Предложение (математическая логика)

Эта статья представляет собой техническую математическую статью в области логики предикатов. Для обычного английского значения см. Предложение (лингвистика), для менее технической вводной статьи см. Утверждение (логика).

В математической логике, предложение (или закрытая формула ) логики предиката - это логическая -значная правильно сформированная формула без свободные переменные. Предложение можно рассматривать как выражение суждения, что-то, что должно быть истинным или ложным. Ограничение отсутствия свободных переменных необходимо, чтобы гарантировать, что предложения могут иметь конкретные фиксированные значения истинности : поскольку свободные переменные (общей) формулы могут варьироваться в пределах нескольких значений, значение истинности такой формула может отличаться.

Предложения без каких-либо логических связок или кванторов в них известны как атомарные предложения ; по аналогии с атомарной формулой. Затем предложения строятся из атомарных формул путем применения связок и кванторов.

Набор предложений называется теорией ; таким образом, отдельные предложения можно назвать теоремами. Чтобы правильно оценить истинность (или ложность) предложения, необходимо сослаться на интерпретацию теории. Для теорий первого порядка интерпретации обычно называют структурами. Учитывая структуру или интерпретацию, предложение будет иметь фиксированное значение истинности . Теория выполнима, когда возможно представить интерпретацию, в которой все ее предложения истинны. Изучение алгоритмов для автоматического обнаружения интерпретаций теорий, которые делают все предложения истинными, известно как проблема выполнимости по модулю теорий.

Следующий пример в логике первого порядка

$\forall \; y\; \exists \; x\; (x\; 2\; =\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; y\; \backslash \; exists\; x\; (x\; ^\; \{\; 2\}\; =\; y)\}$

- это предложение. Это предложение истинно для положительных действительных чисел ℝ, ложно для действительных чисел ℝ и истинно для комплексных чисел ℂ. (На простом английском языке это предложение интерпретируется как означающее, что каждый член рассматриваемой структуры является квадратом члена этой конкретной структуры.) С другой стороны, формула

$\exists \; x\; (x\; 2\; =\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exists\; x\; (x\; ^\; \{2\}\; =\; y)\}$

не является предложением из-за наличия свободной переменной y. В структуре действительных чисел эта формула верна, если мы подставляем (произвольно) y = 2, но неверна, если y = –2.

Важно наличие свободной переменной, а не непостоянное значение истинности; например, даже в структуре комплексных чисел, где утверждение всегда верно, оно все равно не считается предложением. Вместо этого такая формула может называться предикатом.

• Основное выражение
• Открытая формула
• Утверждение (логика)
• Предложение

• Hinman, P. (2005). Основы математической логики. А. К. Питерс. ISBN 1-56881-262-0.
• Раутенберг, Вольфганг (2010), Краткое введение в математическую логику (3-е изд.), Нью-Йорк : Springer Science + Business Media, doi : 10.1007 / 978-1-4419-1221-3, ISBN 978 -1-4419-1220-6.

.