Биномиальная теорема

Алгебраическое разложение степеней бинома $1\; 1\; 1\; 1\; 2\; 1\; 1\; 3\; 3\; 1\; 1\; 4\; 6\; 4\; 1\; 1\; 5\; 10\; 10\; 5\; 1\; 1\; 6\; 15\; 20\; 15\; 6\; 1\; 1\; 7\; 21\; 35\; 35\; 21\; 7\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{c\}\; 1\; \backslash \; 1\; \backslash \; quad\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; quad\; 2\; \backslash \; quad\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; quad\; 3\; \backslash \; quad\; 3\; \backslash \; quad\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; quad\; 4\; \backslash \; quad\; 6\; \backslash \; quad\; 4\; \backslash \; quad\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; quad\; 5\; \backslash \; quad\; 10\; \backslash \; quad\; 10\; \backslash \; quad\; 5\; \backslash \; quad\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; quad\; 6\; \backslash \; quad\; 15\; \backslash \; quad\; 20\; \backslash \; quad\; 15\; \backslash \; quad\; 6\; \backslash \; quad\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; quad\; 7\; \backslash \; quad\; 21\; \backslash \; quad\; 35\; \backslash \; quad\; 35\; \backslash \; quad\; 21\; \backslash \; quad\; 7\; \backslash \; quad\; 1\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$биномиальный коэффициент $(nb)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{n\}\; \{b\}\}\}$появляется как b-я запись в n-й строке треугольника Паскаля (отсчет начинается с 0). Каждая запись представляет собой сумму двух вышеприведенных.

В элементарной алгебре биномиальная теорема (или биномиальное разложение ) описывает алгебраическое разложение увеличивает из бинома. Согласно теореме, можно разложить многочлен (x + y) до суммы, включающей члены формы axy, где показатели b и c являются неотрицательными целыми числами с b + c = n, и коэффициент a каждого члена является конкретным положительным целым числом в зависимости от n и b. Например (для n = 4),

$(x\; +\; y)\; 4\; =\; x\; 4\; +\; 4\; x\; 3\; y\; +\; 6\; x\; 2\; y\; 2\; +\; 4\; x\; y\; 3\; +\; y\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; y)\; ^\; \{4\}\; =\; x\; ^\; \{4\}\; +\; 4x\; ^\; \{3\}\; y\; +\; 6x\; ^\; \{2\}\; y\; ^\; \{2\}\; +\; 4xy\; ^\; \{3\}\; +\; y\; ^\; \{4\}.\}$

Коэффициент a в члене axy известен как биномиальный коэффициент $(nb)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{n\}\; \{b\}\}\}$или $(nc)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{n\}\; \{c\}\}\}$(оба имеют одинаковое значение). Эти коэффициенты для изменения n и b можно расположить так, чтобы сформировать треугольник Паскаля. Эти числа также встречаются в комбинаторике, где $(nb)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{n\}\; \{b\}\}\}$дает количество различных комбинаций из b элементов, которые могут быть выбраны из n-элементного набора. Поэтому $(n\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{n\}\; \{b\}\}\}$часто произносится как «n выберите b».

• 1 История
• 2 Утверждение
• 3 Примеры
  • 3.1 Геометрическое объяснение
• 4 Биномиальные коэффициенты
  • 4.1 Формулы
  • 4.2 Комбинаторная интерпретация
• 5 Доказательства
  • 5.1 Комбинаторное доказательство
    • 5.1.1 Пример
    • 5.1.2 Общий случай
  • 5.2 Индуктивное доказательство
• 6 Обобщения
  • 6.1 Обобщенная биномиальная теорема Ньютона
  • 6.2 Дальнейшие обобщения
  • 6.3 Полиномиальная теорема
  • 6.4 Многобиномиальная теорема
  • 6.5 Общее правило Лейбница
• 7 Приложения
  • 7.1 Многоугольные тождества
  • 7.2 Ряды для e
  • 7.3 Вероятность
• 8 В абстрактной алгебре
• 9 В популярной культуре
• 10 См. Также
• 11 Примечания
• 12 Ссылки
• 13 Дополнительная литература
• 14 Внешние ссылки

Особые случаи биномиальной теоремы были известны с тех пор, как по крайней мере, в 4 веке до нашей эры, когда греческий математик Евклид упомянул частный случай биномиальной теоремы для экспоненты 2. Есть свидетельства того, что биномиальная теорема для кубов была известна к VI в. Entury AD в Индии.

Биномиальные коэффициенты, как комбинаторные величины, выражающие количество способов выбора k объектов из n без замены, интересовали древнеиндийских математиков. Самая ранняя известная ссылка на эту комбинаторную проблему - это Чандамшастра индийского лирика Пингала (ок. 200 г. до н.э.), в которой содержится метод ее решения. Комментатор Халаюда из 10 века нашей эры объясняет этот метод, используя то, что теперь известно как треугольник Паскаля. К VI веку нашей эры индийские математики, вероятно, знали, как выразить это как частное $n!\; (п\; -\; к)!\; к!\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{(nk)!\; k!\}\}\}$, и четкое изложение этого правила можно найти в тексте XII века Lilavati, написанном Бхаскара.

Первую формулировку биномиальной теоремы и таблицу биномиальных коэффициентов, насколько нам известно, можно найти в работе аль-Караджи, цитируемой аль-Самав'алом в его "аль-Бахир". Аль-Караджи описал треугольную структуру биномиальных коэффициентов, а также предоставил математическое доказательство как биномиальной теоремы, так и треугольника Паскаля, используя раннюю форму математическая индукция. Персидский поэт и математик Омар Хайям, вероятно, был знаком с этой формулой до высших порядков, хотя многие из его математических работ утеряны. Биномиальное разложение малых степеней было известно в математических работах 13 века Ян Хуэй, а также Чу Ши-Чи. Ян Хуэй приписывает этот метод гораздо более раннему тексту 11-го века Цзя Сянь, хотя эти записи теперь также утеряны.

В 1544 году Майкл Стифель ввел термин «биномиальный коэффициент» и показал, как их использовать для выражения $(1\; +\; a)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; (1\; +\; a)\; ^\; \{n\}\}$через $(1\; +\; a)\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (1\; +\; a)\; ^\; \{n-1\}\}$, через «треугольник Паскаля». Блез Паскаль всесторонне изучил одноименный треугольник в трактат Арифметический треугольник (1665). Однако последовательность чисел уже была известна европейским математикам позднего Возрождения, в том числе Стифелю, Никколо Фонтана Тарталья и Саймону Стевину.

Исааку Ньютону обычно приписывают Обобщенная биномиальная теорема, справедливая для любого рационального показателя.

Согласно теореме, любую неотрицательную степень x + y можно разложить в сумму вида

$(\; x\; +\; y)\; n\; =\; (n\; 0)\; xny\; 0\; +\; (n\; 1)\; xn\; -\; 1\; y\; 1\; +\; (n\; 2)\; xn\; -\; 2\; y\; 2\; +\; \cdots \; +\; (nn\; -\; 1)\; x\; 1\; yn\; -\; 1\; +\; (nn)\; x\; 0\; yn,\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; y)\; ^\; \{n\}\; =\; \{n\; \backslash \; choose\; 0\}\; x\; ^\; \{n\}\; y\; ^\; \{0\}\; +\; \{n\; \backslash \; choose\; 1\}\; x\; ^\; \{n-1\}\; y\; ^\; \{1\; \}\; +\; \{n\; \backslash \; choose\; 2\}\; x\; ^\; \{n-2\}\; y\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{n\; \backslash \; choose\; n-1\}\; x\; ^\; \{1\}\; y\; ^\; \{n-1\}\; +\; \{n\; \backslash \; choose\; n\; \}\; x\; ^\; \{0\}\; y\; ^\; \{n\},\}$

где $n\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; 0\}$- целое число, и каждое $(nk)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{n\}\; \{k\}\}\}$- положительное целое число, известное как биномиальный коэффициент. (Когда показатель степени равен нулю, соответствующее выражение степени принимается равным 1, и этот мультипликативный коэффициент часто опускается в члене. Поэтому часто можно увидеть, что правая часть записывается как $(n\; 0)\; xn\; +\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; binom\; \{n\}\; \{0\}\}\; x\; ^\; \{n\}\; +\; \backslash \; ldots\}$.) Эта формула также называется биномиальной формулой или биномиальным тождеством . Используя обозначение суммирования, это можно записать как

$(x\; +\; y)\; n\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (n\; k)\; x\; n\; -\; k\; y\; k\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (n\; k)\; x\; k\; y\; n\; -\; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; y)\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; choose\; k\}\; x\; ^\; \{nk\}\; y\; ^\; \{k\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; choose\; k\}\; x\; ^\; \{k\}\; y\; ^\; \{nk\}.\}$

Последнее выражение следует из предыдущего по симметрии x и y в первом выражении, и при сравнении оно следует что последовательность биномиальных коэффициентов в формуле симметрична. Простой вариант биномиальной формулы получается заменой 1 на y, так что он включает только одну переменную. В этой форме формула выглядит следующим образом:

$(1\; +\; x)\; n\; =\; (n\; 0)\; x\; 0\; +\; (n\; 1)\; x\; 1\; +\; (n\; 2)\; x\; 2\; +\; \cdots \; +\; (nn\; -\; 1)\; xn\; -\; 1\; +\; (\; nn)\; xn,\; \{\backslash \; displaystyle\; (1\; +\; x)\; ^\; \{n\}\; =\; \{n\; \backslash \; choose\; 0\}\; x\; ^\; \{0\}\; +\; \{n\; \backslash \; choose\; 1\}\; x\; ^\; \{1\}\; +\; \{n\; \backslash \; choose\; 2\}\; x\; ^\; \{\; 2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{n\; \backslash \; choose\; \{n-1\}\}\; x\; ^\; \{n-1\}\; +\; \{n\; \backslash \; choose\; n\}\; x\; ^\; \{n\},\}$

или эквивалентно

$(1\; +\; x)\; n\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; xk.\; \{\backslash \; displaystyle\; (1\; +\; x)\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; choose\; k\}\; x\; ^\; \{k\}.\}$

Самые Базовым примером биномиальной теоремы является формула для квадрата числа x + y:

$(x\; +\; y)\; 2\; =\; x\; 2\; +\; 2\; xy\; +\; y\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; y)\; ^\; \{2\}\; =\; x\; ^\; \{2\}\; +\; 2xy\; +\; y\; ^\; \{2\}.\}$

Биномиальные коэффициенты 1, 2, 1, появляющиеся в этом разложении, соответствуют второй строке Паскаля треугольник. (По соглашению верхняя «1» треугольника считается строкой 0.) Коэффициенты при более высоких степенях x + y соответствуют нижним строкам треугольника:

$(x\; +\; y)\; 3\; =\; x\; 3\; +\; 3\; x\; 2\; y\; +\; 3\; xy\; 2\; +\; y\; 3,\; (x\; +\; y)\; 4\; =\; x\; 4\; +\; 4\; x\; 3\; y\; +\; 6\; x\; 2\; y\; 2\; +\; 4\; xy\; 3\; +\; y\; 4,\; (x\; +\; y)\; 5\; =\; x\; 5\; +\; 5\; x\; 4\; y\; +\; 10\; x\; 3\; y\; 2\; +\; 10\; x\; 2\; y\; 3\; +\; 5\; xy\; 4\; +\; y\; 5,\; (x\; +\; y)\; 6\; =\; x\; 6\; +\; 6\; x\; 5\; y\; +\; 15\; x\; 4\; y\; 2\; +\; 20\; x\; 3\; y\; 3\; +\; 15\; x\; 2\; y\; 4\; +\; 6\; xy\; 5\; +\; y\; 6,\; (x\; +\; y)\; 7\; =\; x\; 7\; +\; 7\; x\; 6\; y\; +\; 21\; x\; 5\; y\; 2\; +\; 35\; x\; 4\; y\; 3\; +\; 35\; x\; 3\; y\; 4\; +\; 21\; x\; 2\; у\; 5\; +\; 7\; ху\; 6\; +\; у\; 7.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; (x\; +\; y)\; ^\; \{3\}\; =\; x\; ^\; \{3\}\; +\; 3x\; ^\; \{2\}\; y\; +\; 3xy\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{3\},\; \backslash \backslash \; [8pt]\; (x\; +\; y)\; ^\; \{4\}\; =\; x\; ^\; \{4\}\; +\; 4x\; ^\; \{3\}\; y\; +\; 6x\; ^\; \{2\}\; y\; ^\; \{2\}\; +\; 4xy\; ^\; \{3\}\; +\; y\; ^\; \{4\},\; \backslash \backslash \; [\; 8pt]\; (x\; +\; y)\; ^\; \{5\}\; =\; x\; ^\; \{5\}\; +\; 5x\; ^\; \{4\}\; y\; +\; 10x\; ^\; \{3\}\; y\; ^\; \{2\}\; +\; 10x\; ^\; \{2\}\; y\; ^\; \{3\}\; +\; 5xy\; ^\; \{4\}\; +\; y\; ^\; \{5\},\; \backslash \backslash \; [8pt]\; (x\; +\; y)\; ^\; \{6\}\; =\; x\; ^\; \{6\}\; +\; 6x\; ^\; \{5\}\; y\; +\; 15x\; ^\; \{4\}\; y\; ^\; \{2\}\; +\; 20x\; ^\; \{3\}\; y\; ^\; \{3\}\; +\; 15x\; ^\; \{2\}\; y\; ^\; \{4\}\; +\; 6xy\; ^\; \{5\}\; +\; y\; ^\; \{6\},\; \backslash \backslash \; [8pt]\; (x\; +\; y)\; ^\; \{7\}\; =\; x\; ^\; \{7\}\; +\; 7x\; ^\; \{6\}\; y\; +\; 21x\; ^\; \{5\}\; y\; ^\; \{2\}\; +\; 35x\; ^\; \{4\}\; y\; ^\; \{3\}\; +\; 35x\; ^\; \{3\}\; y\; ^\; \{4\}\; +\; 21x\; ^\; \{2\; \}\; y\; ^\; \{5\}\; +\; 7xy\; ^\; \{6\}\; +\; y\; ^\; \{7\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Из этих примеров можно увидеть несколько закономерностей. В общем, для разложения (x + y):

1. степени x начинаются с n и уменьшаются на 1 в каждом члене, пока не достигнут 0 (с x = 1, часто неписаным);
2. степени y начинаются с 0 и увеличиваются на 1, пока не достигнут n;
3. n-я строка Треугольника Паскаля будет коэффициентами расширенного бинома, когда члены расположены таким образом;
4. количество членов в разложении до объединения одинаковых членов является суммой коэффициентов и равно 2; и
5. в выражении будет n + 1 членов после объединения подобных членов в расширении.

Биномиальная теорема может применяться к степеням любого бинома. Например,

$(x\; +\; 2)\; 3\; =\; x\; 3\; +\; 3\; x\; 2\; (2)\; +\; 3\; x\; (2)\; 2\; +\; 2\; 3\; =\; x\; 3\; +\; 6\; x\; 2\; +\; 12\; x\; +\; 8.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; (x\; +\; 2)\; ^\; \{3\}\; =\; x\; ^\; \{3\}\; +\; 3x\; ^\; \{2\}\; (2)\; +\; 3x\; (2)\; ^\; \{2\}\; +\; 2\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; =\; x\; ^\; \{3\}\; +\; 6x\; ^\; \{2\}\; +\; 12x\; +\; 8.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Для бинома, включающего вычитание, теорему можно применить, используя форму (x - y) = (x + (- у)). Это приводит к изменению знака всех остальных членов в разложении:

$(x\; -\; y)\; 3\; =\; (x\; +\; (-\; y))\; 3\; =\; x\; 3\; +\; 3\; x\; 2\; (-\; y)\; +\; 3\; x\; (\; -\; y)\; 2\; +\; (-\; y)\; 3\; =\; x\; 3\; -\; 3\; x\; 2\; y\; +\; 3\; xy\; 2\; -\; y\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; (ху)\; ^\; \{3\}\; =\; (х\; +\; (-\; y))\; ^\; \{3\}\; =\; x\; ^\; \{3\}\; +\; 3x\; ^\; \{2\}\; (-\; y)\; +\; 3x\; (-y)\; ^\; \{2\}\; +\; (\; -y)\; ^\; \{3\}\; =\; x\; ^\; \{3\}\; -3x\; ^\; \{2\}\; y\; +\; 3xy\; ^\; \{2\}\; -y\; ^\; \{3\}.\}$

Геометрическое объяснение

Визуализация биномиального расширения до 4-го power

Для положительных значений a и b биномиальная теорема с n = 2 является геометрически очевидным фактом, что квадрат стороны a + b можно разрезать на квадрат стороны a, квадрат стороны b и два прямоугольники со сторонами a и b. При n = 3 теорема утверждает, что куб со стороной a + b можно разрезать на куб со стороной a, куб со стороной b, три прямоугольных блока a × a × b и три прямоугольных блока a × b × b..

В исчислении этот рисунок также дает геометрическое доказательство производного $(xn)\; \prime \; =\; nxn\; -\; 1:\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{\; n\})\; \text{'}=\; nx\; ^\; \{n-1\}:\}$, если задано $a\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; x\}$и $b\; =\; \Delta \; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; \backslash \; Delta\; x,\}$интерпретируя b как бесконечно малое изменение в a, то на этом рисунке показано бесконечно малое изменение объема n-мерного гиперкуб, $(x\; +\; \Delta \; x)\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; \backslash \; Delta\; x)\; ^\; \{n\},\}$где коэффициент линейного члена (в $\Delta \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; x\}$) равно $nxn\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; nx\; ^\; \{n-1\},\}$площадь n граней каждой из размерность n - 1:

$(x\; +\; \Delta \; x)\; n\; =\; xn\; +\; nxn\; -\; 1\; \Delta \; x\; +\; (n\; 2)\; xn\; -\; 2\; (\Delta \; x)\; 2\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; \backslash \; Delta\; x)\; ^\; \{n\}\; =\; x\; ^\; \{n\}\; +\; nx\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; Delta\; x\; +\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{2\}\}\; x\; ^\; \{n-2\}\; (\backslash \; Delta\; x)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots.\}$

Подстановка этого в определение производной через коэффициент разности и принятие пределов означает, что члены более высокого порядка, $(\Delta \; x)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Delta\; x)\; ^\; \{2\}\}$и выше, становятся незначительными и дают формулу $(xn)\; \prime \; =\; nxn\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{n\})\; \text{'}=\; nx\; ^\; \{n-1\},\}$интерпретируется как

"бесконечно малая скорость изменения объема n-куба при изменении длины стороны равна площади n его (n - 1) -мерных граней ».

Если проинтегрировать эту картину, которая соответствует применению фундаментальной теоремы исчисления, то получим квадратурную формулу Кавальери, интеграл $\int \; xn\; -\; 1\; dx\; =\; 1\; nxn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; int\; x\; ^\; \{n-1\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{n\}\}\; x\; ^\; \{n\}\}\}$- подробнее см. доказательство квадратурной формулы Кавальери.

Коэффициент s, которые появляются в биномиальном разложении, называются биномиальными коэффициентами . Обычно они пишутся $(п\; к),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{n\}\; \{k\}\},\}$и произносятся как «п выберите к».

Формулы

Коэффициент при xy определяется формулой

$(n\; k)\; =\; n!\; к!\; (п\; -\; к)!,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{k!\; (nk)!\}\},\}$

, который определяется в терминах факториала функция n !. Эквивалентно эту формулу можно записать в виде

$(nk)\; =\; n\; (n\; -\; 1)\; \cdots \; (n\; -\; k\; +\; 1)\; k\; (k\; -\; 1)\; \cdots \; 1\; =\; \prod \; \ell \; =\; 1\; kn\; -\; \ell \; +\; 1\; \ell \; =\; \prod \; \ell \; Знак\; равно\; 0\; К\; -\; 1\; N\; -\; \ell \; К\; -\; \ell \; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; (n-1)\; \backslash \; cdots\; (n-k\; +\; 1)\}\; \{k\; (k-\; 1)\; \backslash \; cdots\; 1\}\}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{\backslash \; ell\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{n-\; \backslash \; ell\; +1\}\; \{\backslash \; ell\}\}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{\backslash \; ell\; =\; 0\}\; ^\; \{k\; -1\}\; \{\backslash \; frac\; \{n-\; \backslash \; ell\}\; \{k-\; \backslash \; ell\}\}\}$

с k коэффициентами в числителе и знаменателе дроби . Хотя эта формула включает дробь, биномиальный коэффициент $(nk)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{n\}\; \{k\}\}\}$на самом деле является целым числом.

Комбинаторная интерпретация

Биномиальный коэффициент $(nk)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{n\}\; \{k\}\}\}$можно интерпретировать как количество способов выбрать k элементов из n-элемента задавать. Это связано с биномами по следующей причине: если мы запишем (x + y) как произведение

$(x\; +\; y)\; (x\; +\; y)\; (x\; +\; y)\; \cdots \; (x\; +\; y),\; \{\; \backslash \; displaystyle\; (x\; +\; y)\; (x\; +\; y)\; (x\; +\; y)\; \backslash \; cdots\; (x\; +\; y),\}$

тогда, согласно закону распределения, в расширение для каждого выбора x или y из каждого из биномов произведения. Например, будет только один член x, соответствующий выбору x из каждого бинома. Однако будет несколько членов формы xy, по одному для каждого способа выбора ровно двух биномов, которые вносят вклад в y. Следовательно, после объединения одинаковых членов коэффициент xy будет равен количеству способов выбрать ровно 2 элемента из n-элементного набора.

Комбинаторное доказательство

Пример

Коэффициент при xy в

$(x\; +\; y)\; 3\; =\; (x\; +\; y)\; (x\; +\; y)\; (x\; +\; y)\; =\; xxx\; +\; xxy\; +\; xyx\; +\; xyy\; \_\; +\; yxx\; +\; yxy\; \_\; +\; yyx\; \_\; +\; yyy\; =\; x\; 3\; +\; 3\; x\; 2\; y\; +\; 3\; xy\; 2\; \_\; +\; y\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{\; выровнено\}\; (x\; +\; y)\; ^\; \{3\}\; =\; (x\; +\; y)\; (x\; +\; y)\; (x\; +\; y)\; \backslash \backslash \; =\; xxx\; +\; xxy\; +\; xyx\; +\; \{\backslash \; underline\; \{xyy\}\}\; +\; yxx\; +\; \{\backslash \; underline\; \{\; yxy\}\}\; +\; \{\backslash \; underline\; \{yyx\}\}\; +\; yyy\; \backslash \backslash \; =\; x\; ^\; \{3\}\; +\; 3x\; ^\; \{2\}\; y\; +\; \{\backslash \; underline\; \{3xy\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; y\; ^\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{выровнено\; \}\}\}$

равно $(3\; 2)\; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{3\}\; \{2\}\}\; =\; 3\}$, потому что есть три строки x, y длины 3 с ровно два y, а именно,

$xyy,\; yxy,\; yyx,\; \{\backslash \; displaystyle\; xyy,\; \backslash ;\; yxy,\; \backslash ;\; yyx,\}$

, соответствующие трем 2-элементным подмножествам {1, 2, 3}, а именно,

$\{2,\; 3\},\; \{1,\; 3\},\; \{1,\; 2\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{2,3\; \backslash \},\; \backslash ;\; \backslash \; \{1,3\; \backslash \},\; \backslash ;\; \backslash \; \{1,2\; \backslash \},\}$

где каждое подмножество определяет позиции y в соответствующей строке.

Общий случай

Расширение (x + y) дает сумму двух произведений в форме e 1e2... e n, где каждое e i - это x или y. Перестановка факторов показывает, что каждый продукт равен xy для некоторого k от 0 до n. Для данного k следующие значения последовательно оказываются равными:

• количество копий xy в раскрытии
• количество n-символьных строк x, y, имеющих y ровно в k позициях
• количество k-элементных подмножеств {1, 2,..., n}
• $(nk),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{n\}\; \{k\}\},\}$либо по определению, либо с помощью короткого комбинаторного аргумента, если $(nk)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{n\}\; \{k\}\}\}$определяется как $n!\; к!\; (п\; -\; к)!.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{n!\}\; \{k!\; (n-k)!\}\}.\}$

Это доказывает биномиальную теорему.

Индуктивное доказательство

Индукция дает еще одно доказательство биномиальной теоремы. Когда n = 0, обе стороны равны 1, поскольку x = 1 и $(0\; 0)\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{0\}\; \{0\}\}\; =\; 1.\}$Теперь предположим что равенство выполняется для данного n; мы докажем это для n + 1. Для j, k ≥ 0, пусть [f (x, y)] j, k обозначает коэффициент при xy в многочлене f (x, y). По индуктивному предположению (x + y) - это многочлен от x и y, такой что [(x + y)] j, k равно $(nk)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{n\; \}\; \{k\}\}\}$, если j + k = n, и 0 в противном случае. Идентичность

$(x\; +\; y)\; n\; +\; 1\; =\; x\; (x\; +\; y)\; n\; +\; y\; (x\; +\; y)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; y)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; =\; x\; (x\; +\; y)\; ^\; \{n\}\; +\; y\; (x\; +\; y)\; ^\; \{n\}\}$

показывает, что (x + y) также является многочленом от x и y, а

$[(x\; +\; y)\; n\; +\; 1]\; j,\; К\; знак\; равно\; [(Икс\; +\; Y)\; N]\; J\; -\; 1,\; К\; +\; [(Икс\; +\; Y)\; N]\; J,\; К\; -\; 1,\; \{\backslash \; Displaystyle\; [(х\; +\; Y)\; ^\; \{N\; +\; 1\}]\; \_\; \{J,\; k\}\; =\; [(x\; +\; y)\; ^\; \{n\}]\; \_\; \{j-1,\; k\}\; +\; [(x\; +\; y)\; ^\; \{n\}]\; \_\; \{j,\; k-1\},\}$

поскольку если j + k = n + 1, тогда (j - 1) + k = n и j + (k - 1) = n. Теперь правая часть:

$(nk)\; +\; (nk\; -\; 1)\; =\; (n\; +\; 1\; k),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; +\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k-\; 1\}\}\; =\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 1\}\; \{k\}\},\}$

по личности Паскаля. С другой стороны, если j + k ≠ n + 1, то (j - 1) + k ≠ n и j + (k - 1) ≠ n, поэтому мы получаем 0 + 0 = 0. Таким образом,

$(x\; +\; Y)\; N\; +\; 1\; знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; N\; +\; 1\; (N\; +\; 1\; К)\; xn\; +\; 1\; -\; kyk,\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; y)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\; +\; 1\}\; \{k\}\}\; x\; ^\; \{n\; +\; 1-k\}\; y\; ^\; \{k\},\}$

что является индуктивной гипотезой с n + 1, замененным на n, и поэтому завершает индуктивный шаг.

Обобщенная биномиальная теорема Ньютона

Около 1665 года Исаак Ньютон обобщил биномиальную теорему, чтобы разрешить действительные показатели, отличные от неотрицательных целых чисел. (Такое же обобщение применимо и к комплексным показателям.) В этом обобщении конечная сумма заменяется бесконечным рядом. Для этого нужно придать смысл биномиальным коэффициентам с произвольным верхним индексом, что невозможно сделать с помощью обычной формулы с факториалами. Однако для произвольного числа r можно определить

$(r\; k)\; =\; r\; (r\; -\; 1)\; \cdots \; (r\; -\; k\; +\; 1)\; k!\; =\; (г)\; к\; к!,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{r\; \backslash \; choose\; k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{r\; (r-1)\; \backslash \; cdots\; (r-k\; +\; 1)\}\; \{k!\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(r)\; \_\; \{k\}\}\; \{\; k!\}\},\}$

где $(\cdot )\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; cdot)\; \_\; \{k\}\}$- это символ Поххаммера, который здесь означает падающий факториал. Это согласуется с обычными определениями, когда r - неотрицательное целое число. Тогда, если x и y - действительные числа с | x |>| y |, а r - любое комплексное число, имеем

$(x\; +\; y)\; r\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; (rk)\; xr\; -\; kyk\; =\; xr\; +\; rxr\; -\; 1\; y\; +\; r\; (r\; -\; 1)\; 2\; !\; х\; г\; -\; 2\; у\; 2\; +\; г\; (г\; -\; 1)\; (г\; -\; 2)\; 3!\; х\; г\; -\; 3\; у\; 3\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; (x\; +\; y)\; ^\; \{r\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{r\; \backslash \; choose\; k\}\; x\; ^\; \{rk\}\; y\; ^\; \{k\}\; \backslash \; \backslash \; =\; x\; ^\; \{r\}\; +\; rx\; ^\; \{r-1\}\; y\; +\; \{\backslash \; frac\; \{r\; (r-1)\}\; \{2!\}\}\; x\; ^\; \{r-2\}\; y\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; r\; (r-1)\; (r-2)\}\; \{3!\}\}\; x\; ^\; \{r-3\}\; y\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Когда r - неотрицательное целое число, биномиальные коэффициенты при k>r равны нулю, поэтому это уравнение сводится к обычной биномиальной теореме, и имеется не более r + 1 ненулевых членов. Для других значений r в ряду обычно бесконечно много ненулевых членов.

Например, r = 1/2 дает следующий ряд для квадратного корня:

$1\; +\; x\; =\; 1\; +\; 1\; 2\; x\; -\; 1\; 8\; x\; 2\; +\; 1\; 16\; x\; 3\; -\; 5\; 128\; x\; 4\; +\; 7\; 256\; x\; 5\; -\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; x\}\}\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; x\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{16\}\}\; x\; ^\; \{3\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{128\}\}\; x\; ^\; \{4\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{256\}\}\; x\; ^\; \{5\}\; -\; \backslash \; cdots\; \}$

Взяв r = −1, обобщенный биномиальный ряд дает формулу геометрического ряда , действительную для | x | < 1:

$(1\; +\; x)\; -\; 1\; =\; 1\; 1\; +\; x\; =\; 1\; -\; x\; +\; x\; 2\; -\; x\; 3\; +\; x\; 4\; -\; x\; 5\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; (1\; +\; x)\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; x\}\}\; =\; 1-x\; +\; x\; ^\; \{2\}\; -x\; ^\; \{3\}\; +\; x\; ^\; \{4\}\; -x\; ^\; \{5\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

В общем, с r = −s:

$1\; (1\; -\; x)\; s\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; (s\; +\; k\; -\; 1\; k)\; xk.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1-x)\; ^\; \{s\}\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{s\; +\; k-1\; \backslash \; select\; k\}\; x\; ^\; \{k\}.\}$

Так, например, когда s = 1/2,

$1\; 1\; +\; x\; =\; 1\; -\; 1\; 2\; x\; +\; 3\; 8\; x\; 2\; -\; 5\; 16\; x\; 3\; +\; 35\; 128\; x\; 4\; -\; 63\; 256\; x\; 5\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; x\}\}\}\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; x\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{8\}\}\; x\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{16\}\}\; x\; ^\; \{3\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{35\}\; \{128\}\}\; x\; ^\; \{4\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{63\}\; \{256\}\}\; x\; ^\; \{5\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

Дальнейшие обобщения

Обобщенная биномиальная теорема может быть распространена на случай, когда x и y - комплексные числа. Для этой версии следует снова принять | x |>| y | и определить степени x + y и x, используя голоморфную ветвь log, заданную на открытом диске радиуса | x | с центром в x. Обобщенная биномиальная теорема верна также для элементов x и y банаховой алгебры, пока xy = yx, и x обратим, и || y / x || < 1.

Версия биномиальной теоремы действительна для следующего символа Поххаммера -подобного семейства многочленов: для данной действительной константы c определите $x\; (0)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{(0)\}\; =\; 1\}$и

$x\; (n)\; =\; \prod \; k\; =\; 1\; n\; [x\; +\; (k\; -\; 1)\; c]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{(n)\}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; [x\; +\; (k-1)\; c]\}$

для $n>0.\; \{\backslash \; displaystyle\; n>0.\}$Тогда

$(a\; +\; b)\; (n)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; a\; (n\; -\; k)\; b\; (k).\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\; +\; b)\; ^\; \{\; (n)\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; a\; ^\; \{(nk)\}\; b\; ^\; \{(k)\}.\}$

Случай c = 0 восстанавливает обычную биномиальную теорему.

В более общем смысле, последовательность $\{pn\}\; n\; =\; 0\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{p\_\; \{n\}\; \backslash \}\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \}$многочленов называется биномиальным, если

• $deg\; \; pn\; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; p\_\; \{n\}\; =\; n\}$для всех $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$,
• $p\; 0\; (0)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{0\}\; (0)\; =\; 1\}$и
• $pn\; (x\; +\; y)\; =\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; N\; (NK)\; пк\; (Икс)\; пн\; -\; К\; (Y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; р\_\; \{п\}\; (х\; +\; у)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{к\; =\; 0\}\; ^\; \{п\}\; \{\backslash \; binom\; \{п\}\; \{к\; \}\}\; p\_\; \{k\}\; (x)\; p\_\; \{nk\}\; (y)\}$для всех $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$, и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$.

оператор $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$в sp туз многочленов называется базисным оператором последовательности $\{pn\}\; n\; =\; 0\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{p\_\; \{n\}\; \backslash \}\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$, если $Q\; p\; 0\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Qp\_\; \{0\}\; =\; 0\}$и $Q\; pn\; =\; npn\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Qp\_\; \{n\}\; =\; np\_\; \{n-1\; \}\}$для всех $n\; ⩾\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geqslant\; 1\}$. Последовательность $\{pn\}\; n\; =\; 0\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{p\_\; \{n\}\; \backslash \}\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$биномиальна тогда и только тогда, когда ее базисный оператор является дельта-оператором. Запись $E\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; ^\; \{a\}\}$для сдвига с помощью оператора $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, Delta-операторов, соответствующих приведенному выше " Поххаммера "семейства многочленов представляют собой обратную разницу $I\; -\; E\; -\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; IE\; ^\; \{-\; c\}\}$для $c>0\; \{\backslash \; displaystyle\; c>0\}$, обычная производная для $c\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; 0\}$и прямой разницы $E\; -\; c\; -\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; ^\; \{-\; c\}\; -I\}$для .

Полиномиальная теорема

Биномиальная теорема может быть обобщена для включения степеней сумм с более чем двумя членами. Общая версия:

$(x\; 1\; +\; x\; 2\; +\; \cdots \; +\; xm)\; n\; =\; \sum \; К\; 1\; +\; К\; 2\; +\; \cdots \; +\; км\; =\; N\; (NK\; 1,\; К\; 2,\dots ,\; км)\; Икс\; 1\; К\; 1\; Икс\; 2\; К\; 2\; \cdots \; ХМКМ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; (x\_\; \{1\}\; +\; x\_\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; x\_\; \{m\})\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\_\; \{1\}\; +\; k\_\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; k\_\; \{m\}\; =\; n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\_\; \{1\},\; k\_\; \{2\}\; \},\; \backslash \; ldots,\; k\_\; \{m\}\; \}\}\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{k\_\; \{1\}\}\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{k\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{m\}\; ^\; \{k\_\; \{m\}\},\}$

где суммирование проводится по всем последовательностям неотрицательных целочисленных индексов с k 1 до k m таких, что сумма всех k i равна n. (Для каждого члена в разложении показатели должны в сумме равняться n). Коэффициенты $(nk\; 1,\; \cdots ,\; km)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{n\}\; \{k\_\; \{1\},\; \backslash \; cdots,\; k\_\; \{m\}\}\}\}$известны как полиномиальные коэффициенты, и может быть вычислено по формуле

$(nk\; 1,\; k\; 2,\dots ,\; km)\; =\; n!\; к\; 1!\; \cdot \; к\; 2!\; \cdots \; к\; м!.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\_\; \{1\},\; k\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; k\_\; \{m\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{k\_\; \{1\}!\; \backslash \; cdot\; k\_\; \{2\}!\; \backslash \; cdots\; k\_\; \{m\}!\}\}.\}$

Комбинаторно, полиномиальный коэффициент $(nk\; 1,\; \cdots ,\; km)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tbinom\; \{n\}\; \{k\_\; \{1\},\; \backslash \; cdots,\; k\_\; \{\; m\}\}\}\}$подсчитывает количество различных способов разбить n-элементный набор на disjoint подмножества размеров k 1,..., k m.

Многобиномиальная теорема

При работе с большим количеством измерений часто бывает полезно иметь дело с произведениями биномиальных выражений. По биномиальной теореме это равно

$(x\; 1\; +\; y\; 1)\; n\; 1\; \cdots \; (xd\; +\; yd)\; nd\; =\; \sum \; k\; 1\; =\; 0\; n\; 1\; \cdots \; \sum \; kd\; =\; 0\; nd\; (n\; 1\; k\; 1)\; x\; 1\; k\; 1\; y\; 1\; n\; 1\; -\; k\; 1\dots \; (ndkd)\; xdkdydnd\; -\; kd.\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{1\}\; +\; y\_\; \{1\})\; ^\; \{n\_\; \{1\}\}\; \backslash \; dotsm\; (x\_\; \{d\}\; +\; y\_\; \{d\})\; ^\; \{n\_\; \{d\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\_\; \{1\}\; =\; 0\}\; ^\; \{n\_\; \{1\}\}\; \backslash \; dotsm\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\_\; \{d\}\; =\; 0\}\; ^\; \{n\_\; \{d\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\_\; \{1\}\}\; \{k\_\; \{1\}\}\}\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{k\_\; \{1\}\}\; y\_\; \{1\}\; ^\; \{n\_\; \{1\}\; -k\_\; \{1\}\}\; \backslash \; dotsc\; \{\backslash \; binom\; \{n\_\; \{d\}\}\; \{k\_\; \{d\}\}\}\; x\_\; \{d\}\; ^\; \{k\_\; \{d)\; \}\}\; y\_\; \{d\}\; ^\; \{n\_\; \{d\}\; -k\_\; \{d\}\}.\}$

Это можно записать более кратко, используя многоиндексную нотацию, как

$(x\; +\; y)\; \alpha \; =\; \sum \; \nu \; \le \; \alpha \; (\alpha \; \nu )\; x\; \nu \; y\; \alpha \; -\; \nu .\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; y)\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; leq\; \backslash \; alpha\}\; \{\backslash \; binom\; \{\backslash \; alpha\}\; \{\backslash \; nu\}\}\; x\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; y\; ^\; \{\backslash \; alpha\; -\; \backslash \; nu\}.\}$

Общее правило Лейбница

Общее правило Лейбница дает n-ю производную произведения двух функций в форме, аналогичной форме биномиальной теоремы:

$(fg)\; (n)\; (Икс)\; знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; N\; (NK)\; F\; (N\; -\; K)\; (Икс)\; G\; (K)\; (Икс).\; \{\backslash \; Displaystyle\; (fg)\; ^\; \{(n)\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; f\; ^\; \{(nk)\}\; (x)\; g\; ^\; \{(k)\}\; (x).\}$

Здесь верхний индекс (n) указывает n-ю производную функции. Если установить f (x) = e и g (x) = e, а затем отменить общий множитель e с обеих сторон результата, будет восстановлена ​​обычная биномиальная теорема.

Многоугольные тождества

Для комплексных чисел биномиальная теорема может быть объединена с формулой де Муавра, чтобы получить формулы для нескольких углов для синуса и косинуса. Согласно формуле Де Муавра,

$cos\; \; (n\; x)\; +\; i\; sin\; \; (n\; x)\; =\; (cos\; \; x\; +\; i\; sin\; \; x)\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (nx\; \backslash \; right)\; +\; i\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (nx\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; x\; +\; i\; \backslash \; sin\; x\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}.\}$

Использование бинома По теореме, выражение справа можно расширить, а затем взять действительную и мнимую части, чтобы получить формулы для cos (nx) и sin (nx). Например, поскольку

$(соз\; \; x\; +\; i\; sin\; \; x)\; 2\; =\; cos\; 2\; \; x\; +\; 2\; i\; cos\; \; x\; sin\; \; x\; -\; sin\; 2\; \; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; x\; +\; i\; \backslash \; sin\; x\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; x\; +\; 2i\; \backslash \; cos\; x\; \backslash \; sin\; x-\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; x,\}$

Формула Де Муавра говорит нам, что

$cos\; \; (\; 2\; Икс)\; знак\; равно\; соз\; 2\; \; Икс\; -\; грех\; 2\; \; Икс\; и\; грех\; \; (2\; Икс)\; =\; 2\; соз\; \; Икс\; грех\; \; Икс,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; соз\; (2x)\; =\; \backslash \; соз\; ^\; \{2\}\; х-\; \backslash \; грех\; ^\; \{\; 2\}\; x\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{и\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; sin\; (2x)\; =\; 2\; \backslash \; cos\; x\; \backslash \; sin\; x,\}$

, которые являются обычными двойными углами. Аналогично, поскольку

$(cos\; \; x\; +\; i\; sin\; \; x)\; 3\; =\; cos\; 3\; \; x\; +\; 3\; i\; cos\; 2\; \; x\; sin\; \; x\; -\; 3\; cos\; \; x\; sin\; 2\; \; x\; -\; i\; sin\; 3\; \; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; x\; +\; i\; \backslash \; sin\; x\; \backslash \; right)\; ^\; \{3\}\; =\; \backslash \; cos\; ^\; \{3\}\; x\; +\; 3i\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; x\; \backslash \; sin\; x-3\; \backslash \; cos\; x\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; xi\; \backslash \; sin\; ^\; \{3\}\; x,\}$

Формула Де Муавра дает

$cos\; \; (3\; x)\; =\; cos\; 3\; \; x\; -\; 3\; cos\; \; x\; sin\; 2\; \; x\; и\; sin\; \; (3\; x)\; =\; 3\; cos\; 2\; \; x\; sin\; \; x\; -\; грех\; 3\; \; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; (3x)\; =\; \backslash \; cos\; ^\; \{3\}\; x-3\; \backslash \; cos\; x\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; x\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{и\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; sin\; (3x)\; =\; 3\; \backslash \; cos\; ^\; \{\; 2\}\; x\; \backslash \; sin\; x-\; \backslash \; sin\; ^\; \{3\}\; x.\}$

В общем,

$cos\; \; (nx)\; =\; \sum \; k\; even\; (-\; 1)\; k\; /\; 2\; (nk)\; cos\; n\; -\; k\; \; x\; грех\; К\; \; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; соз\; (пх)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{к\; \{\backslash \; текст\; \{даже\}\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{к\; /\; 2\}\; \{п\; \backslash \; выбрать\; к\}\; \backslash \; соз\; ^\; \{nk\}\; х\; \backslash \; sin\; ^\; \{k\}\; x\}$

и

$sin\; \; (nx)\; =\; \sum \; k\; odd\; (-\; 1)\; (k\; -\; 1)\; /\; 2\; (nk)\; cos\; n\; -\; k\; \; x\; sin\; k\; \; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (nx)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; \{\backslash \; text\; \{odd\}\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{(k-1)\; /\; 2\}\; \{n\; \backslash \; choose\; k\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{nk\}\; x\; \backslash \; sin\; ^\; \{k\}\; x.\}$

Ряд для e

Число e часто определяется формулой

$e\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; (1\; +\; 1\; n)\; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}.\}$

Применение биномиальной теоремы к этому выражению дает обычный бесконечный ряд для e. В частности:

$(1\; +\; 1\; n)\; n\; =\; 1\; +\; (n\; 1)\; 1\; n\; +\; (n\; 2)\; 1\; n\; 2\; +\; (n\; 3)\; 1\; n\; 3\; +\; \cdots \; +\; (n\; n)\; 1\; n\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; =\; 1\; +\; \{n\; \backslash \; choose\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; +\; \{n\; \backslash \; choose\; 2\; \}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{n\; \backslash \; choose\; 3\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; ^\; \{3\}\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{n\; \backslash \; choose\; n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{n\; ^\; \{n\}\}\}.\}$

k-й член этой суммы равен

$(nk)\; 1\; nk\; =\; 1\; k!\; \cdot \; N\; (N\; -\; 1)\; (N\; -\; 2)\; \cdots \; (N\; -\; K\; +\; 1)\; nk\; \{\backslash \; displaystyle\; \{n\; \backslash \; choose\; k\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; ^\; \{k\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{k!\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{n\; (n-1)\; (n-2)\; \backslash \; cdots\; (n-k\; +\; 1)\}\; \{n\; ^\; \{k\}\}\}\}$

При n → ∞ рациональное выражение справа стремится к 1, поэтому

$lim\; n\; \to \; \infty \; (nk)\; 1\; nk\; =\; 1\; k!.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{n\; \backslash \; choose\; k\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; ^\; \{k\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k!\}\}.\}$

Это означает, что e можно записать в виде ряда:

$e\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; 1\; k!\; =\; 1\; 0!\; +1\; 1!\; +1\; 2!\; +1\; 3!\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k!\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{0!\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; !\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2!\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3!\}\}\; +\; \backslash \; cdots.\}$

В самом деле, поскольку каждый член биномиального разложения является возрастающим функции от n, из теоремы о монотонной сходимости для ряда следует, что сумма этого бесконечного ряда равна e.

Вероятность

Биномиальная теорема тесно связана с функцией массы вероятности отрицательного биномиального распределения. Вероятность (счетного) набора независимых испытаний Бернулли $\{X\; t\}\; t\; \in \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{X\_\; \{t\}\; \backslash \}\; \_\; \{t\; \backslash \; in\; S\}\}$с вероятностью успех $p\; \in \; [0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; [0,1]\}$ничего не происходит, это

$P\; (\in \; t\; \in \; SX\; t\; C)\; =\; (1\; -\; p)\; |\; S\; |\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; |\; S\; |\; (|\; S\; |\; п)\; (-\; р)\; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigcap\; \_\; \{t\; \backslash \; in\; S\}\; X\_\; \{t\}\; ^\; \{C\}\; \backslash \; right)\; =\; (1-p)\; ^\; \{|\; S\; |\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\; |\; S\; |\}\; \{|\; S\; |\; \backslash \; choose\; n\}\; (-\; p)\; ^\; \{n\}.\}$

Полезная верхняя граница для этого количества: $e\; -\; p\; |\; S\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; p\; |\; S\; |\}.\}$

Биномиальная теорема в более общем случае верна для любых элементов x и y из полукольца, удовлетворяющих xy = yx. Теорема верна даже в более общем смысле: альтернативности достаточно вместо ассоциативности.

Биномиальную теорему можно сформулировать, сказав, что полиномиальная последовательность {1, x, x, x,...} имеет биномиальный тип.

• Биномиальная теорема упоминается в Песне генерал-майора в комической опере Пираты Пензанса.
• Профессор Мориарти описывается Шерлоком Холмсом как написавший трактат по биномиальной теореме.
• Португальский поэт Фернандо Пессоа, используя гетероним Альваро де Кампос писал, что «Бином Ньютона так же прекрасен, как Венера Милосская. На самом деле мало кто замечает это».
• В фильме 2014 года The Imitation Game, Alan Turing makes reference to Isaac Newton's work on the Binomial Theorem during his first meeting with Commander Denniston at Bletchley Park.

• Mathematics portal

• Binomial approximation
• Binomia l distribution
• Binomial inverse theorem
• Stirling's approximation

• Bag, Amulya Kumar (1966). "Binomial theorem in ancient India". Индийский J. History Sci. 1(1): 68–74.
• Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994). "(5) Binomial Coefficients". Concrete Mathematics (2nd ed.). Эддисон Уэсли. pp. 153 –256. ISBN 978-0-201-55802-9. OCLC 17649857.

The Wikibook Combinatorics has a page on the topic of: The Binomial Theorem

• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project, 2007.

This article incorporates material from inductive proof of binomial theorem on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.