Наивная теория множеств (книга)

редактировать

См. Также Наивная теория множеств по математической теме.

Первое издание

Наивная теория множеств - это учебник математики, написанный Полом Халмосом, в котором для студентов вводится теория множеств. Первоначально опубликованный Ван Нострандом в 1960 году, он был переиздан в серии Springer-Verlag Undergraduate Texts in Mathematics в 1974 году.

Хотя в названии говорится, что это наивно, что обычно означает без аксиом, книга действительно вводит все аксиомы теории множеств ZFC (кроме Axiom of Foundation ) и дает правильные и строгие определения основных объектов. От «истинной» книги по аксиоматической теории множеств она отличается ее характером: здесь нет обсуждения аксиоматических мелочей и почти ничего не говорится о сложных темах, таких как большие кардиналы. Вместо этого он пытается быть понятным для тех, кто никогда раньше не задумывался о теории множеств.

Халмос позже заявил, что это была самая быстрая книга, которую он написал, за шесть месяцев, и что книга «написала сама себя».

Содержание

1 Отсутствие Аксиомы Основания
2 Ошибки
3 См. Также
4 Библиография
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Отсутствие Аксиомы Основания

Как отмечалось выше, в книге отсутствует Аксиома Фонда. Халмос постоянно танцует вокруг вопроса о том, может ли набор содержать себя.

стр. 1: «набор также может быть элементом другого набора» (выделено автором)
с. 3: «является ли $A {\ displaystyle A}$ $А$ ∈ $A {\ displaystyle A}$ $А$ когда-либо правдой? Это определенно неверно для любого разумного набора, который кто-либо когда-либо видел».
стр. 6: « $B {\ displaystyle B}$ $В$ ∈ $B {\ displaystyle B}$ $В$ ... маловероятно, но не очевидно невозможно»

Но Халмос позволяет нам доказать, что есть определенные наборы, которые не могут содержать самих себя.

стр. 44: Халмос позволяет нам доказать, что $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ ∉ $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ . Если $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ ∈ $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ , то $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ - { $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ } все равно будет набором-преемником, потому что $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ ≠ ∅ и $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ не является преемником какого-либо натурального числа. Но $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ не является подмножеством $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ - { $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ }, что противоречит определению $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ как подмножества каждого набора-преемника.
p. 47: Халмос доказывает лемму о том, что «никакое натуральное число не является подмножеством какого-либо из его элементов». Это позволяет нам доказать, что никакое натуральное число не может содержать самого себя. Если $n {\ displaystyle n}$ $n$ ∈ $n {\ displaystyle n}$ $n$ , где $n {\ displaystyle n}$ $n$ - натуральное число, то $n {\ displaystyle n}$ $n$ ⊂ $n {\ displaystyle n}$ $n$ ∈ $n {\ displaystyle n}$ $n$ , что противоречит лемме.
p. 75: «Порядковый номер определяется как хорошо упорядоченный набор $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ такой, что $s (ξ) = ξ {\ displaystyle s (\ xi) = \ xi}$ ${\ displaystyle s (\ xi) = \ xi}$ для всех $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ в $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ ; здесь $s ( ξ) {\ displaystyle s (\ xi)}$ ${\ displaystyle s (\ xi)}$ , как и раньше, является начальным сегментом ${η {\ displaystyle \ {\ eta}$ ${\ displaystyle \ {\ eta}$ ∈ $α: {\ displaystyle \ alpha:}$ $\ alpha:$ $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ < $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ }. " Порядок расположения скважин определяется следующим образом: если $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ и $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ являются элементами порядкового номера $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ , затем $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ < $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ означает $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ ∈ $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ (стр. 75–76). По его выбору символа < instead of ≤, Halmos implies that the well ordering < is strict (pp. 55-56). This definition of < makes it impossible to have $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ ∈ $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ , где $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ является элементом порядкового номера. Это потому, что $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ ∈ $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ означает $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ < $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ , что подразумевает $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ ≠ $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ (поскольку < is strict), which is impossible.
стр. 75: приведенное выше определение порядковый номер также делает невозможным наличие $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ ∈ $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ , где $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ - порядковое число. Это потому, что $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ ∈ $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ подразумевает $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ = s ( $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ ). Это дает нам $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ ∈ $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ знак равно s ( $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ ) = ${η {\ displaystyle \ {\ eta}$ ${\ displaystyle \ {\ eta}$ ∈ $α: {\ displaystyle \ alpha:}$ $\ alpha:$ $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ < $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ }, что подразумевает $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ < $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ , что подразумевает s $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ ≠ $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ (поскольку < is strict), which is impossible.

Errata

p. 30, строка 10: «x на y» должно быть «x на y».
p. 73, строка 19: «для каждого z в X» должно быть «для каждого a в X».
p. 75, строка 3: «тогда и только тогда, когда x ∈ F (n)» должно быть «тогда и только тогда, когда x = {b: S (n, b)}».

См. Также

Список публикаций в математика

Библиография

Халмос, Пол, Теория наивных множеств. Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). Перепечатано Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (издание в мягкой обложке).

Ссылки

Внешние ссылки

Список учебников по теории множеств, составленный участниками обмена математическими стеками
Обзоры: Наивная теория множеств из Goodreads.