Вероятное распределение
Биномиальное распределениеВероятностная функция масс |
Кумулятивная функция распределения |
Обозначение | |
---|
Параметры | - количество испытаний. - вероятность успеха для каждого испытания. |
---|
Поддержка | - успешных |
---|
PMF | |
---|
CDF | |
---|
Среднее | |
---|
Медиана | или |
---|
Режим | или |
---|
дисперсия | |
---|
асимметрия | |
---|
Пример. эксцесс | |
---|
Энтропия | . в шэннонах. Для нац використовуйте в журнале натуральный логарифм. |
---|
MGF | |
---|
CF | |
---|
PGF | |
---|
Информация Фишера | . (для фиксированное ) |
---|
Биномиальное распределение для
. с n и k, как в
треугольнике Паскаля.. Вероятность того, что мяч в
ящике Гальтона с 8 слоями (n = 8) оказывается в центральном контейнере (k = 4), это
.
В теории вероятностей и статистика, биномиальное распределение с предусмотренными для n и p - это дискретное распределение вероятностей количества успехов в исходных n независимые эксперименты, каждый из которых задает вопрос «да - нет», и у каждого свой логический -значный результат : успех / да / истина / один (с вероятностью p) или неудача /no /ложь / ноль (с вероятностью q = 1 - p). Единичный эксперимент с успехом / неудачей также называется испытанием Бернулли или экспериментом Бернулли, последовательность транзакций называется процесс Бернулли ; для одного испытания, т.е. n = 1, биномиальное распределение является распределением Бернулли. Биномиальное использование популярного биномиального теста статистической значимости.
. Биномиальное распределение часто используется для моделирования количества успехов в выборке размера n, нарисованной с заменой из совокупности размера N. Если выборка выполняется без замены, выборки не являются независимыми, поэтому результирующее распределение является гипергеометрическим распределением, а не биномиальным. Однако для N, намного большего, чем n, биномиальное распределение используется как широко используется.
Содержание
- 1 Определения
- 1.1 Вероятностная функция масс
- 1.2 Пример
- 1.3 Кумулятивная функция распределения
- 2 Свойства
- 2.1 Ожидаемое значение и дисперсия
- 2.2 Высшие моменты
- 2.3 Режим
- 2.4 Медиана
- 2.5 Границы хвоста
- 3 Статистический вывод
- 3.1 Оценка параметров
- 3.2 Доверительные интервалы
- 3.2.1 Метод Вальда
- 3.2.2 Метод Агрести - Коулла
- 3.2.3 Метод арксинуса
- 3.2.4 Метод Уилсона (оценка)
- 3.2.5 Сравнение
- 4 Связанные распределения
- 4.1 Суммы биномов
- 4.2 Соотношение двух биномиальных распределений
- 4.3 Условные биномы
- 4.4 Распределение Бернулли
- 4.5 Биномиальное распределение Пуассона
- 4.6 Нормальное приближение
- 4.7 Пуассоновское приближение
- 4.8 Предельные распределения
- 4.9 Бета-распределение
- 5 Вычислительные методы
- 5.1 Генерация биномиальных случайных величин
- 6 История
- 7 См.
- 8 Ссылки
- 9 Дополнительная литература
- 10 Внешние ссылки
Определения
Вероятностная функция массы
В общем, если случайная величина X следует биномиальному распределению с применением n ∈ ℕ и p ∈ [0,1], мы пишем X ~ B (n, p). вероятностных масс :
для k = 0, 1, 2,..., n, где
- это биномиальный коэффициент, отсчет и название распространения. Формулу можно понять следующим образом. k успехов произойдет с вероятностью p и n - k отказов произойдет с вероятностью (1 - p). Однако k успешных результатов могут иметь место в любом месте среди n испытаний, и существует различных способов распределения k успехов в последовательности из п испытаний.
При создании справочных таблиц для вероятностей биномиального распределения обычно таблица заполняется до n / 2 значений. Это связано с тем, что для k>n / 2 вероятность может быть вычислена путем его дополнения как
Рассматривая выражение f (k, n, p) как функция от k, существует значение k, которое максимизирует это. Это значение k можно найти, вычислив
и сравнивая его с 1. Всегда существует целое число M, удовлетворяющее
f (k, n, p) монотонно возрастает для k < M and monotone decreasing for k>M, за исключением случая, когда (n + 1) p является целым числом. В этом случае есть два значения, для которых является максимальным: (n + 1) p и (n + 1) p - 1. M наиболее вероятным исходом (то есть наиболее вероятным, хотя это все еще может быть маловероятным в целом.) испытаний Бернулли и называется режимом .
Пример
Предположим, смещенная монета выпадает орлом с вероятностью 0,3 при подбрасывании. Вероятность увидеть ровно 4 решки за 6 бросков составляет
Кумулятивная функция распределения
Кумулятивная функция распределения может быть выражена как:
где - это " этаж "под k, т.е. наибольшее целое число, меньшее или равное k.
Его также можно представить в терминах регуляризованной неполной бета-функции следующим образом:
который эквивалентна кумулятивной функции распределения F-распределения :
Некоторые границы в замкнутом виде для кумулятивной функции распределения представлены ниже.
Свойства
Ожидаемое значение и дисперсия
Если X ~ B (n, p), то есть X - биномиально распределенная случайная величина, n - общее количество экспериментов, а p - вероятность того, что каждый эксперимент даст успешный результат, то ожидаемое значение X составляет:
Это следует из линейности ожидаемого значения и того факта, что X - это сумма n идентичных случайных величин Бернулли, каждая из которых имеет ожидаемое значение p. Другими словами, если являются идентичными (и независимыми) случайными величинами Бернулли с параметром p, тогда и
дисперсия :
Это аналогично следует из факта, что дисперсия суммы независимых случайных величин является суммой дисперсий.
Высшие моменты
Первые 6 центральных моментов задаются как
Режим
Обычно режим биномиального распределения B (n, p) равенство , где - это функция этажа. Однако, когда (n + 1) p является целым числом и p не равно 0, ни 1, распределение имеет два режима: (n + 1) p и (n + 1) p - 1. Когда p равно 0 или 1 режим будет 0 и n соответственно. Эти случаи можно резюмировать следующим образом:
Доказательство: Пусть
Для только имеет ненулевое значение с . Для находим и для . Это доказывает, что режим равен 0 для и для .
Пусть