Вот несколько первых чисел, определенных таким образом: (Goldrei 1996)

0 = {} = ∅, 1 = {0} = {∅}, 2 = {0, 1} = {∅, {∅}}, 3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}. {\ Displaystyle {\ begin {alignat} {2} 0 {} = \ {\} {} = \ emptyset, \\ 1 {} = \ {0 \} {} = \ {\ emptyset \}, \\ 2 {} = \ {0,1 \} {} = \ {\ emptyset, \ { \ emptyset \} \}, \\ 3 {} = \ {0,1,2 \} {} = \ {\ emptyset, \ {\ emptyset \}, \ {\ emptyset, \ {\ emptyset \} \ } \}. \ end {alignat}}}{\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} 0 {} = \ {\} {} = \ emptyset, \\ 1 {} = \ {0 \} {} = \ {\ emptyset \}, \\ 2 {} = \ {0,1 \} {} = \ {\ emptyset, \ {\ emptyset \} \}, \\ 3 {} = \ {0,1,2 \} {} = \ {\ emptyset, \ {\ emptyse t \}, \ {\ emptyset, \ {\ emptyset \} \} \}. \ end {alignat}}}

Множество натуральных чисел N определяется в этой системе как наименьшее множество, содержащее 0 и замкнутое под действием функции-преемника S, определенной как S (n) = n ∪ {n}. Структура ⟨N, 0, S⟩ является моделью аксиом Пеано (Goldrei 1996). Существование множества N эквивалентно аксиоме бесконечности. в теории множеств ZF.

Множество N и его элементы, построенные таким образом, являются начальной частью ординалов фон Неймана.

Фреге и Рассел

Готлоб Фреге и Бертран Рассел предложили определить натуральное число n как совокупность всех наборов с n элементами. Более формально натуральное число - это класс эквивалентности конечных множеств в соответствии с отношением эквивалентности равноденствия. Это определение может показаться круглым, но это не так, потому что равнодоступность можно определить по-разному, например, сказав, что два множества равны, если их можно поместить в взаимно однозначное соответствие - это так. иногда известный как принцип Юма.

Это определение работает в теории типов, а также в теориях множеств, выросших из теории типов, таких как New Foundations и связанных с ними системах. Но это не работает в аксиоматической теории множеств ZFC или в некоторых связанных системах, потому что в таких системах классы эквивалентности при равномасштабности являются собственными классами, а не наборами.

Хэтчер

Уильям С. Хэтчер (1982) выводит аксиомы Пеано из нескольких основополагающих систем, включая ZFC и теорию категорий, а также из системы из "Grundgesetze der Arithmetik" Фреге с использованием современных обозначений и естественной дедукции. Парадокс Рассела доказал, что эта система несовместима, но Джордж Булос (1998), Дэвид Дж. Андерсон и Эдвард Залта (2004) показывают, как это исправить.

См. Также

  • Философский портал
  • icon Математический портал

Ссылки

  • Андерсон, Д.Д. и Эдвард Zalta, 2004, «Frege, Boolos, and Logical Objects», Journal of Philosophical Logic 33: 1-26.
  • Джордж Булос, 1998. Логика, логика и логика.
  • Goldrei, Дерек (1996). Классическая теория множеств. Chapman Hall. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
  • Хэтчер, Уильям С., 1982. Логические основы математики. Пергамон. В этом тексте S относится к аксиомам Пеано.
  • Holmes, Randall, 1998. Теория элементарных множеств с универсальным множеством. Academia-Bruylant. Издатель любезно согласился разрешить распространение этого введение в NFU через Интернет. Авторские права защищены.
  • Патрик Суппес, 1972 (1960). Axiomatic Set Theory. Dover.

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-08 01:33:31
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте