Вычитание

« 5 - 2 = 3» (устно «пять минус два равно трем»)

Арифметические операции v т е

Дополнение (+) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {term}} \, + \, {\ text {term}} \\\ scriptstyle {\ text {summand}} \, + \, {\ text {summand}} \\\ scriptstyle {\ text {addend}} \, + \, {\ text {addend}} \\\ scriptstyle {\ text {augend}} \, + \, {\ text {addend}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {sum}}}$ Вычитание (-) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {term}} \, - \, {\ text {term}} \\\ scriptstyle {\ text {minuend}} \, - \, {\ text {subtrahend}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {разница}}}$ Умножение (×) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {factor}} \, \ times \, {\ text {factor}} \\\ scriptstyle {\ text {multiplier}} \, \ раз \, {\ text {multiplicand}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {product}}}$ Деление (÷) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ frac {\ scriptstyle {\ text {divisor}}} {\ scriptstyle {\ text {divisor}}}} \\\ scriptstyle {\ text { }} \\\ scriptstyle {\ frac {\ scriptstyle {\ text {numerator}}} {\ scriptstyle {\ text {denominator}}}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {дробь}} \\\ scriptstyle {\ text {quotient}} \\\ scriptstyle {\ text {ratio}} \ end {matrix}}}$ Возведение в степень ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {base}} ^ {\ text {exponent}} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {power}}}$ корень n- й степени (√) ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt [{\ text {степень}}] {\ scriptstyle {\ text {radicand}}}} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {root}}}$ Логарифм (журнал) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ log _ {\ text {base}} ({\ text {антилогарифм}}) \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {логарифм}}}$

Плакат у магазина в Бордо с вычетом рекламы 20% от цены второго купленного парфюма.

Вычитание - это арифметическая операция, представляющая операцию удаления объектов из коллекции. Вычитание обозначается знаком минус, -. Так, например, в соседнем изображении, есть 5 - 2 персиков-5 означает персики с 2 отняты, в результате чего в общей сложности 3 персиков. Следовательно, разница 5 и 2 равна 3; то есть 5-2 = 3. Вычитание, в основном связанное с натуральными числами в арифметике, также может представлять собой удаление или уменьшение физических и абстрактных величин с использованием различных типов объектов, включая отрицательные числа, дроби, иррациональные числа, векторы, десятичные дроби, функции и матрицы.

Вычитание следует нескольким важным схемам. Он является антикоммутативным, что означает, что изменение порядка меняет знак ответа. Он также не ассоциативен, что означает, что при вычитании более двух чисел порядок, в котором выполняется вычитание, имеет значение. Поскольку 0 - это аддитивная идентичность, его вычитание не меняет числа. Вычитание также подчиняется предсказуемым правилам относительно связанных операций, таких как сложение и умножение. Все эти правила можно доказать, начиная с вычитания целых чисел и обобщая до действительных чисел и далее. Общие бинарные операции, следующие этим шаблонам, изучаются в абстрактной алгебре.

Вычитание натуральных чисел - одна из простейших числовых задач. Маленьким детям доступно вычитание очень маленьких чисел. В начальной школе, например, студенты учат вычитать числа в десятичной системе, начиная с однозначными цифрами и постепенно решать более сложные проблемы.

В продвинутой алгебре и компьютерной алгебре выражение, включающее вычитание, такое как A - B, обычно рассматривается как сокращенное обозначение для сложения A + (- B). Таким образом, - Б содержит два члена, а именно: A и - B. Это позволяет упростить использование ассоциативности и коммутативности.

• 1 Обозначения и терминология
• 2 Целых и действительных чисел
  • 2.1 Целые числа
  • 2.2 Натуральные числа
  • 2.3 Реальные числа
• 3 свойства
  • 3.1 Антикоммутативность
  • 3.2 Неассоциативность
  • 3.3 Предшественник
• 4 единицы измерения
  • 4.1 Проценты
• 5 В вычислениях
• 6 Обучение вычитанию в школах
  • 6.1 В Америке
  • 6.2 В Европе
  • 6.3 Сравнение двух основных методов
• 7 Вычитание вручную
  • 7.1 Австрийский метод
  • 7.2 Вычитание слева направо
  • 7.3 Американский метод
  • 7.4 Торговля в первую очередь
  • 7.5 Частичные различия
  • 7.6 Невертикальные методы
    • 7.6.1 Подсчет
    • 7.6.2 Прерывание вычитания
    • 7.6.3 То же изменение
• 8 См. Также
• 9 Примечания
• 10 Ссылки
• 11 Библиография
• 12 Внешние ссылки

Вычитание чисел 0–10. Метки линий = уменьшение. Ось X = вычитание. Ось Y = разница.

Вычитание обычно записывается со знаком минус «-» между членами; то есть в инфиксной записи. Результат обозначается знаком равенства. Например,

${\ displaystyle 2-1 = 1}$ (произносится как «два минус один равно одному»)

${\ displaystyle 4-2 = 2}$ (произносится как «четыре минус два равно два»)

${\ displaystyle 6-3 = 3}$ (произносится как «шесть минус три равно трем»)

${\ displaystyle 4-6 = -2}$ (произносится как «четыре минус шесть равняется двум минусам»)

Также существуют ситуации, когда вычитание «понимается», даже если символ не появляется:

• Столбец из двух чисел, нижнее число которого выделено красным, обычно указывает на то, что меньшее число в столбце должно быть вычтено, а разница, указанная ниже, под линией. Это наиболее распространено в бухгалтерском учете.

Формально вычитаемое число называется вычитаемым, а число, из которого оно вычитается, является уменьшаемым. Результат - разница.

Вся эта терминология происходит от латыни. « Вычитание » является английским слово происходит от латинского глагола subtrahere, который, в свою очередь, представляет собой соединение из подразделов «из - под» и trahere « чтобы вытащить». Таким образом, вычитать - значит рисовать снизу или убирать. Использование герундивного суффикса -nd приводит к «вычитаем», «вещь, которую нужно вычесть». Точно так же от minuere «уменьшать или уменьшать» получается «minuend», что означает «вещь, которая должна уменьшаться».

Целые числа

Представьте себе отрезок линии из длины Ь с левым концом меченого и правый конец меченого гр. Начиная с точки a, нужно сделать b шагов вправо, чтобы добраться до точки c. Это движение вправо математически моделируется сложением :

а + Ь = с.

От c нужно b шагов влево, чтобы вернуться к a. Это движение влево моделируется вычитанием:

с - Ь = а.

Теперь сегмент линии, помеченный числами 1, 2 и 3. Из позиции 3 не нужно делать никаких шагов влево, чтобы оставаться в позиции 3, поэтому 3-0 = 3. Чтобы попасть в позицию 1, нужно сделать 2 шага влево, поэтому 3–2 = 1. Этот рисунок неадекватен для описания того, что произойдет после перехода на 3 шага влево от позиции 3. Чтобы представить такую ​​операцию, линию необходимо удлинить.

Чтобы вычесть произвольные натуральные числа, нужно начать со строки, содержащей каждое натуральное число (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...). От 3 требуется 3 шага влево, чтобы добраться до 0, поэтому 3–3 = 0. Но 3–4 по-прежнему недействительны, так как снова выходит за пределы линии. Натуральные числа не подходят для вычитания.

Решение состоит в том, чтобы рассмотреть целочисленную строку (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,...). Таким образом, чтобы добраться до −1, нужно сделать 4 шага влево от 3:

3-4 = -1.

Натуральные числа

Вычитание натуральных чисел не закрывается : разность не является натуральным числом, если минус не больше или не равен вычитаемому. Например, 26 нельзя вычесть из 11, чтобы получить натуральное число. В таком случае используется один из двух подходов:

1. Сделайте вывод, что 26 нельзя вычесть из 11; вычитание становится частичной функцией.
2. Дайте ответ в виде целого числа, представляющего отрицательное число, поэтому результат вычитания 26 из 11 будет -15.

Действительные числа

Поле действительных чисел может быть определенно с указанием только две бинарных операций, сложения и умножения, вместе с одинарными операциями, дающих аддитивные и мультипликативные инверсиями. Затем вычитание действительного числа (вычитаемое) из другого (уменьшаемого) может быть определено как сложение уменьшаемого числа и аддитивная инверсия вычитаемого. Например, 3 - π = 3 + (- π). В качестве альтернативы, вместо того, чтобы требовать этих унарных операций, бинарные операции вычитания и деления могут быть взяты как базовые.

Антикоммутативность

Вычитание является антикоммутативным, что означает, что, если кто-то перевернет члены разности слева направо, результат будет отрицательным по сравнению с исходным результатом. Символически, если a и b - любые два числа, то

а - б = - ( б - а).

Неассоциативность

Вычитание неассоциативно, что возникает, когда кто-то пытается определить повторное вычитание. В общем, выражение

" а - б - в "

можно определить как ( a - b) - c или a - ( b - c), но эти две возможности приводят к разным ответам. Чтобы решить эту проблему, необходимо установить порядок действий, при котором разные порядки дают разные результаты.

Предшественник

В контексте целых чисел вычитание единицы также играет особую роль: для любого целого числа a целое число ( a - 1) является наибольшим целым числом меньше a, также известным как предшественник a.

При вычитании двух чисел с такими единицами измерения, как килограммы или фунты, они должны иметь одну и ту же единицу. В большинстве случаев разница будет в той же единице, что и исходные числа.

Проценты

Изменения в процентах могут быть представлены по крайней мере в двух формах, процентное изменение и процентный пункт изменения. Изменение в процентах представляет собой относительное изменение между двумя величинами в процентах, а изменение в процентных пунктах - это просто число, полученное путем вычитания двух процентов.

В качестве примера предположим, что 30% виджетов, изготовленных на заводе, неисправны. Через полгода неисправны 20% виджетов. Процентное изменение20% - 30%/30% = -1/3= -33+1/3%, а изменение в процентных пунктах составляет -10 процентных пунктов.

Метод комплементов является методом, используемым для вычитания одного числа из другого источника, используя только сложение положительных чисел. Этот метод обычно использовался в механических калькуляторах и до сих пор используется в современных компьютерах.

Двоичная цифра	Ones' дополнение
0	1
1	0

Чтобы вычесть двоичное число y (вычитаемое) из другого числа x (уменьшаемое), дополнение единиц y добавляется к x, а единица прибавляется к сумме. Затем первая цифра "1" результата отбрасывается.

Метод дополнений особенно полезен в двоичной системе счисления (основание 2), поскольку дополнение единиц очень легко получить инвертированием каждого бита (изменением «0» на «1» и наоборот). И добавление 1 для получения двух дополнений может быть выполнено путем имитации переноса в младший бит. Например:

 01100100 (x, equals decimal 100) - 00010110 (y, equals decimal 22)

становится суммой:

 01100100 (x) + 11101001 (ones' complement of y) +  1 (to get the two's complement) —————————— 101001110

Если отбросить начальную единицу, получим ответ: 01001110 (равно 78 в десятичной системе).

Методы, используемые для обучения вычитанию в начальной школе, различаются от страны к стране, и внутри страны разные методы применяются в разное время. В том, что известно в Соединенных Штатах как традиционная математика, в конце 1-го года (или в течение 2-го года) студентов обучают определенному процессу для использования с многозначными целыми числами, и он расширяется либо на четвертом, либо на четвертом курсе. пятый класс, чтобы включить десятичные представления дробных чисел.

В Америке

Почти во всех американских школах в настоящее время преподается метод вычитания с использованием заимствования или перегруппировки (алгоритм разложения) и система маркировки, называемая костылями. Хотя метод заимствования был известен и ранее публиковался в учебниках, использование костылей в американских школах распространилось после того, как Уильям А. Браунелл опубликовал исследование, в котором утверждалось, что костыли полезны для учащихся, использующих этот метод. Эта система быстро прижилась, вытеснив другие методы вычитания, использовавшиеся в то время в Америке.

В Европе

Некоторые европейские школы используют метод вычитания, называемый австрийским методом, также известный как метод сложения. В этом методе нет заимствования. Есть также костыли (маркировка для улучшения памяти), которые различаются в зависимости от страны.

Сравнение двух основных методов

Оба эти метода разделяют вычитание как процесс вычитания одной цифры по разряду. Начиная с наименее значащей цифры, вычитание вычитаемого:

s j s j −1... s 1

от минимума

м к м к −1... м 1,

где каждый s i и m i является цифрой, выполняется запись m 1 - s 1, m 2 - s 2 и так далее, пока s i не превышает m i. В противном случае m i увеличивается на 10, а другая цифра изменяется, чтобы скорректировать это увеличение. Американский метод исправляет, пытаясь уменьшить уменьшаемую цифру m i +1 на единицу (или продолжая заимствование влево до тех пор, пока не будет отличная от нуля цифра, из которой можно заимствовать). Европейский метод исправляет, увеличивая вычитаемую цифру s i +1 на единицу.

Пример: 704-512.

${\ displaystyle {\ begin {array} {rrrr} amp; \ color {Red} -1 \\ amp; C amp; D amp; U \\ amp; 7 amp; 0 amp; 4 \\ amp; 5 amp; 1 amp; 2 \\\ hline amp; 1 amp; 9 amp; 2 \\\ end {array}} {\ begin {array} {l } {\ color {Red} \ longleftarrow {\ rm {carry}}} \\\\\ longleftarrow \; {\ rm {Minuend}} \\\ longleftarrow \; {\ rm {Subtrahend}} \\\ longleftarrow { \ rm {Rest \; или \; Difference}} \\\ end {array}}}$

Уменьшаемое - 704, вычитаемое - 512. Уменьшаемые цифры: m 3 = 7, m 2 = 0 и m 1 = 4. Вычитаемые цифры: s 3 = 5, s 2 = 1 и s 1 = 2. Начиная с места, 4 не меньше 2, поэтому разница 2 записывается на место результата. В разряде десятков 0 меньше 1, поэтому 0 увеличивается на 10, а разница с 1, то есть 9, записывается в разряде десятков. Американский метод исправляет увеличение десяти, уменьшая цифру в разряде сотен уменьшаемого числа на единицу. То есть 7 вычеркивается и заменяется на 6. Затем вычитание продолжается в разряде сотен, где 6 не меньше 5, поэтому разница записывается в разряде сотен результата. Готово, результат 192.

Австрийский метод не уменьшает 7 до 6. Он увеличивает вычитаемую сотню на единицу. Рядом с этой цифрой или под ней делается небольшая отметка (в зависимости от школы). Затем вычитание продолжается, спрашивая, какое число при увеличении на 1, и 5 прибавляется к нему, дает 7. Ответ - 1, и записывается в разряде сотен результата.

Есть дополнительная тонкость в том, что в американском методе ученик всегда использует мысленную таблицу вычитания. Австрийский метод часто побуждает ученика мысленно использовать таблицу сложения в обратном порядке. В приведенном выше примере, вместо того, чтобы прибавлять 1 к 5, получать 6 и вычитать это из 7, ученика просят подумать, какое число при увеличении на 1 и добавлении 5 дает 7.

Австрийский метод

Пример:

• 

  1 +... = 3

• 

  Разница написана под чертой.

• 

  9 +... = 5 Требуемая сумма (5) слишком мала.

• 

  Итак, мы прибавляем к нему 10 и ставим 1 под следующим более высоким знаком вычитания.

• 

  9 +... = 15 Теперь мы можем найти разницу, как и раньше.

• 

  (4 + 1) +... = 7

• 

  Разница написана под чертой.

• 

  Полная разница.

Вычитание слева направо

Пример:

• 

  7 - 4 = 3 Этот результат только карандашом.

• 

  Поскольку следующая цифра уменьшаемого числа меньше, чем вычитаемое, мы вычитаем единицу из нашего числа, начерченного карандашом, и мысленно прибавляем десять к следующему.

• 

  15 - 9 = 6

• 

  Поскольку следующая цифра в уменьшаемом не меньше, чем вычитаемое, мы сохраняем это число.

• 

  3 - 1 = 2

Американский метод

В этом методе каждая цифра вычитаемого вычитается из цифры над ней, начиная справа налево. Если верхнее число слишком мало, чтобы вычесть из него нижнее число, мы добавляем к нему 10; эта 10 "заимствована" из верхней цифры слева, из которой мы вычитаем 1. Затем мы переходим к вычитанию следующей цифры и заимствованию по мере необходимости, пока не будет вычтена каждая цифра. Пример:

• 

  3-1 =...

• 

  Пишем разницу под чертой.

• 

  5 - 9 =... Minuend (5) слишком мал!

• 

  Итак, прибавляем к нему 10. 10 "заимствовано" из цифры слева, которая уменьшается на 1.

• 

  15 - 9 =... Теперь вычитание работает, и мы пишем разницу под чертой.

• 

  6-4 =...

• 

  Пишем разницу под чертой.

• 

  Полная разница.

Торговля в первую очередь

Вариант американского метода, при котором все заимствования производятся до вычитания.

Пример:

• 

  1-3 = невозможно. Мы добавляем 10 к 1. Поскольку 10 «позаимствовано» у ближайших 5, 5 понижается на 1.

• 

  4 - 9 = невозможно. Итак, действуем как в шаге 1.

• 

  Работаем справа налево: 11 - 3 = 8

• 

  14–9 = 5

• 

  6 - 4 = 2

Частичные отличия

Метод частичных разностей отличается от других методов вертикального вычитания, потому что не происходит заимствования или переноса. Вместо них ставятся знаки плюс или минус в зависимости от того, меньше или больше уменьшаемое, чем вычитаемое. Сумма частичных разностей и есть общая разница.

Пример:

• 

  Меньшее число вычитается из большего: 700 - 400 = 300 Поскольку уменьшаемое значение больше, чем вычитаемое, эта разница имеет знак плюс.

• 

  Меньшее число вычитается из большего: 90 - 50 = 40 Поскольку вычитаемое меньше, чем вычитаемое, эта разница имеет знак минус.

• 

  Меньшее число вычитается из большего: 3 - 1 = 2 Поскольку уменьшаемое значение больше, чем вычитаемое, эта разница имеет знак плюс.

• 

  +300 - 40 + 2 = 262

Невертикальные методы

Подсчет

Вместо того, чтобы находить разность цифр за цифрой, можно подсчитать числа между вычитаемым и уменьшаемым.

Пример: 1234 - 567 = можно найти, выполнив следующие действия:

• 567 + 3 = 570
• 570 + 30 = 600
• 600 + 400 = 1000
• 1000 + 234 = 1234

Сложите значение каждого шага, чтобы получить общую разницу: 3 + 30 + 400 + 234 = 667.

Прерывание вычитания

Другой метод, который полезен для ментальной арифметики, - это разделение вычитания на небольшие шаги.

Пример: 1234 - 567 = можно решить следующим образом:

• Тысяча двести тридцать-четыре - 500 = 734
• 734 - 60 = 674
• 674 - 7 = 667

То же изменение

Тот же метод изменения использует тот факт, что добавление или вычитание одного и того же числа из уменьшаемого и вычитаемого не меняет ответ. Просто добавляем сумму, необходимую для получения нулей при вычитании.

Пример:

«1234 - 567 =» можно решить следующим образом:

• 1234 - 567 = 1237 - 570 = 1267 - 600 = 667

• Декремент
• Элементарная арифметика
• Метод дополнений
• Отрицательное число
• Знаки плюс и минус

• Браунелл, Вашингтон (1939). Обучение как реорганизация: экспериментальное исследование по арифметике для третьего класса, Duke University Press.
• Вычитание в Соединенных Штатах: историческая перспектива, Сьюзан Росс, Мэри Пратт-Коттер, преподаватель математики, Vol. 8, No. 1 (оригинальная публикация) и Vol. 10, № 1 (перепечатка) PDF

• «Вычитание», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Рабочие листы для печати: рабочие листы вычитания, однозначное вычитание, двухзначное вычитание, четырехзначное вычитание и другие рабочие листы вычитания
• Игра на вычитание на пороге
• Вычитание на японских счетах, выбранных из Abacus: Mystery of the Bead