Войти
Основы математики - это изучение философских и логических и / или алгоритмическая основа математики, или, в более широком смысле, математическое исследование того, что лежит в основе философских теорий, касающихся природы математики. В этом последнем смысле различие между основаниями математики и философией математики оказывается довольно расплывчатым. Основы математики можно представить как изучение основных математических понятий (множество, функция, геометрическая фигура, число и т. Д.) И того, как они образуют иерархии более сложных структур и понятий, особенно фундаментально важных структур, образующих язык математики (формулы, теории и их модели, придающие смысл формулам, определениям, доказательствам, алгоритмам и т. д.), также называемый метаматематическими концепциями, с учетом философские аспекты и единство математики. Поиск основ математики - центральный вопрос философии математики; абстрактная природа математических объектов ставит особые философские проблемы.
Основы математики в целом не ставят целью содержать основы каждой математической темы. Как правило, основы области исследования относятся к более или менее систематическому анализу ее самых основных или фундаментальных концепций, ее концептуального единства и ее естественного упорядочения или иерархии концепций, которые могут помочь связать ее с остальной частью человеческого знания. Развитие, возникновение и прояснение основ может происходить на поздних этапах истории отрасли и не может рассматриваться всеми как наиболее интересная ее часть.
Математика всегда играла особую роль в научной мысли, с древних времен служа образцом истины и строгости для рационального исследования и давая инструменты или даже основу для других наук (особенно физики). Многие достижения математики в направлении высших абстракций в XIX веке принесли новые вызовы и парадоксы, побуждая к более глубокому и систематическому исследованию природы и критериев математической истины, а также к объединению различных разделов математики в единое целое.
Систематические поиски основ математики начались в конце 19 века и сформировали новую математическую дисциплину под названием математическая логика, которая позже имела прочные связи с теоретической информатикой.. Он пережил серию кризисов с парадоксальными результатами, пока открытия не стабилизировались в течение 20 века в виде большого и связного массива математических знаний с несколькими аспектами или компонентами (теория множеств, теория моделей, теория доказательств и т. Д.), Подробные свойства и возможные варианты которых до сих пор активно исследуются. Его высокий уровень технической сложности вдохновил многих философов на предположение, что он может служить моделью или образцом для основ других наук.
Хотя практика математики ранее развивалась в других цивилизациях, особый интерес к ее теоретическим и фундаментальным аспектам ects было ясно видно в трудах древних греков.
Ранние греческие философы спорили о том, что является более основным: арифметика или геометрия. Зенон Элейский (490 - ок. 430 г. до н. Э.) Произвел четыре парадокса, которые, кажется, показывают невозможность изменения. Пифагорейская математическая школа изначально настаивала на существовании только натуральных и рациональных чисел. Открытие иррациональности числа √2, отношения диагонали квадрата к его стороне (примерно в V веке до нашей эры), было для них шоком, который они с большой неохотой приняли. Несоответствие между рациональными числами и действительными числами было окончательно разрешено Евдоксом Книдским (408–355 гг. До н.э.), учеником Платона, который свел сравнение иррациональных соотношений к сравнению кратных (рациональных) отношения), таким образом предвосхищая определение действительных чисел Ричардом Дедекиндом (1831–1916).
В Posterior Analytics, Аристотель (384–322 до н.э.) изложил аксиоматический метод для логической организации области знания с помощью средств примитивных понятий, аксиом, постулатов, определений и теорем. Для этого Аристотель взял большинство своих примеров из арифметики и геометрии. Этот метод достиг своего апогея с Евклидом Elements (300 г. до н.э.), трактатом по математике, построенным с очень высокими стандартами строгости: Евклид оправдывает каждое предложение демонстрацией в форме цепочек силлогизмов (хотя они не всегда строго соответствуют аристотелевским шаблонам). Силлогистическая логика Аристотеля вместе с аксиоматическим методом, примером которого являются «Начала» Евклида, признаны научными достижениями Древней Греции.
Начиная с конца XIX века, платонистский взгляд на математику стал распространенным среди практикующих математиков.
Концепции или, как сказали бы платоники, объекты математики абстрактны и далеки от повседневного восприятия: геометрические фигуры задуманы как идеалы, которые нужно отличать от эффективных рисунков и форм объектов, а числа - нет. путают с подсчетом конкретных предметов. Их существование и природа представляют собой особые философские проблемы: чем математические объекты отличаются от их конкретного представления? Находятся ли они в их представлении, или в наших умах, или где-то еще? Как мы можем их узнать?
Древнегреческие философы очень серьезно относились к этим вопросам. Действительно, многие из их общих философских дискуссий велись с обширными ссылками на геометрию и арифметику. Платон (424/423 г. до н.э. - 348/347 г. до н.э.) настаивал на том, что математические объекты, как и другие платонические Идеи (формы или сущности), должны быть совершенно абстрактными и иметь отдельный, нематериальный вид существования в мир математических объектов, независимых от людей. Он считал, что истина об этих объектах также существует независимо от человеческого разума, но открыта людьми. В Меноне учитель Платона Сократ утверждает, что эту истину можно познать с помощью процесса, подобного восстановлению памяти.
Над воротами платоновской академии появилась известная надпись: «Не позволяйте никому, кто не разбирается в геометрии, входить сюда». Этим Платон выразил свое высокое мнение о геометрии. Он считал геометрию «первым важным элементом в обучении философов» из-за ее абстрактного характера.
Эту философию платонического математического реализма разделяют многие математики. Можно утверждать, что платонизм каким-то образом является необходимым предположением, лежащим в основе любой математической работы.
С этой точки зрения, законы природы и законы математики имеют схожий статус и эффективность перестает быть необоснованным. В основе лежат не наши аксиомы, а вполне реальный мир математических объектов.
Аристотель проанализировал и отверг эту точку зрения в своей Метафизике. Эти вопросы дают много топлива для философского анализа и дискуссий.
На протяжении более 2000 лет «Элементы Евклида» служили совершенно прочной основой для математики, поскольку ее методология рационального исследования направляла математиков, философов и ученых вплоть до XIX века..
Средние века были свидетелями споров по поводу онтологического статуса универсалий (платонических идей): реализм утверждал их существование независимо от восприятия; концептуализм утверждал их существование только в пределах разума; номинализм также отрицал, рассматривая универсалии только как названия совокупностей отдельных объектов (следуя более старым предположениям о том, что они являются словами «логоги»).
Рене Декарт опубликовал La Géométrie (1637), направленный на сведение геометрии к алгебре с помощью систем координат, придавая алгебре более фундаментальную роль (в то время как греки встроили арифметику в геометрию, идентифицируя целое числа с равномерно расположенными точками на линии). Книга Декарта стала известной после 1649 года и проложила путь к исчислению бесконечно малых.
Исаак Ньютон (1642–1727) в Англии и Лейбниц (1646–1716) в Германии независимо друг от друга разработали исчисление бесконечно малых, основанное на эвристических методах, очень эффективных, но неуклонно без строгих обоснований. Лейбниц даже продолжал явно описывать бесконечно малые числа как действительные бесконечно малые числа (близкие к нулю). Лейбниц также работал над формальной логикой, но большинство его работ по ней оставались неопубликованными до 1903 года.
Протестантский философ Джордж Беркли (1685–1753) в своей кампании против религиозных последствий ньютоновского механика, написала брошюру об отсутствии рациональных обоснований исчисления бесконечно малых: «Они не являются ни конечными величинами, ни бесконечно малыми величинами, но и ничем. Разве мы не можем называть их призраками ушедших величин?»
Тогда математика очень быстро и успешно развивалась в физических приложениях, но с небольшим вниманием к логическим основам.
В 19 веке математика становилась все более абстрактной. Опасения по поводу логических пробелов и несоответствий в различных областях привели к развитию аксиоматических систем.
Коши (1789–1857) начал проект по формулированию и доказательству теорем исчисления бесконечно малых в строгой манере, отвергая эвристический принцип Общая алгебра использовалась более ранними авторами. В своей работе 1821 года Cours d'Analyse он определяет бесконечно малые величины в терминах убывающих последовательностей, которые сходятся к 0, которые он затем использовал для определения непрерывности. Но он не формализовал свое понятие конвергенции.
Современное (ε, δ) -определение предельных и непрерывных функций было впервые разработано Больцано в 1817 году, но оставалось относительно неизвестным. Это дает строгую основу исчисления бесконечно малых, основанного на наборе действительных чисел, возможно, разрешая парадоксы Зенона и аргументы Беркли.
Математики, такие как Карл Вейерштрасс (1815–1897), обнаружили патологические функции, такие как непрерывные, нигде не дифференцируемые функции. Предыдущие концепции функции как правила вычисления или гладкого графика больше не подходили. Вейерштрасс начал защищать арифметизацию анализа, чтобы аксиоматизировать анализ, используя свойства натуральных чисел.
В 1858 году Дедекинд предложил определение действительных чисел как сокращение рациональных чисел. Это сокращение действительных чисел и непрерывных функций в терминах рациональных чисел и, следовательно, натуральных чисел, было позже интегрировано Кантором в его теории множеств и аксиоматизировано в терминах арифметики второго порядка Гильберта и Бернейса.
Впервые были исследованы пределы математики. Нильс Хенрик Абель (1802–1829), норвежец, и Эварист Галуа, (1811–1832) француз, исследовали решения различных полиномиальных уравнений и доказали, что не существует общее алгебраическое решение уравнений степени выше четырех (теорема Абеля – Руффини ). С помощью этих концепций Пьер Ванцель (1837) доказал, что линейка и циркуль сами по себе не могут разрезать произвольный угол или удвоить куб. В 1882 году Линдеманн, опираясь на работу Эрмита, показал, что линейка и циркуль квадратура круга (построение квадрата, равного по площади данному кругу) также было невозможно, доказав, что π является трансцендентным числом. Математики тщетно пытались решить все эти проблемы еще со времен древних греков.
Работы Абеля и Галуа открыли путь для развития теории групп (которая позже будет использована для изучения симметрии в физике и других областях) и абстрактная алгебра. Концепции векторных пространств возникли из концепции барицентрических координат Мёбиуса в 1827 году до современного определения векторных пространств и линейных отображений Пеано в 1888 году. Геометрия больше не ограничивался тремя измерениями. Эти концепции не обобщали числа, а объединяли понятия функций и множеств, которые еще не были формализованы, отрываясь от знакомых математических объектов.
После многих неудачных попыток вывести параллельный постулат из других аксиом, исследование все еще гипотетической гиперболической геометрии Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777) заставил его ввести гиперболические функции и вычислить площадь гиперболического треугольника (где сумма углов меньше, чем 180 °). Затем русский математик Николай Лобачевский (1792–1856) установил в 1826 году (и опубликовал в 1829 году) согласованность этой геометрии (таким образом, независимость параллельного постулата ) параллельно с венгерский математик Янош Бойяи (1802–1860) в 1832 году и с Гауссом. Позже, в 19 веке, немецкий математик Бернхард Риман разработал эллиптическую геометрию, другую неевклидову геометрию, в которой нельзя найти параллель, а сумма углов треугольник больше 180 °. Было доказано, что точка означает пару противоположных точек на фиксированной сфере, а прямая - большой круг на сфере. В то время основным методом доказательства непротиворечивости набора аксиом было создание для него модели.
Одна из ловушек в дедуктивной системе - круговое рассуждение, проблема, которая, казалось, выпала на проективную геометрию, пока он не был разрешен Карлом фон Штаудтом. Как поясняют российские историки:
В середине XIX века между сторонниками синтетических и аналитических методов в проективной геометрии возникла острая полемика, обе стороны обвиняли друг друга в смешении проективных и метрических концепций. Действительно, основная концепция, которая применяется в синтетическом представлении проективной геометрии, перекрестное отношение четырех точек прямой, была введена путем рассмотрения длин интервалов.
Чисто геометрический подход Фон Штаудт был основан на полном четырехугольнике, чтобы выразить отношение проективных гармонических конъюгатов. Затем он создал средство выражения знакомых числовых свойств с помощью своей Алгебры бросков. Версии на английском языке этого процесса вывода свойств поля можно найти либо в книге Освальда Веблена и Джона Янга, Projective Geometry (1938), либо в недавней книге Четыре столпа геометрии Джона Стилвелла (2005). Стиллвелл пишет на странице 120
... проективная геометрия в определенном смысле проще, чем алгебра, потому что мы используем только пять геометрических аксиом, чтобы вывести девять аксиом поля.
Алгебра бросков обычно рассматривается как особенность перекрестные отношения, поскольку студенты обычно полагаются на числа, не беспокоясь об их основе. Однако в расчетах перекрестного отношения используются метрические признаки геометрии, которые не допускаются пуристами. Например, в 1961 году Кокстер написал «Введение в геометрию» без упоминания перекрестного отношения.
Попытки формального рассмотрения математики начались с Лейбница и Ламберта (1728–1777) и продолжены работами таких алгебраистов, как Джордж Пикок (1791–1858). Систематические математические трактовки логики пришли с британским математиком Джорджем Бульом (1847), который изобрел алгебру, которая вскоре превратилась в то, что сейчас называется булевой алгеброй, в которой единственными числами были 0 и 1 и логические комбинации (конъюнкция, дизъюнкция, импликация и отрицание) являются операциями, аналогичными сложению и умножению целых чисел. Кроме того, Де Морган опубликовал свои законы в 1847 году. Таким образом, логика стала отраслью математики. Булева алгебра является отправной точкой математической логики и имеет важные приложения в информатике.
Чарльз Сандерс Пирс, основанный на работе Буля по разработке логической системы для отношений и кванторы, которые он опубликовал в нескольких статьях с 1870 по 1885 год.
Немецкий математик Готлоб Фреге (1848–1925) представил независимое развитие логики с кванторами в своей работе Begriffsschrift (язык формул), опубликованный в 1879 году, труд, который обычно считается поворотным моментом в истории логики. Он выявил недостатки логики Аристотеля и указал на три ожидаемых свойства математической теории
Затем он показал в Grundgesetze der Arithmetik (Основные законы арифметики), как арифметика может быть формализована в его новом логика.
Работы Фреге были популяризированы Бертраном Расселом на рубеже веков. Но двумерная запись Фреге успеха не имела. Популярные обозначения были (x) для универсальных и (∃x) для экзистенциальных кванторов, происходящих от Джузеппе Пеано и Уильяма Эрнеста Джонсона до тех пор, пока символ ∀ не был введен Герхардом Генценом в 1935 году и стал каноническим в 1960-х годах.
С 1890 по 1905 год Эрнст Шредер опубликовал «Vorlesungen über die Algebra der Logik» в трех томах. Эта работа обобщила и расширила работу Буля, Де Моргана и Пирса и была исчерпывающей ссылкой на символическую логику, как она понималась в конце 19 века.
Формализация арифметики (теории натуральных чисел ) как аксиоматической теории началась с Пирса в 1881 году и продолжилась Ричард Дедекинд и Джузеппе Пеано в 1888 году. Это все еще была аксиоматизация второго порядка (выражение индукции в терминах произвольных подмножеств, таким образом, с неявным использованием теория множеств ), поскольку вопросы выражения теорий в логике первого порядка еще не были поняты. В работе Дедекинда этот подход выглядит как полностью характеризующий натуральные числа и обеспечивающий рекурсивные определения сложения и умножения из функции-преемника и математической индукции.
фундаментальный кризис математики (на немецком Grundlagenkrise der Mathematik) был термином начала 20-го века для поиска надлежащих основ математики.
Несколько школ философии математики столкнулись с трудностями одна за другой в 20-м веке, поскольку предполагалось, что у математики есть какое-либо основание, которое можно последовательно внутри самой математики возникла серьезная проблема с открытием различных парадоксов (таких как парадокс Рассела ).
Не следует путать название «парадокс» с противоречием. противоречие в формальной теории - это формальное доказательство абсурдности внутри теории (например, 2 + 2 = 5), показывающее, что эта теория несовместима и должна быть отвергнута. Но парадокс может быть либо неожиданным, но истинным результатом данной формальной теории, либо неформальным аргументом, ведущим к противоречию, так что теория-кандидат, если она должна быть формализована, должна не допускать по крайней мере одного из своих шагов; в этом случае проблема состоит в том, чтобы найти удовлетворительную теорию без противоречий. Оба значения могут применяться, если формализованная версия аргумента является доказательством удивительной истины. Например, парадокс Рассела можно выразить как «не существует множества всех множеств» (за исключением некоторых маргинальных аксиоматических теорий множеств).
Различные школы мысли противостояли друг другу. Ведущей школой была школа формалистического подхода, наиболее активным сторонником которого был Дэвид Гильберт, кульминацией которого стала так называемая программа Гильберта, которая математика на небольшой основе логической системы доказала свою надежность метаматематическими конечными средствами. Основным противником была школа интуиционистов, возглавляемая Л. Э. Дж. Брауэр, решительно отвергнувший формализм как бессмысленную игру с символами. Бой был ожесточенным. В 1920 году Гильберту удалось исключить Брауэра, которого он считал угрозой для математики, из редакционной коллегии Mathematische Annalen, ведущего математического журнала того времени.
В начале 20 века три философских школы математики противостояли друг другу: формализм, интуиционизм и логицизм. Вторая конференция по эпистемологии точных наук, состоявшаяся в Кенигсберге в 1930 году, дала место этим трем школам.
Утверждалось, что формалисты, такие как Дэвид Гильберт (1862–1943), считают математику всего лишь языком и серией игр. В самом деле, он использовал слова «игра по формулам» в своем ответе 1927 г. на Л. Критика Э. Дж. Брауэра :
И насколько успешной стала игра в формулы? Эта игра с формулами позволяет нам единообразно выразить все мыслительное содержание математической науки и развить его таким образом, чтобы в то же время прояснялись взаимосвязи между отдельными предложениями и фактами... Игра, которую так осуждает Брауэр, имеет, помимо математической ценности, важное общефилософское значение. По этой формуле игра осуществляется по определенным правилам, в которых выражается техника нашего мышления. Эти правила образуют замкнутую систему, которую можно открыть и окончательно сформулировать.
Таким образом, Гильберт настаивает на том, что математика не является произвольной игрой с произвольными правилами; скорее, он должен согласовываться с тем, как происходит наше мышление, а затем и наша речь и письмо.
Мы не говорим здесь о произволе ни в каком смысле. Математика не похожа на игру, задачи которой определяются произвольно установленными правилами. Скорее, это концептуальная система, обладающая внутренней необходимостью, которая может быть только так и ни в коем случае не иначе.
Основополагающая философия формализма, примером которой является Дэвид Гильберт, является ответом на парадоксы теория множеств и основана на формальной логике. Практически все математические теоремы сегодня могут быть сформулированы как теоремы теории множеств. Истинность математического утверждения, с этой точки зрения, представлена тем фактом, что утверждение может быть выведено из аксиом теории множеств с использованием правил формальной логики.
Само по себе использование формализма не объясняет нескольких вопросов: почему мы должны использовать те аксиомы, которые мы используем, а не какие-то другие, почему мы должны использовать логические правила, которые мы используем, а не какие-то другие, почему мы должны использовать «истинные» математические утверждения (например, законы арифметики ) кажутся верными и так далее. Герман Вейль задавал бы Гильберту эти самые вопросы:
Какая «истина» или объективность может быть приписана этой теоретической конструкции мира, выходящей далеко за пределы данного, - это глубокая философская проблема. Это тесно связано с дальнейшим вопросом: что побуждает нас взять за основу именно ту систему аксиом, которую разработал Гильберт? Последовательность - действительно необходимое, но не достаточное условие. В настоящее время мы, вероятно, не можем ответить на этот вопрос...
В некоторых случаях на эти вопросы можно получить достаточный ответ, изучив формальные теории, в таких дисциплинах, как обратная математика и сложность вычислений. теория. Как отметил Вейль, формальные логические системы также подвержены риску несогласованности ; в арифметике Пеано это, возможно, уже было решено с помощью нескольких доказательств непротиворечивости, но есть споры о том, являются ли они достаточно финитными, чтобы иметь смысл. Вторая теорема Гёделя о неполноте устанавливает, что логические системы арифметики никогда не могут содержать достоверное доказательство своей собственной непротиворечивости. Гильберт хотел доказать непротиворечивость логической системы S, основанной на принципах P, составляющих лишь небольшую часть S. Но Гёдель доказал, что принципы P не могут даже доказать, что P непротиворечива, не говоря уже о S.
Интуиционисты, такие как Л. Э. Дж. Брауэр (1882–1966) считает, что математика является порождением человеческого разума. Числа, как и сказочные персонажи, - всего лишь ментальные сущности, которых бы не существовало, если бы не существовало человеческих умов, которые бы о них думали.
Основополагающая философия интуиционизма или конструктивизма, как крайние примеры демонстрируют Брауэр и Стивен Клини, требует доказательства того, что они «конструктивны» по своей природе - существование объекта должно быть продемонстрировано, а не выведено из демонстрации невозможности его несуществования. Например, вследствие этого форма доказательства, известная как reductio ad absurdum, является подозрительной.
Некоторые современные теории в философии математики отрицают существование оснований в первоначальном смысле. Некоторые теории имеют тенденцию сосредотачиваться на математической практике и стремятся описать и проанализировать фактическую работу математиков как социальной группы. Другие пытаются создать когнитивную математику, сосредоточив внимание на человеческом познании как источнике надежности математики в применении к реальному миру. Эти теории предполагают найти основы только в человеческой мысли, а не в какой-либо объективной внешней конструкции. Вопрос остается спорным.
Логицизм - школа мысли и исследовательская программа в философии математики, основанная на тезисе о том, что математика является расширением логики или что математика частично или полностью может быть выводится в подходящей формальной системе, аксиомы и правила вывода которой «логичны» по своей природе. Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед отстаивали эту теорию, инициированную Готтлобом Фреге и находящуюся под влиянием Ричарда Дедекинда.
Многие исследователи в аксиоматической теории множеств подписались под так называемым теоретико-множественным платонизмом, примером которого является Курт Гёдель.
Несколько теоретиков множеств следовали этому подходу и активно искали аксиомы, которые можно было бы считать верными по эвристическим причинам и которые решали бы гипотезу континуума. Многие аксиомы большого кардинала были изучены, но гипотеза всегда оставалась независимой от них, и теперь считается маловероятным, что CH может быть разрешена с помощью новой аксиомы большого кардинала. Были рассмотрены другие типы аксиом, но ни одна из них еще не достигла консенсуса по гипотезе континуума. Недавняя работа Хэмкинса предлагает более гибкую альтернативу: теоретико-множественная мультивселенная, позволяющая свободный переход между теоретико-множественными вселенными, удовлетворяющими гипотезе континуума, и другими вселенными, которые этого не делают.
Этот аргумент от Уилларда Куайна и Хилари Патнэм говорит (короче Патнэма):
... количественная оценка математических объектов необходима для науки...; поэтому мы должны принять такую количественную оценку; но это заставляет нас признать существование рассматриваемых математических сущностей.
Однако Патнэм не был платоником.
Немногие математики обычно ежедневно озабочены логицизмом, формализмом или любой другой философской позицией. Напротив, их основная забота состоит в том, чтобы математическое предприятие в целом всегда оставалось продуктивным. Как правило, они считают, что для этого необходимо оставаться непредубежденными, практичными и занятыми; как потенциально опасный из-за чрезмерной идеологии, фанатично редукционизма или лени.
Такую точку зрения высказывали и некоторые известные физики.
Например, лауреат Нобелевской премии по физике Ричард Фейнман сказал
Люди говорят мне: «Вы ищете основные законы физики?» Нет, я не... Если окажется, что существует простой окончательный закон, который все объясняет, пусть будет так - это было бы очень приятно открыть. Если окажется, что это луковица с миллионами слоев... значит, так оно и есть. Но в любом случае есть Природа, и она выйдет такой, какая Она есть. Поэтому, когда мы идем исследовать, мы не должны заранее определять, что именно мы ищем, только чтобы узнать об этом больше.
И Стивен Вайнберг :
Понимание философов иногда приносило пользу физикам, но обычно в негативном ключе - защищая их от предубеждений других философов.... без руководства, основанного на наших предубеждениях, вообще ничего нельзя сделать. Просто философские принципы обычно не давали нам правильных предубеждений.
Вайнберг считал, что любую неразрешимость в математике, такую как гипотеза континуума, потенциально можно разрешить, несмотря на теорему о неполноте, путем нахождения подходящих дополнительных аксиом, которые можно добавить к теория множеств.
Теорема Гёделя устанавливает эквивалентность в логике первого порядка между формальной доказуемостью формулы и ее истинностью во всех возможных моделях. Точнее, для любой непротиворечивой теории первого порядка он дает «явное построение» модели, описываемой теорией; эта модель будет счетной, если язык теории счетный. Однако эта «явная конструкция» не является алгоритмической. Он основан на итеративном процессе завершения теории, где каждый шаг итерации состоит в добавлении формулы к аксиомам, если это поддерживает согласованность теории; но этот вопрос о непротиворечивости является лишь полуразрешимым (имеется алгоритм, позволяющий найти любое противоречие, но если его нет, этот факт согласованности может остаться недоказуемым).
Это можно рассматривать как своего рода оправдание платонической точки зрения, согласно которой объекты наших математических теорий реальны. Точнее, он показывает, что простого предположения о существовании множества натуральных чисел как целостности (актуальной бесконечности) достаточно, чтобы подразумевать существование модели (мира объектов) любой непротиворечивой теории. Однако остается несколько трудностей:
Еще одно следствие теоремы о полноте состоит в том, что она оправдывает концепцию бесконечно малых как действительных. бесконечно малые ненулевые величины, основанные на существовании нестандартных моделей, столь же законных, как и стандартные. Эта идея была формализована Абрахамом Робинсоном в теории нестандартного анализа.
Начиная с 1935 года, группа французских математиков Бурбаки начал издавать серию книг, чтобы формализовать многие области математики на новом основании теории множеств.
Интуиционистская школа не привлекала много приверженцев, и только после работы Бишопа в 1967 г. конструктивная математика была поставлена на более прочную основу <363.>
Можно считать, что программа Гильберта была частично завершена, так что кризис по существу разрешен, удовлетворяя себя более низкими требованиями, чем первоначальные амбиции Гильберта. Его амбиции были выражены в то время, когда ничего не было ясным: не было ясно, может ли математика вообще иметь строгий фундамент.
Существует множество возможных вариантов теории множеств, которые различаются по степени согласованности, где более сильные версии (постулирующие более высокие типы бесконечностей) содержат формальные доказательства согласованности более слабых версий, но ни одна из них не содержит собственного формального доказательства. последовательность. Таким образом, единственное, чего у нас нет, - это формального доказательства непротиворечивости любой версии теории множеств, которую мы можем предпочесть, например ZF.
На практике большинство математиков либо не работают с аксиоматическими системами, либо, если они это делают, не сомневаются в непротиворечивости ZFC, как правило, их предпочитаемой аксиоматической системы. В большинстве случаев математики, как она практикуется, неполнота и парадоксы лежащих в основе формальных теорий никогда не играли никакой роли, и в тех областях, в которых они участвуют или попытки формализации которых сопряжены с риском формирования противоречивых теорий (таких как логика и категоризация) теория), к ним можно относиться осторожно.
Развитие теории категорий в середине 20 века показало полезность теорий множеств, гарантирующих существование более крупных классов, чем ZFC, таких как Фон Нейман – Бернейс– Теория множеств Гёделя или теория множеств Тарского – Гротендика, хотя во многих случаях использование больших кардинальных аксиом или вселенных Гротендика формально исключено.
Одна из целей программы обратной математики - определить, существуют ли области «основной математики», в которых фундаментальные проблемы могут снова спровоцировать кризис.
Математический портал 
Философский портал  | Викицитатник содержит цитаты, относящиеся к: Основы математики |