Суммирование

редактировать
Эта статья о суммах нескольких элементов. Для более элементарных аспектов см. Дополнение. Чтобы узнать о бесконечных суммах, см. Серии (математика). Для использования в других целях, см Суммирование (значения).

В математике, суммирование является дополнением из последовательности любого вида чисел, называемых аддендов или слагаемых ; результат - их сумма или итог. Помимо чисел, можно суммировать и другие типы значений: функции, векторы, матрицы, полиномы и, в общем, элементы любого типа математических объектов, для которых определена операция, обозначенная знаком «+».

Суммирования бесконечных последовательностей называются сериями. Они связаны с концепцией лимита и не рассматриваются в этой статье.

Суммирование явной последовательности обозначается как последовательность сложений. Например, суммирование [1, 2, 4, 2] обозначается 1 + 2 + 4 + 2 и дает 9, то есть 1 + 2 + 4 + 2 = 9. Поскольку сложение является ассоциативным и коммутативным, скобки не нужны, и результат один и тот же независимо от порядка слагаемых. Суммирование последовательности только одного элемента приводит к получению самого этого элемента. Суммирование пустой последовательности (последовательности без элементов) по соглашению приводит к 0.

Очень часто элементы последовательности определяются с помощью регулярного шаблона в зависимости от их места в последовательности. Для простых шаблонов суммирование длинных последовательностей может быть представлено с заменой большинства слагаемых эллипсами. Например, суммирование первых 100 натуральных чисел может быть записано как 1 + 2 + 3 + 4 + + 99 + 100. В противном случае суммирование обозначается с использованием обозначения Σ, где - увеличенная заглавная греческая буква сигма. Например, сумму первых n натуральных чисел можно обозначить как {\ textstyle \ sum} я знак равно 1 п я . {\ textstyle \ sum _ {я = 1} ^ {п} я.}

Для длинных суммирований и суммирований переменной длины (определяемых с помощью эллипсов или обозначений Σ) поиск выражений результата в замкнутой форме является общей проблемой. Например,

я знак равно 1 п я знак равно п ( п + 1 ) 2 . {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} i = {\ frac {n (n + 1)} {2}}.}

Хотя такие формулы не всегда существуют, было обнаружено множество формул суммирования, при этом некоторые из наиболее распространенных и элементарных из них перечислены в оставшейся части этой статьи.

СОДЕРЖАНИЕ
  • 1 Обозначение
    • 1.1 Обозначение заглавной буквы
    • 1.2 Особые случаи
  • 2 Формальное определение
  • 3 Обозначения теории меры
  • 4 Исчисление конечных разностей
  • 5 Аппроксимация определенными интегралами
  • 6 идентичностей
    • 6.1 Общая идентичность
    • 6.2 Степени и логарифм арифметических прогрессий
    • 6.3 Индекс суммирования в показателях
    • 6.4 Биномиальные коэффициенты и факториалы
      • 6.4.1 Использование биномиальной теоремы
      • 6.4.2 Использование чисел перестановок
      • 6.4.3 Другое
    • 6.5 Гармонические числа
  • 7 Темпы роста
  • 8 См. Также
  • 9 Примечания
  • 10 Источники
  • 11 Внешние ссылки
Обозначение

Обозначение заглавной буквы

Символ суммирования

Математические обозначения используется символ, который компактно представляет суммирование многих подобных слагаемых: символ суммирования,, увеличенный вид вертикального капитала греческой буквы сигма. Это определяется как {\ textstyle \ sum}

я знак равно м п а я знак равно а м + а м + 1 + а м + 2 + + а п - 1 + а п {\ displaystyle \ sum _ {я \ mathop {=} m} ^ {n} a_ {i} = a_ {m} + a_ {m + 1} + a_ {m + 2} + \ cdots + a_ {n- 1} + a_ {n}}

где i - индекс суммирования ; a i - индексированная переменная, представляющая каждый член суммы; m - нижняя граница суммирования, а n - верхняя граница суммирования. « I = m » под символом суммирования означает, что индекс i начинается равным m. Индекс i увеличивается на единицу для каждого последующего члена, останавливаясь, когда i = n.

Это читается как «сумма a i от i = m до n ».

Вот пример суммирования квадратов:

я знак равно 3 6 я 2 знак равно 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 знак равно 86. {\ displaystyle \ sum _ {i = 3} ^ {6} i ^ {2} = 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + 5 ^ {2} + 6 ^ {2} = 86.}

В целом, в то время как любая переменная может быть использована в качестве индекса суммирования ( при условии, что никакой неоднозначности не понесены), некоторые из наиболее распространенных из них включают в себя буквы, такие как,,, и ; последнее также часто используется для оценки сверху суммирования. я {\ displaystyle i} j {\ displaystyle j} k {\ displaystyle k} п {\ displaystyle n}

В качестве альтернативы, индекс и границы суммирования иногда не включаются в определение суммирования, если контекст достаточно ясен. Это особенно актуально, когда индекс работает от 1 до n. Например, можно написать так:

а я 2 знак равно я знак равно 1 п а я 2 . {\ displaystyle \ sum a_ {i} ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2}.}

Часто встречаются обобщения этой нотации, в которых предоставляется произвольное логическое условие, и предполагается, что сумма берется по всем значениям, удовлетворяющим условию. Например:

0 k lt; 100 ж ( k ) {\ Displaystyle \ сумма _ {0 \ leq k lt;100} f (k)}

является суммой всех ( целых чисел ) в указанном диапазоне, ж ( k ) {\ displaystyle f (k)} k {\ displaystyle k}

Икс S ж ( Икс ) {\ Displaystyle \ сумма _ {х \ mathop {\ in} S} е (х)}

является суммой всех элементов в наборе, а ж ( Икс ) {\ displaystyle f (x)} Икс {\ displaystyle x} S {\ displaystyle S}

d | п μ ( d ) {\ Displaystyle \ сумма _ {д \, | \, п} \; \ му (д)}

это сумма по всем натуральным числам делящихся. μ ( d ) {\ Displaystyle \ му (д)} d {\ displaystyle d} п {\ displaystyle n}

Есть также способы обобщить использование многих сигма-знаков. Например,

я , j {\ displaystyle \ sum _ {я, j}}

такой же как

я j . {\ displaystyle \ sum _ {i} \ sum _ {j}.}

Аналогичное обозначение применяется, когда дело доходит до обозначения произведения последовательности, которое похоже на его суммирование, но которое использует операцию умножения вместо сложения (и дает 1 для пустой последовательности вместо 0). Используется та же основная структура с увеличенной формой греческой заглавной буквы пи, заменяющей. {\ textstyle \ prod} {\ textstyle \ sum}

Особые случаи

Можно суммировать менее 2 чисел:

  • Если в суммировании есть одно слагаемое, то оцененная сумма равна. Икс {\ displaystyle x} Икс {\ displaystyle x}
  • Если в суммировании нет слагаемых, то оцененная сумма равна нулю, потому что ноль - это тождество для сложения. Это называется пустой суммой.

Эти вырожденные случаи обычно используются только тогда, когда обозначение суммирования дает вырожденный результат в частном случае. Например, если в приведенном выше определении имеется только один член в сумме; если, то нет. п знак равно м {\ Displaystyle п = м} п знак равно м - 1 {\ Displaystyle п = м-1}

Формальное определение

Суммирование может быть определено рекурсивно следующим образом:

я знак равно а б грамм ( я ) знак равно 0 {\ Displaystyle \ сумма _ {я = а} ^ {b} г (я) = 0}, для b lt; a ;
я знак равно а б грамм ( я ) знак равно грамм ( б ) + я знак равно а б - 1 грамм ( я ) {\ Displaystyle \ сумма _ {я = а} ^ {б} г (я) = г (б) + \ сумма _ {я = а} ^ {б-1} г (я)}, при b ≥ a.
Обозначения теории меры

В обозначениях теории меры и интегрирования сумма может быть выражена в виде определенного интеграла,

k знак равно а б ж ( k ) знак равно [ а , б ] ж d μ {\ displaystyle \ sum _ {k \ mathop {=} a} ^ {b} f (k) = \ int _ {[a, b]} f \, d \ mu}

где - подмножество целых чисел от до, а где - счетная мера. [ а , б ] {\ Displaystyle [а, б]} а {\ displaystyle a} б {\ displaystyle b} μ {\ displaystyle \ mu}

Исчисление конечных разностей

Для функции f, определенной над целыми числами в интервале [ m, n ], выполняется следующее уравнение:

ж ( п ) - ж ( м ) знак равно я знак равно м п - 1 ( ж ( я + 1 ) - ж ( я ) ) . {\ Displaystyle f (n) -f (m) = \ sum _ {i = m} ^ {n-1} (f (i + 1) -f (i)).}

Это аналог основной теоремы исчисления в исчислении конечных разностей, которая гласит, что:

ж ( п ) - ж ( м ) знак равно м п ж ( Икс ) d Икс , {\ displaystyle f (n) -f (m) = \ int _ {m} ^ {n} f '(x) \, dx,}

куда

ж ( Икс ) знак равно Lim час 0 ж ( Икс + час ) - ж ( Икс ) час {\ displaystyle f '(x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}

- производная от f.

Пример применения вышеуказанного уравнения следующий:

п k знак равно я знак равно 0 п - 1 ( ( я + 1 ) k - я k ) . {\ displaystyle n ^ {k} = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ left ((i + 1) ^ {k} -i ^ {k} \ right).}

Используя биномиальную теорему, это можно переписать как:

п k знак равно я знак равно 0 п - 1 ( j знак равно 0 я - 1 ( k j ) я j ) . {\ displaystyle n ^ {k} = \ sum _ {я = 0} ^ {n-1} \ left (\ sum _ {j = 0} ^ {i-1} {\ binom {k} {j}} i ^ {j} \ right).}

Вышеупомянутая формула чаще используется для инвертирования разностного оператора, определяемого следующим образом: Δ {\ displaystyle \ Delta}

Δ ( ж ) ( п ) знак равно ж ( п + 1 ) - ж ( п ) , {\ Displaystyle \ Delta (е) (п) = е (п + 1) -f (п),}

где f - функция, определенная на неотрицательных целых числах. Таким образом, при такой функции F, проблема в том, чтобы вычислить antidifference из F, функции такой, что. То есть эта функция определена с точностью до константы и может быть выбрана как F знак равно Δ - 1 ж {\ Displaystyle F = \ Delta ^ {- 1} f} Δ F знак равно ж {\ displaystyle \ Delta F = f} F ( п + 1 ) - F ( п ) знак равно ж ( п ) . {\ Displaystyle F (n + 1) -F (n) = f (n).}

F ( п ) знак равно я знак равно 0 п - 1 ж ( я ) . {\ Displaystyle F (n) = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} f (i).}

Не всегда существует выражение в замкнутой форме для такого суммирования, но формула Фаульхабера обеспечивает замкнутую форму в случае, когда и, по линейности, для каждой полиномиальной функции от n. ж ( п ) знак равно п k {\ Displaystyle е (п) = п ^ {к}}

Аппроксимация определенными интегралами

Многие такие приближения могут быть получены с помощью следующей связи между суммами и интегралами, которая имеет место для любой возрастающей функции f:

s знак равно а - 1 б ж ( s )   d s я знак равно а б ж ( я ) s знак равно а б + 1 ж ( s )   d s . {\ displaystyle \ int _ {s = a-1} ^ {b} f (s) \ ds \ leq \ sum _ {i = a} ^ {b} f (i) \ leq \ int _ {s = a } ^ {b + 1} f (s) \ ds.}

и для любой убывающей функции f:

s знак равно а б + 1 ж ( s )   d s я знак равно а б ж ( я ) s знак равно а - 1 б ж ( s )   d s . {\ displaystyle \ int _ {s = a} ^ {b + 1} f (s) \ ds \ leq \ sum _ {i = a} ^ {b} f (i) \ leq \ int _ {s = a -1} ^ {b} f (s) \ ds.}

Для более общих приближений см. Формулу Эйлера – Маклорена.

Для суммирования, в котором слагаемое задается (или может быть интерполировано) интегрируемой функцией индекса, суммирование можно интерпретировать как сумму Римана, входящую в определение соответствующего определенного интеграла. Поэтому можно ожидать, например, что

б - а п я знак равно 0 п - 1 ж ( а + я б - а п ) а б ж ( Икс )   d Икс , {\ displaystyle {\ frac {ba} {n}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} f \ left (a + i {\ frac {ba} {n}} \ right) \ приблизительно \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ dx,}

так как правая часть по определению является пределом для левой части. Однако для данного суммирования n фиксировано, и мало что можно сказать об ошибке в приведенном выше приближении без дополнительных предположений относительно f: очевидно, что для сильно осциллирующих функций сумма Римана может быть сколь угодно далека от интеграла Римана. п {\ Displaystyle п \ к \ infty}

Идентичности

В приведенных ниже формулах используются конечные суммы; для бесконечного суммирования или конечного суммирования выражений, включающих тригонометрические функции или другие трансцендентные функции, см. список математических рядов.

Общая идентичность

п знак равно s т C ж ( п ) знак равно C п знак равно s т ж ( п ) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} C \ cdot f (n) = C \ cdot \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) \ quad}( распределенность )
п знак равно s т ж ( п ) ± п знак равно s т грамм ( п ) знак равно п знак равно s т ( ж ( п ) ± грамм ( п ) ) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) \ pm \ sum _ {n = s} ^ {t} g (n) = \ sum _ {n = s} ^ {t} \ left (f (n) \ pm g (n) \ right) \ quad}( коммутативность и ассоциативность )
п знак равно s т ж ( п ) знак равно п знак равно s + п т + п ж ( п - п ) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) = \ sum _ {n = s + p} ^ {t + p} f (np) \ quad} (сдвиг индекса)
п B ж ( п ) знак равно м А ж ( σ ( м ) ) , {\ Displaystyle \ сумма _ {п \ в В} е (п) = \ сумма _ {м \ в А} е (\ сигма (м)), \ квад}для биекции σ из конечного множества A на множество B (смена индекса); это обобщает предыдущую формулу.
п знак равно s т ж ( п ) знак равно п знак равно s j ж ( п ) + п знак равно j + 1 т ж ( п ) {\ Displaystyle \ сумма _ {п = s} ^ {т} е (п) = \ сумма _ {п = s} ^ {j} е (п) + \ сумма _ {п = j + 1} ^ {т } f (n) \ quad}(разбиение суммы с использованием ассоциативности )
п знак равно а б ж ( п ) знак равно п знак равно 0 б ж ( п ) - п знак равно 0 а - 1 ж ( п ) {\ displaystyle \ sum _ {n = a} ^ {b} f (n) = \ sum _ {n = 0} ^ {b} f (n) - \ sum _ {n = 0} ^ {a-1 } f (n) \ quad} (вариант предыдущей формулы)
п знак равно s т ж ( п ) знак равно п знак равно 0 т - s ж ( т - п ) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} f (n) = \ sum _ {n = 0} ^ {ts} f (tn) \ quad} (сумма от первого до последнего члена равна сумме от последнего до первого)
п знак равно 0 т ж ( п ) знак равно п знак равно 0 т ж ( т - п ) {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {t} f (n) = \ sum _ {n = 0} ^ {t} f (tn) \ quad} (частный случай формулы выше)
я знак равно k 0 k 1 j знак равно л 0 л 1 а я , j знак равно j знак равно л 0 л 1 я знак равно k 0 k 1 а я , j {\ displaystyle \ sum _ {я = k_ {0}} ^ {k_ {1}} \ sum _ {j = l_ {0}} ^ {l_ {1}} a_ {i, j} = \ sum _ { j = l_ {0}} ^ {l_ {1}} \ sum _ {i = k_ {0}} ^ {k_ {1}} a_ {i, j} \ quad} (снова коммутативность и ассоциативность)
k j я п а я , j знак равно я знак равно k п j знак равно k я а я , j знак равно j знак равно k п я знак равно j п а я , j знак равно j знак равно 0 п - k я знак равно k п - j а я + j , я {\ displaystyle \ sum _ {k \ leq j \ leq i \ leq n} a_ {i, j} = \ sum _ {i = k} ^ {n} \ sum _ {j = k} ^ {i} a_ {i, j} = \ sum _ {j = k} ^ {n} \ sum _ {i = j} ^ {n} a_ {i, j} = \ sum _ {j = 0} ^ {nk} \ сумма _ {i = k} ^ {nj} a_ {i + j, i} \ quad} (еще одно приложение коммутативности и ассоциативности)
п знак равно 2 s 2 т + 1 ж ( п ) знак равно п знак равно s т ж ( 2 п ) + п знак равно s т ж ( 2 п + 1 ) {\ displaystyle \ sum _ {n = 2s} ^ {2t + 1} f (n) = \ sum _ {n = s} ^ {t} f (2n) + \ sum _ {n = s} ^ {t } f (2n + 1) \ quad}(разбиение суммы на нечетную и четную части для четных индексов)
п знак равно 2 s + 1 2 т ж ( п ) знак равно п знак равно s + 1 т ж ( 2 п ) + п знак равно s + 1 т ж ( 2 п - 1 ) {\ displaystyle \ sum _ {n = 2s + 1} ^ {2t} f (n) = \ sum _ {n = s + 1} ^ {t} f (2n) + \ sum _ {n = s + 1 } ^ {t} f (2n-1) \ quad} (разбиение суммы на нечетные и четные части, для нечетных индексов)
( я знак равно 0 п а я ) ( j знак равно 0 п б j ) знак равно я знак равно 0 п j знак равно 0 п а я б j {\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {j = 0} ^ {n} b_ {j} \ right) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ sum _ {j = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {j} \ quad}( распределенность )
я знак равно s м j знак равно т п а я c j знак равно ( я знак равно s м а я ) ( j знак равно т п c j ) {\ displaystyle \ sum _ {i = s} ^ {m} \ sum _ {j = t} ^ {n} {a_ {i}} {c_ {j}} = \ left (\ sum _ {i = s } ^ {m} a_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {j = t} ^ {n} c_ {j} \ right) \ quad} (дистрибутивность допускает факторизацию)
п знак равно s т бревно б ж ( п ) знак равно бревно б п знак равно s т ж ( п ) {\ displaystyle \ sum _ {n = s} ^ {t} \ log _ {b} f (n) = \ log _ {b} \ prod _ {n = s} ^ {t} f (n) \ quad }( логарифм продукта - это сумма логарифмов факторов)
C п знак равно s т ж ( п ) знак равно п знак равно s т C ж ( п ) {\ displaystyle C ^ {\ sum \ limits _ {n = s} ^ {t} f (n)} = \ prod _ {n = s} ^ {t} C ^ {f (n)} \ quad}( экспонента суммы является произведением экспоненты слагаемых)

Степени и логарифм арифметических прогрессий

я знак равно 1 п c знак равно п c {\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {n} с = nc \ quad}для любого c, не зависящего от i
я знак равно 0 п я знак равно я знак равно 1 п я знак равно п ( п + 1 ) 2 {\ Displaystyle \ сумма _ {я = 0} ^ {п} я = \ сумма _ {я = 1} ^ {п} я = {\ гидроразрыва {п (п + 1)} {2}} \ qquad}(Сумма простейшей арифметической прогрессии, состоящей из первых n натуральных чисел.)
я знак равно 1 п ( 2 я - 1 ) знак равно п 2 {\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {п} (2i-1) = п ^ {2} \ qquad} (Сумма первых нечетных натуральных чисел)
я знак равно 0 п 2 я знак равно п ( п + 1 ) {\ Displaystyle \ сумма _ {я = 0} ^ {п} 2i = п (п + 1) \ qquad} (Сумма первых четных натуральных чисел)
я знак равно 1 п бревно я знак равно бревно п ! {\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {п} \ журнал я = \ журнал п! \ qquad}(Сумма логарифмов - это логарифм произведения)
я знак равно 0 п я 2 знак равно я знак равно 1 п я 2 знак равно п ( п + 1 ) ( 2 п + 1 ) 6 знак равно п 3 3 + п 2 2 + п 6 {\ Displaystyle \ сумма _ {я = 0} ^ {п} я ^ {2} = \ сумма _ {я = 1} ^ {п} я ^ {2} = {\ гидроразрыва {п (п + 1) ( 2n + 1)} {6}} = {\ frac {n ^ {3}} {3}} + {\ frac {n ^ {2}} {2}} + {\ frac {n} {6}} \ qquad}(Сумма первых квадратов, см. Квадрат пирамидального числа. )
я знак равно 0 п я 3 знак равно ( я знак равно 0 п я ) 2 знак равно ( п ( п + 1 ) 2 ) 2 знак равно п 4 4 + п 3 2 + п 2 4 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {3} = \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} i \ right) ^ {2} = \ left ({\ гидроразрыв {n (n + 1)} {2}} \ right) ^ {2} = {\ frac {n ^ {4}} {4}} + {\ frac {n ^ {3}} {2}} + {\ frac {n ^ {2}} {4}} \ qquad}( Теорема Никомаха )

В более общем смысле, есть формула Фаульхабера для п gt; 1 {\ displaystyle pgt; 1}

k знак равно 1 п k п знак равно п п + 1 п + 1 + 1 2 п п + k знак равно 2 п ( п k ) B k п - k + 1 п п - k + 1 , {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {\ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1}} + {\ frac {1} {2}} n ^ {p} + \ sum _ {k = 2} ^ {p} {\ binom {p} {k}} {\ frac {B_ {k}} {p-k + 1}} \, n ^ { п-к + 1},}

где обозначает число Бернулли, а - биномиальный коэффициент. B k {\ displaystyle B_ {k}} ( п k ) {\ displaystyle {\ binom {p} {k}}}

Индекс суммирования в показателях

В следующих суммированиях предполагается, что a отличается от 1.

я знак равно 0 п - 1 а я знак равно 1 - а п 1 - а {\ displaystyle \ sum _ {я = 0} ^ {n-1} a ^ {i} = {\ frac {1-a ^ {n}} {1-a}}}(сумма геометрической прогрессии )
я знак равно 0 п - 1 1 2 я знак равно 2 - 1 2 п - 1 {\ displaystyle \ sum _ {я = 0} ^ {n-1} {\ frac {1} {2 ^ {i}}} = 2 - {\ frac {1} {2 ^ {n-1}}} }(частный случай для a = 1/2)
я знак равно 0 п - 1 я а я знак равно а - п а п + ( п - 1 ) а п + 1 ( 1 - а ) 2 {\ displaystyle \ sum _ {я = 0} ^ {n-1} ia ^ {i} = {\ frac {a-na ^ {n} + (n-1) a ^ {n + 1}} {( 1-а) ^ {2}}}}( a, умноженное на производную геометрической прогрессии по a)
я знак равно 0 п - 1 ( б + я d ) а я знак равно б я знак равно 0 п - 1 а я + d я знак равно 0 п - 1 я а я знак равно б ( 1 - а п 1 - а ) + d ( а - п а п + ( п - 1 ) а п + 1 ( 1 - а ) 2 ) знак равно б ( 1 - а п ) - ( п - 1 ) d а п 1 - а + d а ( 1 - а п - 1 ) ( 1 - а ) 2 {\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ left (b + id \ right) a ^ {i} amp; = b \ sum _ {i = 0} ^ { n-1} a ^ {i} + d \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} ia ^ {i} \\ amp; = b \ left ({\ frac {1-a ^ {n}} {1-a}} \ right) + d \ left ({\ frac {a-na ^ {n} + (n-1) a ^ {n + 1}} {(1-a) ^ {2}}) } \ right) \\ amp; = {\ frac {b (1-a ^ {n}) - (n-1) da ^ {n}} {1-a}} + {\ frac {da (1-a ^ {п-1})} {(1-а) ^ {2}}} \ конец {выровнено}}}
(сумма арифметико-геометрической последовательности )

Биномиальные коэффициенты и факториалы

Основная статья: Биномиальный коэффициент § Суммы биномиальных коэффициентов

Существует очень много тождеств суммирования, включающих биномиальные коэффициенты (целая глава Конкретной математики посвящена только основным методам). Вот некоторые из самых основных.

Используя биномиальную теорему

я знак равно 0 п ( п я ) а п - я б я знак равно ( а + б ) п , {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ choose i} a ^ {ni} b ^ {i} = (a + b) ^ {n},} бином Ньютона
я знак равно 0 п ( п я ) знак равно 2 п , {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ select i} = 2 ^ {n},}частный случай, когда a = b = 1
я знак равно 0 п ( п я ) п я ( 1 - п ) п - я знак равно 1 {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ choose i} p ^ {i} (1-p) ^ {ni} = 1}, частный случай, когда p = a = 1 - b, что для выражает сумму биномиального распределения 0 п 1 , {\ displaystyle 0 \ leq p \ leq 1,}
я знак равно 0 п я ( п я ) знак равно п ( 2 п - 1 ) , {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i {n \ select i} = n (2 ^ {n-1}),}значение в виде = Ь = 1 в производной по отношению к биномиальным теоремам
я знак равно 0 п ( п я ) я + 1 знак равно 2 п + 1 - 1 п + 1 , {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {n \ choose i} {i + 1}} = {\ frac {2 ^ {n + 1} -1} {n + 1} },}значение в виде = Ь = 1 из первообразной относительно биномиального теоремы

Вовлечение чисел перестановки

В следующих суммах - количество k -перестановок n. п п k {\ displaystyle {} _ {n} P_ {k}}

я знак равно 0 п я п k ( п я ) знак равно п п k ( 2 п - k ) {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {} _ {i} P_ {k} {n \ choose i} = {} _ {n} P_ {k} (2 ^ {nk})}
я знак равно 1 п я + k п k + 1 знак равно я знак равно 1 п j знак равно 0 k ( я + j ) знак равно ( п + k + 1 ) ! ( п - 1 ) ! ( k + 2 ) {\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {n} {} _ {i + k} P_ {k + 1} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ prod _ {j = 0} ^ {k} (i + j) = {\ frac {(n + k + 1)!} {(n-1)! (k + 2)}}}
я знак равно 0 п я ! ( п я ) знак равно я знак равно 0 п п п я знак равно п ! е , п Z + {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i! \ cdot {n \ choose i} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {} _ {n} P_ {i} = \ lfloor n! \ cdot e \ rfloor, \ quad n \ in \ mathbb {Z} ^ {+}}, где и обозначает функцию пола. Икс {\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}

Другие

k знак равно 0 м ( п + k п ) знак равно ( п + м + 1 п + 1 ) {\ displaystyle \ sum _ {к = 0} ^ {m} {\ binom {n + k} {n}} = {\ binom {n + m + 1} {n + 1}}}
я знак равно k п ( я k ) знак равно ( п + 1 k + 1 ) {\ displaystyle \ sum _ {я = k} ^ {n} {я \ выбрать k} = {n + 1 \ выбрать k + 1}}
я знак равно 0 п я я ! знак равно ( п + 1 ) ! - 1 {\ Displaystyle \ сумма _ {я = 0} ^ {п} я \ CDOT я! = (п + 1)! - 1}
я знак равно 0 п ( м + я - 1 я ) знак равно ( м + п п ) {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {m + i-1 \ choose i} = {m + n \ choose n}}
я знак равно 0 п ( п я ) 2 знак равно ( 2 п п ) {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {n \ select i} ^ {2} = {2n \ choose n}}
я знак равно 0 п 1 я ! знак равно п ! е п ! {\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {1} {i!}} = {\ frac {\ lfloor n! \; e \ rfloor} {n!}}}

Гармонические числа

я знак равно 1 п 1 я знак равно ЧАС п {\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {п} {\ гидроразрыва {1} {я}} = Н_ {п}}(это номер n- й гармоники )
я знак равно 1 п 1 я k знак равно ЧАС п k {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i ^ {k}}} = H_ {n} ^ {k}}(это обобщенное гармоническое число )
Темпы роста

Ниже приведены полезные приближения (с использованием тета-записи ):

я знак равно 1 п я c Θ ( п c + 1 ) {\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {n} я ^ {c} \ in \ Theta (n ^ {c + 1})}для действительного c больше -1
я знак равно 1 п 1 я Θ ( бревно е п ) {\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i}} \ in \ Theta (\ log _ {e} n)}(См. Число гармоник )
я знак равно 1 п c я Θ ( c п ) {\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {n} c ^ {i} \ in \ Theta (c ^ {n})}для действительного c больше 1
я знак равно 1 п бревно ( я ) c Θ ( п бревно ( п ) c ) {\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {n} \ log (i) ^ {c} \ in \ Theta (n \ cdot \ log (n) ^ {c})}для неотрицательного действительного c
я знак равно 1 п бревно ( я ) c я d Θ ( п d + 1 бревно ( п ) c ) {\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {п} \ журнал (я) ^ {с} \ cdot я ^ {d} \ in \ Theta (п ^ {d + 1} \ cdot \ log (п) ^ {c})}для неотрицательных вещественных c, d
я знак равно 1 п бревно ( я ) c я d б я Θ ( п d бревно ( п ) c б п ) {\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {n} \ log (i) ^ {c} \ cdot i ^ {d} \ cdot b ^ {i} \ in \ Theta (n ^ {d} \ cdot \ log (n) ^ {c} \ cdot b ^ {n})}для неотрицательных вещественных b gt; 1, c, d
Смотрите также
Примечания
Источники
внешние ссылки
  • СМИ, связанные с суммированием на Викискладе?
Последняя правка сделана 2023-03-19 06:13:39
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте