Войти
A установить равно закрыть при выполнении операции, если выполнение этого операция над членами набора всегда производит член этого набора. Например, положительные целые числа закрываются при сложении, но не при вычитании: 
Аналогично, набор называется закрытым для набора операций, если он закрывается для каждой из операций индивидуально.
Говорят, что набор, закрытый при операции или коллекции операций, удовлетворяет свойству закрытия . Часто свойство замыкания вводится как аксиома , которую затем обычно называют аксиомой замыкания . Современные теоретико-множественные определения обычно определяют операции как карты между множествами, поэтому добавление замыкания к структуре как аксиомы излишне; однако на практике операции часто изначально определяются на надмножестве рассматриваемого набора, и требуется доказательство замыкания, чтобы установить, что операция, применяемая к парам из этого набора, производит только элементы этого набора. Например, набор четных целых чисел закрывается при сложении, а набор нечетных чисел - нет.
Когда множество S не закрывается при некоторых операциях, обычно можно найти наименьшее замкнутое множество, содержащее S. Это наименьшее замкнутое множество называется замыканием S (относительно этих операций). Например, закрытие при вычитании набора натуральных чисел, рассматриваемого как подмножество действительных чисел, представляет собой набор целых чисел. Важным примером является пример топологического замыкания. Понятие замыкания обобщается с помощью соединения Галуа и, далее, с помощью монад.
. Множество S должно быть подмножеством замкнутого множества, чтобы можно было определить оператор замыкания. В предыдущем примере важно, чтобы действительные числа были закрыты при вычитании; в области натуральных чисел вычитание не всегда определяется.
Не следует путать два использования слова «закрытие». Первое использование относится к свойству быть закрытым, а второе относится к наименьшему закрытому набору, содержащему тот, который не может быть закрыт. Короче говоря, замыкание множества удовлетворяет свойству замыкания.
Набор закрывается при выполнении операции, если операция возвращает член набора при оценке на членах набора. Иногда требование, чтобы операция оценивалась в наборе, явно указывается, и в этом случае это известно как аксиома замыкания . Например, можно определить группу как набор с оператором двоичного произведения, подчиняющимся нескольким аксиомам, включая аксиому о том, что произведение любых двух элементов группы снова является элементом. Однако современное определение операции делает эту аксиому излишней; n-ary операция на S - это просто подмножество S. По самому своему определению оператор в наборе не может иметь значений вне набора.
Тем не менее свойство замыкания оператора на множестве все еще имеет некоторую полезность. Замыкание набора не обязательно подразумевает замыкание всех подмножеств. Таким образом, подгруппа группы является подмножеством, на котором двоичное произведение и унарная операция из инверсия удовлетворяют аксиоме замыкания.
Операция другого типа - это операция поиска предельных точек подмножества топологического пространства. Набор, закрытый в результате этой операции, обычно называется закрытым набором в контексте топологии . Без каких-либо дополнительных уточнений эта фраза обычно означает закрытый в этом смысле. Закрытые интервалы типа [1,2] = {x: 1 ≤ x ≤ 2} в этом смысле замкнуты.
Подмножество частично упорядоченного набора - это закрытый вниз набор (также называемый нижний набор ), если для каждого элемента подмножества все меньшие элементы также в подмножестве. Это применимо, например, к реальным интервалам (−∞, p) и (−∞, p], а также к порядковому номеру p, представленному как interval [0, p). Каждый закрытый вниз набор порядковых чисел сам по себе является порядковым числом. Закрытые вверх множества (также называемые верхними множествами) определяются аналогично.
Для данной операции над множеством X можно определить замыкание C (S) подмножества S множества X как наименьшее подмножество, замкнутое при этой операции, которое содержит S как подмножество, если такие подмножества существуют. Следовательно, C (S) является пересечением всех замкнутых множеств, содержащих S. Например, замыкание подмножества группы - это подгруппа , сгенерированная этим множеством.
Замыкание множеств относительно некоторой операции определяет оператор замыкания на подмножествах X. Замкнутые множества могут быть определены с помощью оператора замыкания; набор закрывается, если он равен своему собственному замыканию. Типичными структурными свойствами всех операций закрытия являются:
Объект, который является его собственным замыканием, называется закрытым . По идемпотентности объект закрыт тогда и только тогда, когда это закрытие некоторого объекта.
Эти три свойства определяют абстрактный оператор замыкания . Обычно абстрактное замыкание действует на класс всех подмножеств набора.
Если X содержится в наборе, закрытом операцией, то каждое подмножество X имеет замыкание.
Рассмотрим сначала однородные отношения R ⊆ A × A. Если отношение S удовлетворяет aSb ⇒ bSa, то это симметричное отношение. Произвольное однородное отношение R может не быть симметричным, но оно всегда содержится в некотором симметричном отношении: R ⊆ S. Операция поиска наименьшего такого S соответствует оператору замыкания, называемому симметричным замыканием.
A транзитивным отношением T удовлетворяет условию aTb ∧ bTc ⇒ aTc. Произвольное однородное отношение R может не быть транзитивным, но оно всегда содержится в некотором транзитивном отношении: R ⊆ T. Операция поиска наименьшего такого T соответствует оператору замыкания, называемому транзитивным замыканием.
Среди гетерогенных В отношениях существуют свойства дифункциональности и контакта, которые приводят к дифункциональному замыканию и замыканию контакта . Присутствие этих операторов замыкания в бинарных отношениях приводит к топологии , поскольку аксиомы открытого множества могут быть заменены аксиомами замыкания Куратовского. Таким образом, каждое свойство P, симметрия, транзитивность, дифункциональность или контакт соответствует реляционной топологии.
В теории переписывания систем часто используются более многословные понятия, такие как рефлексивное транзитивное замыкание R - наименьший предпорядок, содержащий R, или рефлексивное транзитивное симметричное замыкание R - наименьшее отношение эквивалентности, содержащее R, и, следовательно, также известный как закрытие эквивалентности . При рассмотрении конкретного термина алгебры отношение эквивалентности, которое совместимо со всеми операциями алгебры, называется отношением конгруэнтности. замыкание конгруэнтности R определяется как наименьшее отношение конгруэнтности, содержащее R.
Для произвольных P и R замыкание P для R может не существовать. В приведенных выше примерах они существуют, потому что рефлексивность, транзитивность и симметрия замкнуты относительно произвольных пересечений. В таких случаях замыкание P можно напрямую определить как пересечение всех множеств со свойством P, содержащим R.
Некоторые важные частные замыкания могут быть конструктивно получены следующим образом:
Отношение R считается закрытым при некотором cl xxx, если R = cl xxx (R); например, R называется симметричным, если R = cl sym (R).
Любое из этих четырех замыканий сохраняет симметрию, т. Е. Если R симметрично, то и любое cl xxx (R). Точно так же все четыре сохраняют рефлексивность. Кроме того, cl trn сохраняет замыкание по cl emb, Σ для произвольного Σ. Как следствие, замыкание эквивалентности произвольного бинарного отношения R может быть получено как cl trn (cl sym (cl ref (R))), и замыкание сравнения относительно некоторого Σ может быть получено как cl trn (cl emb, Σ (cl sym (cl ref ( Р)))). В последнем случае порядок вложения имеет значение; например если S - множество термов над Σ = {a, b, c, f} и R = {⟨a, b⟩, ⟨f (b), c⟩}, то пара ⟨f (a), c⟩ содержится в замыкании сравнения cl trn (cl emb, Σ (cl sym (cl ref (R)))) R, но не в отношении cl emb, Σ (cl trn (cl sym (cl ref (R)))).
Математический портал 