Аксиома протяженности

редактировать

В теории аксиоматических множеств и ветвях логики, математики и информатика, которые ее используют, аксиома экстенсиональности или аксиома расширения, является одной из аксиом из Цермело– Теория множеств Френкеля.

Содержание

1 Формальное утверждение
2 Интерпретация
3 В логике предикатов без равенства
4 В теории множеств с ur-элементами
5 См. Также
6 Ссылки

Формальное утверждение

На формальном языке аксиом Цермело – Френкеля аксиома имеет следующий вид:

∀ A ∀ B (∀ X (X ∈ A ⟺ X ∈ B) ⟹ A = B) {\ displaystyle \ forall A \, \ forall B \, (\ forall X \, (X \ in A \ iff X \ in B) \ подразумевает A = B)}

{\ displaystyle \ forall A \, \ forall B \, (\ forall X \, (X \ in A \ iff X \ in B) \ подразумевает A = B)}

или словами:

Для любого набора A и любого набора B, если для каждого набора X, X является членом A тогда и только тогда, когда X является членом of B, то A равно to B.

(На самом деле не обязательно, чтобы X здесь был набором, но в ZF все так. См. Ur-elementsниже, где это нарушается.)

Обратное, $∀ A ∀ B (A = B ⟹ ∀ X (X ∈ A ⟺ X ∈ B)), {\ Displaystyle \ forall A \, \ forall B \, (A = B \ подразумевает \ forall X \, (X \ in A \ iff X \ in B)),}$ ${\ displaystyle \ forall A \, \ forall B \, (A = B \ подразумевает \ forall X \, (X \ in A \ iff X \ in B)),}$ этой аксиомы следует из свойства подстановки равенства.

Интерпретация

Чтобы понять эту аксиому, обратите внимание, что предложение в круглых скобках в символьном утверждении выше просто утверждает, что A и B имеют точно такие же члены. Таким образом, аксиома на самом деле говорит о том, что два множества равны тогда и только тогда, когда имеют точно такие же члены. Суть этого такова:

Множество однозначно определяется своими элементами.

Аксиома экстенсиональности может использоваться с любым утверждением вида $∃ A ∀ X (X ∈ A ⟺ P (X)) {\ Displaystyle \ существует A \, \ forall X \, (X \ in A \ iff P (X) \,)}$ $\ существует A \, \ forall X \, (X \ in A \ iff P (X) \,)$ , где P - любой унарный предикат, который не говоря уже о A, чтобы определить уникальный набор $A {\ displaystyle A}$ $A$ , членами которого являются в точности наборы, удовлетворяющие предикату $P {\ displaystyle P}$ $п$ . Затем мы можем ввести новый символ для $A {\ displaystyle A}$ $A$ ; Таким образом, определения в обычной математике в конечном итоге работают, когда их утверждения сводятся к чисто теоретико-множественным терминам.

Аксиома экстенсиональности обычно не вызывает споров в теоретико-множественных основаниях математики, и она или ее эквивалент появляется практически в любой альтернативной аксиоматизации теории множеств. Однако для некоторых целей могут потребоваться модификации, как показано ниже.

В логике предикатов без равенства

Приведенная выше аксиома предполагает, что равенство является примитивным символом в логике предикатов. Некоторые трактовки аксиоматической теории множеств предпочитают обходиться без этого и вместо этого рассматривают приведенное выше утверждение не как аксиому, а как определение равенства. Затем необходимо включить обычные аксиомы равенства из логики предикатов в качестве аксиом об этом определенном символе. Большинство аксиом равенства все еще вытекают из определения; оставшееся - свойство подстановки,

∀ A ∀ B (∀ X (X ∈ A ⟺ X ∈ B) ⟹ ∀ Y (A ∈ Y ⟺ B ∈ Y)), {\ displaystyle \ forall A \, \ forall B \, (\ forall X \, (X \ in A \ iff X \ in B) \ подразумевает \ forall Y \, (A \ in Y \ iff B \ in Y) \,),}

{\ displaystyle \ forall A \, \ forall B \, (\ forall X \, (X \ in A \ тогда и только тогда, когда X \ in B) \ подразумевает \ forall Y \, (A \ in Y \ iff B \ in Y) \,),}

и это становится этой аксиомой, которая в данном контексте называется аксиомой экстенсиональности.

В теории множеств с ur-элементами

ur-element является членом набора, который сам не является набором. В аксиомах Цермело – Френкеля нет ur-элементов, но они включены в некоторые альтернативные аксиоматизации теории множеств. Ur-элементы можно рассматривать как другой логический тип, нежели наборы; в этом случае $B ∈ A {\ displaystyle B \ in A}$ $B \ in A$ не имеет смысла, если $A {\ displaystyle A}$ $A$ является элементом ur, поэтому аксиома протяженности просто применима только к множествам.

В качестве альтернативы, в нетипизированной логике, мы можем потребовать, чтобы $B ∈ A {\ displaystyle B \ in A}$ $B \ in A$ был ложным всякий раз, когда $A {\ displaystyle A}$ $A$ - это ur-элемент. В этом случае обычная аксиома экстенсиональности будет означать, что каждый ur-элемент равен пустому множеству. Чтобы избежать этого следствия, мы можем изменить аксиому экстенсиональности, применив ее только к непустым множествам, так, чтобы она читалась так:

∀ A ∀ B (∃ X (X ∈ A) ⟹ [∀ Y (Y ∈ A ⟺ Y ∈ B) ⟹ A = B]). {\ Displaystyle \ forall A \, \ forall B \, (\ существует X \, (X \ in A) \ подразумевает [\ forall Y \, (Y \ in A \ iff Y \ in B) \ подразумевает A = B ] \,).}

{\ Displaystyle \ forall A \, \ forall B \, (\ существует X \, (X \ in A) \ подразумевает [\ forall Y \, (Y \ in A \ iff Y \ in B) \ подразумевает A = B] \,).}

То есть:

Для любого множества A и любого множества B, если A непустое множество (то есть, если существует член X из A), то если A и B имеют точно такие же члены, то они равны.

Еще одна альтернатива в нетипизированной логике - определить сам $A {\ displaystyle A}$ $A$ как единственный элемент $A {\ displaystyle A}$ $A$ всякий раз, когда $A {\ displaystyle A}$ $A$ является элементом ur. Хотя этот подход может служить для сохранения аксиомы протяженности, аксиома регулярности вместо этого потребует корректировки.

См. Также

Расширяемость для общего обзора.

Ссылки

Пол Халмос, Наивная теория множеств. Принстон, штат Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
Jech, Thomas, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, исправленное и расширенное. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: Введение в доказательства независимости. Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9.