В теории множеств было предложено несколько способов построения натурального числа. К ним относятся представление через ординалы фон Неймана, обычно используемые в аксиоматической теории множеств, и систему, основанную на эквиномерности, предложенную Готтлобом Фреге и Бертран Рассел.
В теории множеств Цермело – Френкеля (ZF) натуральные числа определяются рекурсивно, если 0 = {} быть пустое множество и n + 1 = n ∪ {n} для каждого n. Таким образом, n = {0, 1,..., n - 1} для каждого натурального числа n. Это определение обладает тем свойством, что n - это набор, содержащий n элементов. Вот несколько первых чисел, определенных таким образом: (Goldrei 1996)
Множество натуральных чисел N определяется в этой системе как наименьшее множество, содержащее 0 и замкнутое под действием функции-преемника S, определенной как S (n) = n ∪ {n}. Структура ⟨N, 0, S⟩ является моделью аксиом Пеано (Goldrei 1996). Существование множества N эквивалентно аксиоме бесконечности. в теории множеств ZF.
Множество N и его элементы, построенные таким образом, являются начальной частью ординалов фон Неймана.
Готлоб Фреге и Бертран Рассел предложили определить натуральное число n как совокупность всех наборов с n элементами. Более формально натуральное число - это класс эквивалентности конечных множеств в соответствии с отношением эквивалентности равноденствия. Это определение может показаться круглым, но это не так, потому что равнодоступность можно определить по-разному, например, сказав, что два множества равны, если их можно поместить в взаимно однозначное соответствие - это так. иногда известный как принцип Юма.
Это определение работает в теории типов, а также в теориях множеств, выросших из теории типов, таких как New Foundations и связанных с ними системах. Но это не работает в аксиоматической теории множеств ZFC или в некоторых связанных системах, потому что в таких системах классы эквивалентности при равномасштабности являются собственными классами, а не наборами.
Уильям С. Хэтчер (1982) выводит аксиомы Пеано из нескольких основополагающих систем, включая ZFC и теорию категорий, а также из системы из "Grundgesetze der Arithmetik" Фреге с использованием современных обозначений и естественной дедукции. Парадокс Рассела доказал, что эта система несовместима, но Джордж Булос (1998), Дэвид Дж. Андерсон и Эдвард Залта (2004) показывают, как это исправить.