Эта статья о суммах нескольких элементов. Для более элементарных аспектов см.
Дополнение. Чтобы узнать о бесконечных суммах, см.
Серии (математика). Для использования в других целях, см
Суммирование (значения).
В математике, суммирование является дополнением из последовательности любого вида чисел, называемых аддендов или слагаемых ; результат - их сумма или итог. Помимо чисел, можно суммировать и другие типы значений: функции, векторы, матрицы, полиномы и, в общем, элементы любого типа математических объектов, для которых определена операция, обозначенная знаком «+».
Суммирования бесконечных последовательностей называются сериями. Они связаны с концепцией лимита и не рассматриваются в этой статье.
Суммирование явной последовательности обозначается как последовательность сложений. Например, суммирование [1, 2, 4, 2] обозначается 1 + 2 + 4 + 2 и дает 9, то есть 1 + 2 + 4 + 2 = 9. Поскольку сложение является ассоциативным и коммутативным, скобки не нужны, и результат один и тот же независимо от порядка слагаемых. Суммирование последовательности только одного элемента приводит к получению самого этого элемента. Суммирование пустой последовательности (последовательности без элементов) по соглашению приводит к 0.
Очень часто элементы последовательности определяются с помощью регулярного шаблона в зависимости от их места в последовательности. Для простых шаблонов суммирование длинных последовательностей может быть представлено с заменой большинства слагаемых эллипсами. Например, суммирование первых 100 натуральных чисел может быть записано как 1 + 2 + 3 + 4 + + 99 + 100. В противном случае суммирование обозначается с использованием обозначения Σ, где - увеличенная заглавная греческая буква сигма. Например, сумму первых n натуральных чисел можно обозначить как
Для длинных суммирований и суммирований переменной длины (определяемых с помощью эллипсов или обозначений Σ) поиск выражений результата в замкнутой форме является общей проблемой. Например,
Хотя такие формулы не всегда существуют, было обнаружено множество формул суммирования, при этом некоторые из наиболее распространенных и элементарных из них перечислены в оставшейся части этой статьи.
СОДЕРЖАНИЕ
- 1 Обозначение
- 1.1 Обозначение заглавной буквы
- 1.2 Особые случаи
- 2 Формальное определение
- 3 Обозначения теории меры
- 4 Исчисление конечных разностей
- 5 Аппроксимация определенными интегралами
- 6 идентичностей
- 6.1 Общая идентичность
- 6.2 Степени и логарифм арифметических прогрессий
- 6.3 Индекс суммирования в показателях
- 6.4 Биномиальные коэффициенты и факториалы
- 6.4.1 Использование биномиальной теоремы
- 6.4.2 Использование чисел перестановок
- 6.4.3 Другое
- 6.5 Гармонические числа
- 7 Темпы роста
- 8 См. Также
- 9 Примечания
- 10 Источники
- 11 Внешние ссылки
Обозначение
Обозначение заглавной буквы
Символ суммирования
Математические обозначения используется символ, который компактно представляет суммирование многих подобных слагаемых: символ суммирования,, увеличенный вид вертикального капитала греческой буквы сигма. Это определяется как
где i - индекс суммирования ; a i - индексированная переменная, представляющая каждый член суммы; m - нижняя граница суммирования, а n - верхняя граница суммирования. « I = m » под символом суммирования означает, что индекс i начинается равным m. Индекс i увеличивается на единицу для каждого последующего члена, останавливаясь, когда i = n.
Это читается как «сумма a i от i = m до n ».
Вот пример суммирования квадратов:
В целом, в то время как любая переменная может быть использована в качестве индекса суммирования ( при условии, что никакой неоднозначности не понесены), некоторые из наиболее распространенных из них включают в себя буквы, такие как,,, и ; последнее также часто используется для оценки сверху суммирования.
В качестве альтернативы, индекс и границы суммирования иногда не включаются в определение суммирования, если контекст достаточно ясен. Это особенно актуально, когда индекс работает от 1 до n. Например, можно написать так:
Часто встречаются обобщения этой нотации, в которых предоставляется произвольное логическое условие, и предполагается, что сумма берется по всем значениям, удовлетворяющим условию. Например:
является суммой всех ( целых чисел ) в указанном диапазоне,
является суммой всех элементов в наборе, а
это сумма по всем натуральным числам делящихся.
Есть также способы обобщить использование многих сигма-знаков. Например,
такой же как
Аналогичное обозначение применяется, когда дело доходит до обозначения произведения последовательности, которое похоже на его суммирование, но которое использует операцию умножения вместо сложения (и дает 1 для пустой последовательности вместо 0). Используется та же основная структура с увеличенной формой греческой заглавной буквы пи, заменяющей.
Особые случаи
Можно суммировать менее 2 чисел:
- Если в суммировании есть одно слагаемое, то оцененная сумма равна.
- Если в суммировании нет слагаемых, то оцененная сумма равна нулю, потому что ноль - это тождество для сложения. Это называется пустой суммой.
Эти вырожденные случаи обычно используются только тогда, когда обозначение суммирования дает вырожденный результат в частном случае. Например, если в приведенном выше определении имеется только один член в сумме; если, то нет.
Формальное определение
Суммирование может быть определено рекурсивно следующим образом:
- , для b lt; a ;
- , при b ≥ a.
Обозначения теории меры
В обозначениях теории меры и интегрирования сумма может быть выражена в виде определенного интеграла,
где - подмножество целых чисел от до, а где - счетная мера.
Исчисление конечных разностей
Для функции f, определенной над целыми числами в интервале [ m, n ], выполняется следующее уравнение:
Это аналог основной теоремы исчисления в исчислении конечных разностей, которая гласит, что:
куда
- производная от f.
Пример применения вышеуказанного уравнения следующий:
Используя биномиальную теорему, это можно переписать как:
Вышеупомянутая формула чаще используется для инвертирования разностного оператора, определяемого следующим образом:
где f - функция, определенная на неотрицательных целых числах. Таким образом, при такой функции F, проблема в том, чтобы вычислить antidifference из F, функции такой, что. То есть эта функция определена с точностью до константы и может быть выбрана как
Не всегда существует выражение в замкнутой форме для такого суммирования, но формула Фаульхабера обеспечивает замкнутую форму в случае, когда и, по линейности, для каждой полиномиальной функции от n.
Аппроксимация определенными интегралами
Многие такие приближения могут быть получены с помощью следующей связи между суммами и интегралами, которая имеет место для любой возрастающей функции f:
и для любой убывающей функции f:
Для более общих приближений см. Формулу Эйлера – Маклорена.
Для суммирования, в котором слагаемое задается (или может быть интерполировано) интегрируемой функцией индекса, суммирование можно интерпретировать как сумму Римана, входящую в определение соответствующего определенного интеграла. Поэтому можно ожидать, например, что
так как правая часть по определению является пределом для левой части. Однако для данного суммирования n фиксировано, и мало что можно сказать об ошибке в приведенном выше приближении без дополнительных предположений относительно f: очевидно, что для сильно осциллирующих функций сумма Римана может быть сколь угодно далека от интеграла Римана.
Идентичности
В приведенных ниже формулах используются конечные суммы; для бесконечного суммирования или конечного суммирования выражений, включающих тригонометрические функции или другие трансцендентные функции, см. список математических рядов.
Общая идентичность
- ( распределенность )
- ( коммутативность и ассоциативность )
- (сдвиг индекса)
- для биекции σ из конечного множества A на множество B (смена индекса); это обобщает предыдущую формулу.
- (разбиение суммы с использованием ассоциативности )
- (вариант предыдущей формулы)
- (сумма от первого до последнего члена равна сумме от последнего до первого)
- (частный случай формулы выше)
- (снова коммутативность и ассоциативность)
- (еще одно приложение коммутативности и ассоциативности)
- (разбиение суммы на нечетную и четную части для четных индексов)
- (разбиение суммы на нечетные и четные части, для нечетных индексов)
- ( распределенность )
- (дистрибутивность допускает факторизацию)
- ( логарифм продукта - это сумма логарифмов факторов)
- ( экспонента суммы является произведением экспоненты слагаемых)
Степени и логарифм арифметических прогрессий
- для любого c, не зависящего от i
- (Сумма простейшей арифметической прогрессии, состоящей из первых n натуральных чисел.)
- (Сумма первых нечетных натуральных чисел)
- (Сумма первых четных натуральных чисел)
- (Сумма логарифмов - это логарифм произведения)
- (Сумма первых квадратов, см. Квадрат пирамидального числа. )
- ( Теорема Никомаха )
В более общем смысле, есть формула Фаульхабера для
где обозначает число Бернулли, а - биномиальный коэффициент.
Индекс суммирования в показателях
В следующих суммированиях предполагается, что a отличается от 1.
- (сумма геометрической прогрессии )
- (частный случай для a = 1/2)
- ( a, умноженное на производную геометрической прогрессии по a)
-
- (сумма арифметико-геометрической последовательности )
Биномиальные коэффициенты и факториалы
Основная статья:
Биномиальный коэффициент § Суммы биномиальных коэффициентов Существует очень много тождеств суммирования, включающих биномиальные коэффициенты (целая глава Конкретной математики посвящена только основным методам). Вот некоторые из самых основных.
Используя биномиальную теорему
- бином Ньютона
- частный случай, когда a = b = 1
- , частный случай, когда p = a = 1 - b, что для выражает сумму биномиального распределения
- значение в виде = Ь = 1 в производной по отношению к биномиальным теоремам
- значение в виде = Ь = 1 из первообразной относительно биномиального теоремы
Вовлечение чисел перестановки
В следующих суммах - количество k -перестановок n.
- , где и обозначает функцию пола.
Другие
Гармонические числа
- (это номер n- й гармоники )
- (это обобщенное гармоническое число )
Темпы роста
Ниже приведены полезные приближения (с использованием тета-записи ):
- для действительного c больше -1
- (См. Число гармоник )
- для действительного c больше 1
- для неотрицательного действительного c
- для неотрицательных вещественных c, d
- для неотрицательных вещественных b gt; 1, c, d
Смотрите также
Примечания
Источники
внешние ссылки
- СМИ, связанные с суммированием на Викискладе?