Множественное количественное определение

В математике и логике, множественное число является теория, согласно которой отдельная переменная x может принимать множественные, а также единственные значения. Помимо замены x на отдельные объекты, такие как Алиса, число 1, самое высокое здание в Лондоне и т. Д., Мы можем заменить как Алису, так и Боба, или все числа от 0 до 10, или все здания в Лондоне более 20 этажей..

Суть теории состоит в том, чтобы дать логике первого порядка силу теории множеств, но без каких-либо «экзистенциальных обязательств » для такие предметы, как наборы. Классические описания - это Boolos 1984 и Lewis 1991.

• 1 История
• 2 Предпосылки и мотивация
  • 2.1 Многоступенчатые (переменно полиадические) предикаты и отношения
  • 2.2 Номинализм
• 3 Формальное определение
  • 3.1 Синтаксис
  • 3.2 Теория модели
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Представление обычно связано с Джордж Булос, хотя он старше (см., В частности, Саймонс 1982), и связан с точкой зрения на классы, которую защищал Джон Стюарт Милль и другие номиналисты философы. Милль утверждал, что универсалии или «классы» не являются чем-то особенным, имеющим объективное существование, отличным от индивидуальных объектов, подпадающих под них, но «представляют собой не больше и не меньше, чем индивидуальные вещи в классе». (Мельница 1904 г., II. II. 2, также I. IV. 3).

Подобная позиция также обсуждалась Бертраном Расселом в главе VI Рассела (1903), но позже он отказался в пользу теории «отсутствия классов». См. Также Готтлоб Фреге 1895, где содержится критика более ранней точки зрения, которую защищал Эрнст Шредер.

. Общая идея восходит к Лейбницу. (Levey 2011, стр. 129–133)

Интерес к множественному числу возродился благодаря лингвистической работе в 1970-х годах Ремко Ша, Годехард Линк, Фред Ландман, Питер Ласерсон и другие, разработавшие идеи семантики множественного числа.

Многоступенчатые (переменно полиадические) предикаты и отношения

Такие предложения, как

Алиса и Боб взаимодействуют.

Алиса, Боб и Кэрол Говорят, что

включает в себя разнородный (также известный как переменно полиадический, также анадический ) предикат или отношение (в данном примере «сотрудничать», что означает, что они представляют одну и ту же концепцию, хотя у них нет фиксированной арности (см. Linnebo Nicolas 2008). Понятие многоуровневого отношения / предиката появилось еще в 1940-х годах и широко использовалось Куайном (ср. Morton 1975). Множественная квантификация имеет дело с формализацией квантификации по аргументам переменной длины таких предикатов, например «xx кооперировать», где xx - переменная множественного числа. Обратите внимание, что в этом примере семантически бессмысленно создавать экземпляр xx с именем одного человека.

Номинализм

В целом номинализм отрицает существование универсалий (абстрактных сущностей ), таких как множества, классы, отношения, свойства и т. Д. Таким образом, логика (логики) множественного числа была разработана как попытка формализовать рассуждения о множественных числах, таких как те, которые используются в многоуровневых предикатах, по-видимому, без обращения к понятиям, которые отрицают номиналисты, например наборы.

Стандартная логика первого порядка испытывает трудности при представлении некоторых предложений множественным числом. Наиболее известна фраза Гича-Каплана «некоторые критики восхищаются только друг другом». Каплан доказал, что он не подлежит первичной коррекции (доказательство можно найти в этой статье). Следовательно, его пересказ на формальном языке обязывает нас к количественной оценке (т.е. существованию) множеств. Но некоторые находят неправдоподобным, что приверженность множествам важна для объяснения этих предложений.

Обратите внимание, что отдельные экземпляры предложения, например «Алиса, Боб и Кэрол восхищаются только друг другом», не обязательно должны включать множества и эквивалентны соединению следующих предложений первого порядка:

∀x (если Алиса восхищается x, тогда x = Боб или x = Кэрол)

∀x (если Боб восхищается x, то x = Алиса или x = Кэрол)

∀x (если Кэрол восхищается x, тогда x = Алиса или x = Боб)

где x распространяется на всех критиков (считается, что критики не могут восхищаться собой). Но это, похоже, пример того, что «некоторые люди восхищаются только друг другом», что не подлежит первоочередной критике.

Булос утверждал, что количественная оценка 2-го порядка монадическая может быть систематически интерпретирована в терминах множественной количественной оценки, и что, следовательно, монадическая количественная оценка 2-го порядка «онтологически невиновна. ".

Позже Оливер и Смайли (2001), Райо (2002), Йи (2005) и Маккей (2006) утверждали, что такие предложения, как

Они товарищи по кораблю

Они встречаться вместе

Они подняли пианино

Они окружают здание

Они восхищаются только друг другом

также не могут быть интерпретированы в монадической логике второго порядка. Это потому, что такие предикаты, как «сослуживцы», «встречаются вместе», «окружают здание», не являются распределительными. Предикат F является дистрибутивным, если всякий раз, когда некоторые вещи являются F, каждая из них является F. Но в стандартной логике каждый монадический предикат дистрибутивен. Однако такие предложения кажутся невиновными в отношении каких-либо экзистенциальных предположений и не предполагают количественной оценки.

Таким образом, можно предложить унифицированное описание терминов множественного числа, которое допускает как распределительное, так и нераспределительное удовлетворение предикатов, защищая эту позицию от «сингулярного» допущения, что такие предикаты являются предикатами множеств индивидов (или мереологических сумм).

Некоторые авторы предположили, что множественная логика открывает перспективу упрощения основ математики, избегая парадоксов теории множеств и упрощая сложные и неинтуитивные наборы аксиом. необходимо, чтобы избежать их.

Недавно Линнебо и Николас (2008) предположили, что естественные языки часто содержат (и связанные с ними квантификаторы), такие как «эти люди, эти люди и эти другие люди конкурируют друг с другом. "(например, как команды в онлайн-игре), тогда как Николас (2008) утверждал, что для объяснения семантики массовых существительных, таких как" вино "и" мебель ", следует использовать логику множественного числа.

В этом разделе представлена ​​простая формулировка множественной логики / количественной оценки, примерно такая же, как у Булоса в номиналистическом платонизме (Boolos 1985).

Синтаксис

Второстепенные единицы определяются как

• предикатные символы $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$, $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, и т. д. (с соответствующими арностями, которые оставлены неявными)
• Символы сингулярных переменных $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$и т. д.
• Множественные символы переменных $x\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\}$, $y\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\}$и т. Д.

Полные предложения определяются как

• Если $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$- n-арный символ предиката, а $x\; 0,\dots ,\; xn\; \{\; \backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}\}$- символы сингулярных переменных, тогда $F\; (x\; 0,\dots ,\; xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x\_\; \{0\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\}$- предложение.
• Если $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$- предложение, то $\neg \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; P\}$
• Если $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$и $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$- предложения, то тоже $P\; \wedge \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; land\; Q\}$
• Если $P\; \{\backslash \; displayst\; yle\; P\}$- это предложение, а $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$- сингулярный символ переменной, тогда $\exists \; x.\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exists\; xP\}$- это предложение
• Если $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$- сингулярный символ переменной и $y\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\}$- символ переменной во множественном числе, тогда $x\; \prec \; y\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; prec\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\}$- это предложение (где ≺ обычно интерпретируется как отношение «является одним из»)
• Если $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$- предложение и $x\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\}$- символ переменной во множественном числе, тогда $\exists \; x\; ¯.\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exists\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}.\; P\}$- это предложение

Последние две строки - единственный существенно новый компонент синтаксиса множественной логики. Другие логические символы, определяемые с их помощью, могут свободно использоваться в качестве сокращенных обозначений.

Эта логика оказывается равноинтерпретируемой с монадической логикой второго порядка.

Теория моделей

Теория / семантика модели множественной логики - это то, где недостаток множеств логики обналичивается вне. Модель определяется как кортеж $(D,\; V,\; s,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; (D,\; V,\; s,\; R)\}$, где $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$- домен, $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$- набор оценок $VF\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{F\}\}$для каждого имени предиката $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$в обычном смысле, а $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$- последовательность Тарского (присвоение значений переменным) в обычном смысл (т.е. отображение сингулярных символов переменных на элементы $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$). Новый компонент $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$представляет собой двоичное отношение, связывающее значения в домене с множественными символами переменных.

Удовлетворение задается как

• $(D,\; V,\; s,\; R)\; \models \; F\; (x\; 0,\dots ,\; xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; (D,\; V,\; s,\; R)\; \backslash \; models\; F\; (x\_\; \{\; 0\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\}$если и только если $(sx\; 0,\dots ,\; sxn)\; \in \; VF\; \{\backslash \; displaystyle\; (s\_\; \{x\_\; \{0\}\},\; \backslash \; ldots,\; s\_\; \{x\_)\; \{n\}\})\; \backslash \; in\; V\_\; \{F\}\}$
• $(D,\; V,\; s,\; R)\; \models \; \neg \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; (D,\; V,\; s,\; R)\; \backslash \; models\; \backslash \; neg\; P\}$iff $(D,\; V,\; s,\; R)\; ⊭\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; (D,\; V,\; s,\; R)\; \backslash \; nvDash\; P\}$
• $(D,\; V,\; s,\; R)\; \models \; P\; \wedge \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; (D,\; V,\; s,\; R)\; \backslash \; модели\; P\; \backslash \; land\; Q\}$если и только если $(D,\; V,\; s,\; R)\; \models \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; (D,\; V,\; s,\; R)\; \backslash \; models\; P\}$и $(D,\; V,\; s,\; R)\; \models \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; (D,\; V,\; s,\; R)\; \backslash \; models\; Q\}$
• $(D,\; V,\; s,\; R)\; \models \; \exists \; x.\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; (D,\; V,\; s,\; R)\; \backslash \; models\; \backslash \; exists\; xP\}$, если существует $s\; \prime \; \approx \; xs\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \text{'}\backslash \; приблизительно\; \_\; \{x\}\; s\}$такой, что $(D,\; V,\; s\; \text{'},\; R)\; \models \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; (D,\; V,\; s\text{'},\; R)\; \backslash \; models\; P\}$
• $(D,\; V,\; s,\; R)\; \models \; Икс\; \prec \; Y\; ¯\; \{\backslash \; Displaystyle\; (D,\; V,\; s,\; R)\; \backslash \; models\; x\; \backslash \; prec\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\}$iff $sx\; R\; y\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{\; x\}\; R\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\}$
• $(D,\; V,\; s,\; R)\; \models \; \exists \; x\; ¯.\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; (D,\; V,\; s,\; R)\; \backslash \; models\; \backslash \; exists\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}.\; P\}$, если существует $R\; \prime \; \approx \; x\; ¯\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \text{'}\backslash \; приблизительно\; \_\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; R\}$такой, что $(D,\; V,\; s,\; R\text{'})\; \models \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; (D,\; V,\; s,\; R\; \text{'})\; \backslash \; модели\; P\}$

Где для символов сингулярных переменных $s\; \approx \; xs\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \backslash \; приблизительно\; \_\; \{x\}\; s\; \text{'}\}$означает, что для всех символов сингулярных переменных $y\; \{\; \backslash \; displaystyle\; y\}$кроме $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, он считает, что $sy\; =\; sy\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{y\}\; =\; s\; \text{'}\_\; \{\; y\}\}$, а для символов множественного числа переменных $R\; \approx \; x\; ¯\; R\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; приблизительно\; \_\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; R\; \text{'}\}$означает, что для всех символов множественного числа переменных $y\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\}$кроме $x\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\}$, а для всех объектов домена $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$он считает, что $d\; R\; y\; ¯\; =\; d\; R\; \prime \; y\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; dR\; \{\backslash \; bar\; \{y\; \}\}\; =\; dR\; \text{'}\{\backslash \; bar\; \{y\}\}\}$.

Как и в синтаксисе, только два последних являются действительно новыми для множественной логики. Булос отмечает, что при использовании отношений присваивания $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$домен не должен включать множества, и поэтому множественная логика достигает онтологической невиновности, сохраняя при этом возможность говорить о расширениях предикат. Таким образом, схема понимания множественной логики $\exists \; x\; ¯.\; \forall \; у.\; y\; \prec \; x\; ¯\; \leftrightarrow \; F\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exists\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}.\; \backslash \; forall\; yy\; \backslash \; prec\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; \backslash \; leftrightarrow\; F\; (y)\}$не дает Парадокс Рассела, потому что количественная оценка множественных переменных не дает количественной оценки по предметной области. Другой аспект логики, как его определяет Булос, имеет решающее значение для обхода парадокса Рассела, - это тот факт, что предложения формы $F\; (x\; ¯)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (\{\backslash \; bar\; \{x\}\})\}$имеют неправильный формат: имена предикатов могут сочетаться только с сингулярными символами переменных, но не с множественными символами переменных.

Это можно считать простейшим и наиболее очевидным аргументом в пользу того, что множественная логика, как определил Булос, онтологически невиновна.

• Обобщенный квантор
• Вариативная функция

• Джордж Булос, 1984, «Быть ​​- значит быть значением переменной (или быть некоторыми значениями некоторых переменных), Journal of Philosophy 81: 430–449. In Boolos 1998, 54–72.
• --------, 1985, «Номиналистский платонизм». Философское обозрение 94: 327–344. In Boolos 1998, 73–87.
• --------, 1998. Логика, логика и логика. Издательство Гарвардского университета.
• Берджесс, JP, «От Фреге к Фридману: мечта?»
• --------, 2004, «E Pluribus Unum: множественная логика. и теория множеств », Philosophia Mathematica 12 (3): 193–221.
• Cameron, JR, 1999,« Множественная ссылка », Ratio.
• Cocchiarella, Nino (2002). «О логике множества классов». Studia Logica. 70 (3): 303–338. doi : 10.1023 / A: 1015190829525.
• Де Руилхан, П., 2002, «О том, что есть», Труды Аристотелевского общества: 183–200.
• Готлоб Фреге, 1895, «Критическое разъяснение некоторых моментов в книге Э. Шредера Vorlesungen Ueber Die Algebra der Logik», Archiv für systematische Philosophie: 433–456.
• Ландман, Ф., 2000. События и множественность. Kluwer.
• Лэйкок, Генри (2006), Слова без объектов, Oxford: Clarendon Press, doi : 10.1093 / 0199281718.001.0001, ISBN 9780199281718
• Дэвид К. Льюис, 1991. Части классов. Лондон: Блэквелл.
• Линнебо, Ойстейн; Николас, Дэвид (2008). «Сверхмножественные числа в английском» (PDF). Анализ. 68 (3): 186–97. doi : 10.1093 / analys / 68.3.186. Архивировано из оригинального (PDF) 20.07.2011. Проверено 29 ноября 2008 г.
• McKay, Thomas J. (2006), Plural Predication, New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-927814- 5
• Джон Стюарт Милль, 1904, Система логики, 8-е изд. Лондон:
• Николас, Дэвид (2008). «Массовые существительные и множественное число» (PDF). Лингвистика и философия. 31 (2): 211–244. CiteSeerX 10.1.1.510.3305. DOI : 10.1007 / s10988-008-9033-2. Архивировано из оригинального (PDF) 19 февраля 2012 г.
• Оливер, Алекс; Смайли, Тимоти (2001). «Стратегии логики множественного числа». Philosophical Quarterly. 51 (204): 289–306. doi : 10.1111 / j.0031-8094.2001.00231.x.
• Оливер, Алекс (2004). «Всесезонный прогноз». Разум. 113 (452): 609–681. doi : 10.1093 / mind / 113.452.609.
• Райо, Агустин (2002). «Слово и предметы». Нет. 36 (3): 436–64. doi : 10.1111 / 1468-0068.00379.
• --------, 2006, «Beyond Plurals», в Rayo and Uzquiano (2006).
• - -------, 2007, «Множественное число», готовится к публикации в Philosophy Compass.
• --------, и Габриэль Ускиано, ред., 2006. Absolute Generality Oxford University Press.
• Бертран Рассел, Б., 1903. Принципы математики. Oxford Univ. Press.
• Питер Саймонс, 1982, «Множественная референция и теория множеств», в Барри Смит, изд., Части и моменты: исследования в области логики и формальной онтологии. Мюнхен: Philosophia Verlag.
• --------, 1987. Parts. Oxford University Press.
• Ускиано, Габриэль (2003). «Множественная количественная оценка и классы». Philosophia Mathematica. 11 (1): 67–81. дои : 10.1093 / philmat / 11.1.67.
• Йи, Бён-Ук (1999). «Два - это собственность?». Журнал философии. 95 (4): 163–190. doi : 10.2307 / 2564701. JSTOR 2564701.
• --------, 2005, «Логика и значение множественного числа, часть I», Journal of Philosophical Logic 34: 459–506.
• Адам Мортон. «Сложные личности и разноплановые отношения». Nos (1975): 309-318. JSTOR 2214634
• Сэмюэл Леви (2011) «Логическая теория в Лейбнице» в Брэндоне С. Луке (ред.) Continuum Companion to Leibniz, Continuum International Publishing Group, ISBN 0826429750

• Linnebo, Øystein. «Множественная количественная оценка». В Залта, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии.
• Мольтманн, Фридерике. (Август 2012 г.) "Ссылка на множественность и ссылка на множественность. Переоценка лингвистических фактов "
• Более обширная библиография
• https://web.archive.org/web/20150211224457/http:// lumiere.ens.fr/~amari/genius/PapersSeminar/Nicolas-Semantics-for-plurals-Handout-0110.pdf