Дополнение (теория множеств)

редактировать

Концепция теории множеств

I f A - это область, окрашенная в красный цвет на этом изображении...

... тогда дополнением A является все остальное.

В теории множеств дополнение a набор A, часто обозначается $A c {\ displaystyle A ^ {c}}$ $A ^ {{c}}$ (или $A ′ {\ displaystyle A '}$ $A'$ ), элементы не входят в A.

Когда все рассматриваемые множества рассматриваются как подмножества данного набора U, абсолютное дополнение элемента A - это набор элементов в U, но не в A.

Относительное дополнение элемента A по отношению к набору B, также называемое набором разница B и A, записанная B \ A, представляет собой набор элементов в B, но не в A.

Содержание

1 Абсолютное дополнение
- 1.1 Определение
- 1.2 Примеры
- 1.3 Свойства
2 Относительное дополнение
- 2.1 Определение
- 2.2 Примеры
- 2.3 Свойства
3 Дополнительное отношение
4 Нотация LaTeX
5 В языках программирования
6 См. Также
7 Примечания
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

Ab растворенное дополнение

абсолютное дополнение к A (левый кружок) в U:

A c = U ∖ A {\ displaystyle A ^ {c} = U \ setminus A}

{\ displaystyle A ^ {c} = U \ setminus A}

Определение

Если A - это набор, то абсолютное дополнение к A (или просто дополнение к A ) - это набор элементов, не входящих в A (в пределах большего набор, который неявно определен). Другими словами, пусть U - множество, содержащее все изучаемые элементы; если нет необходимости упоминать U, либо потому, что он был ранее указан, либо потому, что он очевиден и уникален, то абсолютное дополнение к A является относительным дополнением к A в U:

A c = U - A {\ displaystyle A ^ {c} = UA}

{\ displaystyle A ^ {c} = UA}

Или формально:

A c = {x ∈ U ∣ x ∉ A}. {\ displaystyle A ^ {c} = \ {x \ in U \ mid x \ notin A \}.}

{\ displaystyle A ^ {c} = \ {x \ in U \ mid x \ notin A \}.}

Абсолютное дополнение к A обычно обозначается $A c {\ displaystyle A ^ {c} }$ $A^{c}$ . Другие обозначения включают $A ¯ {\ displaystyle {\ overline {A}}}$ $\ overline A$ , $A ′ {\ displaystyle A '}$ $A'$ , $∁ UA {\ displaystyle \ complement _ {U} A}$ $\ complement _ {U} A$ и $∁ A {\ displaystyle \ complement A}$ $\ complement A$ .

Примеры

Предположим, что юниверс представляет собой набор целых чисел. Если A - это набор нечетных чисел, то дополнение к A - это набор четных чисел. Если B - это набор , кратных из 3, то дополнение B - это набор чисел , конгруэнтных 1 или 2 по модулю 3 (или, проще говоря, целые числа, которые не кратно 3).
Предположим, что вселенная - это стандартная колода из 52 карт. Если набор A - масть пик, то дополнение к A - это объединение мастей треф, бубнов и червей. Если набор B представляет собой объединение мастей треф и бубен, то дополнение B является объединением мастей червей и пик.

Свойства

Пусть A и B - два набора в Вселенная U. Следующие тождества отражают важные свойства абсолютных дополнений:

законы Де Моргана :

$(A ∪ B) c = A c ∩ B c. {\ displaystyle \ left (A \ чашка B \ right) ^ {c} = A ^ {c} \ cap B ^ {c}.}$ ${\ displaystyle \ left (A \ cup B \ right) ^ {c} = A ^ {c} \ cap B ^ { c}.}$
$(A ∩ B) c = A c ∪ B c. {\ displaystyle \ left (A \ cap B \ right) ^ {c} = A ^ {c} \ cup B ^ {c}.}$ ${\ displaystyle \ left (A \ cap B \ right) ^ {c} = A ^ {c} \ cup B ^ {c}.}$

Законы дополнения:

$A ∪ A c = U. {\ Displaystyle A \ чашка A ^ {c} = U.}$ ${ \ Displaystyle A \ чашка A ^ {c} = U.}$
$A ∩ A c = ∅. {\ displaystyle A \ cap A ^ {c} = \ varnothing.}$ ${\ displaystyle A \ cap A ^ {c} = \ varnothing.}$
$∅ c = U. {\ displaystyle \ varnothing ^ {c} = U.}$ ${\ displaystyle \ varnothing ^ {c} = U.}$
$U c = ∅. {\ displaystyle U ^ {c} = \ varnothing.}$ ${\ displaystyle U ^ {c} = \ varnothing.}$
$Если A ⊆ B, то B c ⊆ A c. {\ displaystyle {\ text {If}} A \ substeq B {\ text {, then}} B ^ {c} \ substeq A ^ {c}.}$ ${\ displaystyle {\ text {If}} A \ substeq B {\ text {, then}} B ^ {c} \ substeq A ^ {c}.}$
(это следует из эквивалентности условного оператора его контрапозитив ).

инволюция или закон двойного дополнения:

$(A c) c = A. {\ Displaystyle \ left (A ^ {c} \ right) ^ {c} = A.}$ ${\ displaystyle \ left (A ^ {c} \ справа) ^ {c} = A.}$

Отношения между относительными и абсолютными дополнениями:

$A ∖ B = A ∩ B c. {\ Displaystyle A \ setminus B = A \ cap B ^ {c}.}$ $A \ setminus B = A \ cap B ^ {c}.$
$(A ∖ B) c = A c ∪ B. {\ displaystyle (A \ setminus B) ^ {c} = A ^ {c} \ cup B.}$ $(A \ setminus B) ^ {c} = A ^ { c} \ чашка B.$

Связь с разницей множеств:

$A c ∖ B c = B ∖ A. { \ displaystyle A ^ {c} \ setminus B ^ {c} = B \ setminus A.}$ $A ^ {c} \ setminus B ^ {c} = B \ setminus A.$

Первые два закона дополнения, приведенные выше, показывают, что если A - непустое, правильное подмножество из U, то {A, A} является разделом U.

Относительное дополнение

Определение

Если A и B являются наборами, то относительное дополнение элемента A в B, также называемое разницей набора элементов B и A, представляет собой набор элементов в B, но не в A.

Относительное дополнение из A ( левый кружок) в B (правый кружок):

B ∩ A c = B ∖ A {\ displaystyle B \ cap A ^ {c} = B \ setminus A}

{\ displaystyle B \ cap A ^ {c} = B \ setminus A}

Относительное дополнение A в B обозначается B ∖ A в соответствии со стандартом ISO 31-11. Иногда его пишут B - A, но это обозначение неоднозначно, поскольку в некоторых контекстах его можно интерпретировать как набор всех элементов b - a, где b берется из B, а a - из A.

Формально :

B ∖ A = {x ∈ B ∣ x ∉ A}. {\ displaystyle B \ setminus A = \ {x \ in B \ mid x \ notin A \}.}

{\ displayst yle B \ setminus A = \ {x \ in B \ mid x \ notin A \}.}

Примеры

${1, 2, 3} ∖ {2, 3, 4} = {1} {\ Displaystyle \ {1,2,3 \} \ setminus \ {2,3,4 \} = \ {1 \}}$ ${\ displaystyle \ {1,2,3 \} \ setminus \ {2,3,4 \} = \ {1 \}}$ .
${2, 3, 4} ∖ {1, 2, 3} = { 4} {\ displaystyle \ {2,3,4 \} \ setminus \ {1,2,3 \} = \ {4 \}}$ ${\ Displaystyle \ {2,3,4 \} \ setminus \ {1,2,3 \} = \ {4 \}}$ .
Если $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ - это набор действительных чисел, а $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ - набор рациональных чисел, тогда $R ∖ Q {\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}}$ ${\ mathbb {R}} \ setminus {\ mathbb {Q}}$ - это набор иррациональных чисел.

Свойства

Пусть A, B и C - три множества. Следующие тождества отражают примечательные свойства относительных дополнений:

$C ∖ (A ∩ B) = (C ∖ A) ∪ (C ∖ B) {\ displaystyle C \ setminus (A \ cap B) Знак равно (C \ setminus A) \ чашка (C \ setminus B)}$ ${\ displaystyle C \ setminus (A \ cap B) = (C \ setminus A) \ чашка (C \ setminus B)}$ .
$C ∖ (A ∪ B) = (C ∖ A) ∩ (C ∖ B) {\ displaystyle C \ setminus (A \ cup B) Знак равно (C \ setminus A) \ cap (C \ setminus B)}$ ${\ displaystyle C \ setminus (A \ чашка B) = (C \ setminus A) \ cap (C \ setminus B)}$ .
$C ∖ (B ∖ A) = (C ∩ A) ∪ (C ∖ B) {\ displaystyle C \ setminus (B \ setminus A) = (C \ cap A) \ cup (C \ setminus B)}$ ${\ displaystyle C \ setminus (B \ setminus A) = (C \ cap A) \ cup (C \ setminus B)}$ ,
с важным частным случаем $C ∖ (C ∖ A) = (C ∩ A) {\ displaystyle C \ setminus (C \ setminus A) = (C \ cap A)}$ ${\ displaystyle C \ setminus (C \ setminus A) = (C \ cap A)}$ демонстрирует, что пересечение может быть выражено с использованием только операции относительного дополнения.
$(B ∖ A) ∩ C = (B ∩ C) ∖ A = B ∩ (С ∖ A) {\ Displaystyle (B \ setminus A) \ cap C = (B \ cap C) \ setminus A = B \ cap (C \ setminus A)}$ ${\ displaystyle (B \ setminus A) \ cap C = (B \ cap C) \ setminus A = B \ cap (C \ setminus A)}$ .
$(B ∖ A) ∪ C = ( B ∪ C) ∖ (A ∖ C) {\ displaystyle (B \ setminus A) \ cup C = (B \ cup C) \ setminus (A \ setminus C)}$ ${\ displaystyle (B \ setminus A) \ cup C = (B \ cup C) \ setminus (A \ setminus C)}$ .
$A ∖ A = ∅ {\ displaystyle A \ setminus A = \ emptyset}$ ${\ displaystyle A \ setminus A = \ emptyset}$ .
$∅ ∖ A = ∅ {\ displaystyle \ emptyset \ setminus A = \ emptyset}$ ${\ displaystyle \ emptyset \ setminus A = \ emptyset}$ .
$A ∖ ∅ = A {\ displaystyle A \ setminus \ emptyset = A}$ ${\ displaystyle A \ setminus \ emptyset = A}$ .
$A ∖ U = ∅ {\ displaystyle A \ setminus U = \ emptyset}$ ${ \ displaystyle A \ setminus U = \ emptyset}$ .

Дополнительное отношение

A бинарное отношение R определяется как подмножество произведения множеств X × Y. дополнительное отношение $R ¯ {\ displaystyle {\ bar {R} }}$ ${\ bar {R}}$ - это множество дополнений R в X × Y. Дополнение отношения R можно записать как

R ¯ = (X × Y) ∖ R. {\ displaystyle {\ bar {R}} \ = \ (X \ times Y) \ setminus R.}

{\ displaystyle {\ bar {R}} \ = \ (X \ times Y) \ setminus R.}

Здесь R часто рассматривается как логическая матрица со строками, представляющими элементы X, и столбцы элементы Y. Истина aRb соответствует 1 в строке a, столбце b. Создание дополнительного отношения к R соответствует переключению всех единиц на 0 и 0 на 1 для логической матрицы дополнения.

Вместе с композицией отношений и обратных отношений, дополнительные отношения и алгебра множеств являются элементарными операциями исчисления отношений.

нотация LaTeX

В языке набора LaTeX команда \ setminusобычно используется для визуализации установленного символа различия, который аналогичен символу обратной косой черты. При рендеринге команда \ setminusвыглядит идентично \ backslash, за исключением того, что у нее немного больше места перед и за косой чертой, как в последовательности LaTeX \ mathbin {\ обратная косая черта}. Вариант \ smallsetminusдоступен в пакете amssymb.

В языках программирования

Некоторые языки программирования имеют наборы среди своих встроенных структур данных. Такая структура данных ведет себя как конечный набор, то есть состоит из конечного числа данных, которые специально не упорядочены, и, таким образом, могут рассматриваться как элементы набора. В некоторых случаях элементы не обязательно являются отдельными, и структура данных кодирует мультимножества, а не наборы. В этих языках программирования есть операторы или функции для вычисления дополнительных и установленных различий.

Эти операторы обычно могут применяться также к структурам данных, которые не являются математическими наборами, такими как упорядоченные списки или массивы. Отсюда следует, что некоторые языки программирования могут иметь функцию с именем set_difference, даже если у них нет какой-либо структуры данных для наборов.

См. Также

Примечания

^ «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Проверено 2020-09-04.
^«Дополнение и разница в установке». web.mnstate.edu. Проверено 4 сентября 2020 г.
^ «Дополнение (набор) Определение (Иллюстрированный математический словарь)». www.mathsisfun.com. Проверено 04.09.2020.
^Таким образом, набор, в котором рассматривается дополнение, неявно упоминается в абсолютном дополнении и явно упоминается в относительном дополнении.
^Бурбаки 1970, стр. E II.6.
^ Халмос 1960, стр. 17.
^Девлин 1979, стр. 6.
^[1] Полный список символов LaTeX

Ссылки

Бурбаки, Н. (1970). Теория ансамблей (на французском языке). Пэрис: Германн. ISBN 978-3-540-34034-8. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Девлин, Кейт Дж. (1979 Основы современной теории множеств. Universitext. Springer. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Халмос, Пол Р. (1960). Наивная теория множеств. Университетская серия по математике для бакалавров. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

Внешние ссылки