Мера подсчета

редактировать

В математике, в частности теории меры, счетная мера - это интуитивный способ поставить мера на любом наборе - "размер" подмножества принимается как количество элементов в подмножестве, если подмножество имеет конечное число элементов, и ∞, если подмножество бесконечно.

Счетная мера может быть определена на любом измеримом пространстве (т. Е. любой набор $X {\ displaystyle X}$ $X$ вместе с сигма-алгеброй), но в основном используется в countable sets.

В формальных обозначениях мы можем превратите любой набор $X {\ displaystyle X}$ $X$ в измеримое пространство, взяв набор мощности из $X {\ displaystyle X}$ $X$ как сигма-алгебра $Σ {\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ , то есть все подмножества $X {\ displaystyle X}$ $X$ измеримы. Тогда счетная мера $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ на этом измеримом пространстве $(X, Σ) {\ displaystyle (X, \ Sigma)}$ $(X, \ Sigma)$ - это положительная мера $Σ → [0, + ∞] {\ displaystyle \ Sigma \ rightarrow [0, + \ infty]}$ $\ Sigma \ rightarrow [0, + \ infty]$ определяется как

μ (A) = {| А | если A конечно + ∞, если A бесконечно {\ displaystyle \ mu (A) = {\ begin {cases} \ vert A \ vert {\ text {if}} A {\ text {конечно}} \\ + \ infty {\ text {if}} A {\ text {бесконечен}} \ end {cases}}}

\ mu (A) = {\ begin {cases} \ vert A \ vert {\ text {if}} A {\ text {конечно}} \\ + \ infty {\ text {if}} A {\ text {бесконечно}} \ end {cases}}

для всех $A ∈ Σ {\ displaystyle A \ in \ Sigma}$ $A \ in \ Sigma$ , где $| А | {\ displaystyle \ vert A \ vert}$ $\ vert A \ vert$ обозначает мощность набора $A {\ displaystyle A}$ $A$ .

счетная мера на $(X, Σ) {\ displaystyle (X, \ Sigma)}$ $(X, \ Sigma)$ равно σ-конечный тогда и только тогда, когда пробел $X {\ displaystyle X}$ $X$ равен счетный.

Обсуждение

Счетная мера - это частный случай более общей конструкции. Используя обозначения, как указано выше, любая функция $f: X → [0, ∞) {\ displaystyle f \ двоеточие X \ to [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle f \ двоеточие Икс \ к [0, \ infty)}$ определяет меру $μ { \ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ на $(X, Σ) {\ displaystyle (X, \ Sigma)}$ $(X, \ Sigma)$ через

μ (A): = ∑ a ∈ A е (а) ∀ A ⊆ Икс, {\ displaystyle \ mu (A): = \ sum _ {a \ in A} f (a) \ quad \ forall A \ substeq X,}

{\ displaystyle \ mu (A): = \ sum _ {a \ in A} f (a) \ quad \ forall A \ substeq X,}

где возможно несчетная сумма действительных чисел определяется как супремум сумм по всем конечным подмножествам, т. е.

∑ y ∈ Y ⊆ R y: = sup F ⊆ Y, | F | < ∞ { ∑ y ∈ F y }. {\displaystyle \sum _{y\,\in \,Y\!\ \subseteq \,\mathbb {R} }y\ :=\ \sup _{F\subseteq Y,\,|F|<\infty }\left\{\sum _{y\in F}y\right\}.}

{\ displaystyle \ sum _ {y \, \ in \, Y \! \ \ substeq \, \ mathbb {R}} y \: = \ \ sup _ {F \ substeq Y, \, | F | <\ infty} \ left \ {\ sum _ {y \ in F} y \ right \}.}

Принятие f (x) = 1 для всех x в X дает счетную меру.

Мера подсчета

Обсуждение

Ссылки