Арифметическая прогрессия

Последовательность чисел с постоянной разницей между последовательными числами Визуальное доказательство вывода формул арифметической прогрессии - выцветшие блоки представляют собой повернутую копию арифметической прогрессии

В математике знак арифметическая прогрессия (AP) или арифметическая последовательность - это последовательность из чисел, такая, что разница между последовательными членами является постоянной. Например, последовательность 5, 7, 9, 11, 13, 15,... представляет собой арифметическую прогрессию с общей разницей в 2.

Если начальный член арифметической прогрессии равен $a\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\}$и общая разница последовательные члены - d, то n-й член последовательности ($an\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\}$) определяется как:

$an\; =\; a\; 1\; +\; (n\; -\; 1)\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; a\_\; \{n\}\; =\; a\_\; \{1\}\; +\; (n-1)\; d\}$,

и в целом

$an\; =\; am\; +\; (n\; -\; m)\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; a\_\; \{n\}\; =\; a\_\; \{m\}\; +\; (nm)\; d\}$.

Конечная часть арифметической прогрессии называется конечной арифметической прогрессией, а иногда просто арифметической прогрессией. сумма конечной арифметической прогрессии называется арифметическим рядом .

Содержание

• 1 сумма
  • 1.1 Выведение
• 2 Продукт
  • 2.1 Выведение
  • 2.2 Примеры
• 3 Стандартное отклонение
• 4 Пересечения
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Сумма

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40
16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

Вычисление сумма 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Когда последовательность переворачивается и добавляется к себе почленно, в результирующей последовательности содержится одно повторяющееся значение, равное сумме первого и последнего чисел (2 + 14 = 16). Таким образом, 16 × 5 = 80 - это удвоенная сумма.

сумма членов конечной арифметической прогрессии называется арифметической серией . Например, рассмотрим сумму:

$2\; +\; 5\; +\; 8\; +\; 11\; +\; 14\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; +\; 5\; +\; 8\; +\; 11\; +\; 14\}$

Эту сумму можно быстро найти, взяв число n добавляемых членов. (здесь 5), умножение на сумму первого и последнего числа в последовательности (здесь 2 + 14 = 16) и деление на 2:

$n\; (a\; 1\; +\; an)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; n\; (a\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{n\})\}\; \{2\}\}\}$

В приведенном выше случае это дает уравнение:

$2\; +\; 5\; +\; 8\; +\; 11\; +\; 14\; =\; 5\; (2\; +\; 14)\; 2\; =\; 5\; \times \; 16\; 2\; =\; 40.\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; +\; 5\; +\; 8\; +\; 11\; +\; 14\; =\; \{\backslash \; frac\; \{5\; (2\; +\; 14)\}\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{5\; \backslash \; times\; 16\}\; \{2\}\; \}\; =\; 40.\}$

Эта формула работает для любых действительных чисел $a\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\}$и $an\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\}$. Например:

$(-\; 3\; 2)\; +\; (-\; 1\; 2)\; +\; 1\; 2\; =\; 3\; (-\; 3\; 2\; +\; 1\; 2)\; 2\; =\; -\; 3\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{2\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}.\}$

Вывод

Анимированное доказательство формулы, дающей сумму первых целых чисел 1 + 2 +... + n.

Чтобы вывести приведенную выше формулу, начните с выражения арифметического ряда двумя разными способами :

$S\; n\; =\; a\; 1\; +\; (a\; 1\; +\; d)\; +\; (a\; 1\; +\; 2\; d)\; +\; \cdots \; +\; (a\; 1\; +\; (n\; -\; 2)\; d)\; +\; (a\; 1\; +\; (n\; -\; 1)\; d)\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\_\; \{n\}\; =\; a\_\; \{1\}\; +\; (a\_\; \{1\}\; +\; d)\; +\; (a\_\; \{1\}\; +\; 2d)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; (a\_\; \{1\}\; +\; (n-2)\; d)\; +\; (a\_\; \{1\}\; +\; (n-1)\; d)\}$

$S\; n\; =\; (an\; -\; (n\; -\; 1)\; d)\; +\; (an\; -\; (n\; -\; 2)\; d)\; +\; \cdots \; +\; (an\; -\; 2\; d)\; +\; (\; ан\; -\; г)\; +\; ан.\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\_\; \{n\}\; =\; (a\_\; \{n\}\; -\; (n-1)\; d)\; +\; (a\_\; \{n\}\; -\; (n-2)\; d)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; (a\_\; \{n\}\; -2d)\; +\; (a\_\; \{n\}\; -d)\; +\; a\_\; \{n\}.\}$

Сложив обе части двух уравнений, все члены, содержащие d, сокращаются:

$2\; S\; n\; =\; n\; (a\; 1\; +\; an).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; 2S\_\; \{n\}\; =\; n\; (a\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{n\}).\}$

Разделив обе части на 2, получаем уравнение общей формы:

$S\; n\; =\; n\; 2\; (a\; 1\; +\; ан).\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\; (a\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{n\}).\}$

Альтернативная форма получается в результате повторной вставки замены: $an\; =\; a\; 1\; +\; (n\; -\; 1)\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; a\_\; \{1\}\; +\; (n-1)\; d\}$:

$S\; n\; =\; n\; 2\; [2\; a\; 1\; +\; (n\; -\; 1)\; d].\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\; [2a\_\; \{1\}\; +\; (n-1)\; d].\}$

Кроме того, среднее значение ряда можно вычислить с помощью: $S\; n\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{n\}\; /\; n\}$:

$a\; ¯\; =\; a\; 1\; +\; an\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{a\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{n\}\}\; \{2\}\}.\}$

Формула очень похожа на среднее значение дискретного равномерного распределения.

В 499 году нашей эры Арьябхата, выдающийся математик - астроном из классической эпохи индийской математики и индийской астрономии. дал этот метод в Арьябхатия (раздел 2.19).

Согласно анекдоту с сомнительной достоверностью, молодой Карл Фридрих Гаусс в начальной школе заново изобрел этот метод для вычисления суммы целых чисел от 1 до 100.

Продукт

произведение членов конечной арифметической прогрессии с начальным элементом a 1, общими разностями d и всего n элементами определяется в закрытом выражении

$a\; 1\; a\; 2\; a\; 3\; \cdots \; an\; =\; a\; 1\; (a\; 1\; +\; d)\; (a\; 1\; +\; 2\; d)...\; (a\; 1\; +\; (N\; -\; 1)\; d)\; знак\; равно\; \prod \; К\; знак\; равно\; 0\; N\; -\; 1\; (a\; 1\; +\; kd)\; =\; dn\; \Gamma \; (a\; 1\; d\; +\; n)\; \Gamma \; (a\; 1\; d)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; a\_\; \{\; 2\}\; a\_\; \{3\}\; \backslash \; cdots\; a\_\; \{n\}\; =\; a\_\; \{1\}\; (a\_\; \{1\}\; +\; d)\; (a\_\; \{1\}\; +\; 2d)...\; (a\_\; \{1\}\; +\; (n-1)\; d)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; (a\_\; \{1\}\; +\; kd)\; =\; d\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\}\}\; \{d\}\}\; +\; n\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\}\}\; \{d\}\}\; \backslash \; right)\}\}\}$

где $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$обозначает гамма-функцию. Формула недействительна, если $a\; 1\; /\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; /\; d\}$отрицательно или равно нулю.

Это обобщение того факта, что произведение прогрессии $1\; \times \; 2\; \times \; \cdots \; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; times\; 2\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; n\}$дается коэффициентом $n!\; \{\backslash \; displaystyle\; n!\}$ и что произведение

$m\; \times \; (m\; +\; 1)\; \times \; (m\; +\; 2)\; \times \; \cdots \; \times \; (n\; -\; 2)\; \times \; (n\; -\; 1)\; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; times\; (m\; +\; 1)\; \backslash \; times\; (\; m\; +\; 2)\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; (n-2)\; \backslash \; times\; (n-1)\; \backslash \; times\; n\}$

для целых положительных чисел $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$задается как

$n!\; (м\; -\; 1)!.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{(m-1)!\}\}.\}$

Вывод

$a\; 1\; a\; 2\; a\; 3\; \cdots \; an\; =\; \prod \; k\; =\; 0\; n\; -\; 1\; (a\; 1\; +\; kd)\; =\; \prod \; k\; =\; 0\; n\; -\; 1\; d\; (a\; 1\; d\; +\; k)\; =\; d\; (a\; 1\; d)\; d\; (a\; 1\; d\; +\; 1)\; d\; (a\; 1\; d\; +\; 2)\; \cdots \; d\; (a\; 1\; d\; +\; (n\; -\; 1))\; знак\; равно\; dn\; \prod \; К\; знак\; равно\; 0\; N\; -\; 1\; (a\; 1\; d\; +\; k)\; =\; dn\; (a\; 1\; d)\; n\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; a\_\; \{1\}\; a\_\; \{2\}\; a\_\; \{3\}\; \backslash \; cdots\; a\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; (a\_\; \{1\}\; +\; kd)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; d\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\}\}\; \{d\}\}\; +\; k\; \backslash \; right)\; =\; d\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\}\}\; \{d\}\}\; \backslash \; right)\; d\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\; \}\}\; \{d\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\; d\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\}\}\; \{d\}\}\; +\; 2\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdots\; d\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\}\}\; \{d\; \}\}\; +\; (n-1)\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; d\; ^\; \{n\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\}\}\; \{d\}\}\; +\; k\; \backslash \; right)\; =\; d\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\}\}\; \{d\}\}\; \backslash \; right)\}\; ^\; \{\backslash \; overline\; \{n\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где $xn\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{\backslash \; overline\; \{n\}\}\}$обозначает возрастающий факториал.

По рекуррентной формуле $\Gamma \; (z\; +\; 1)\; =\; z\; \Gamma \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z\; +\; 1)\; =\; z\; \backslash \; Gamma\; (z)\}$, действительно для комплексного числа $z>0\; \{\backslash \; displaystyle\; z>0\}$,

$\Gamma \; (z\; +\; 2)\; =\; (z\; +\; 1)\; \Gamma \; (z\; +\; 1)\; знак\; равно\; (z\; +\; 1)\; z\; \Gamma \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z\; +\; 2)\; =\; (z\; +\; 1)\; \backslash \; Gamma\; (z\; +\; 1)\; =\; (z\; +\; 1)\; z\; \backslash \; Gamma\; (z)\}$,

$\Gamma \; (z\; +\; 3)\; знак\; равно\; (z\; +\; 2)\; \Gamma \; (z\; +\; 2)\; =\; (z\; +\; 2)\; (z\; +\; 1)\; z\; \Gamma \; (z)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z\; +\; 3)\; =\; (z\; +\; 2)\; \backslash \; Gamma\; (z\; +\; 2)\; =\; (z\; +\; 2)\; (z\; +\; 1)\; z\; \backslash \; Gamma\; (z)\}$,

, так что

$\Gamma \; (z\; +\; m)\; \Gamma \; (z)\; =\; \prod \; k\; =\; 0\; m\; -\; 1\; (Z\; +\; К)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; Gamma\; (z\; +\; m)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (z)\}\}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{m-1\}\; (z\; +\; k)\}$

вместо $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$положительное целое число и $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$положительное комплексное число.

Таким образом, если $a\; 1\; /\; d>0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; /\; d>0\}$,

$\prod \; k\; =\; 0\; n\; -\; 1\; (a\; 1\; d\; +\; k)\; =\; \Gamma \; (\; a\; 1\; d\; +\; n)\; \Gamma \; (a\; 1\; d)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\}\}\; \{d\}\}\; +\; k\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\}\}\; \{d\}\}\; +\; n\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\}\}\; \{d\}\}\; \backslash \; right)\}\}\}$,

и, наконец,

$a\; 1\; a\; 2\; a\; 3\; \cdots \; an\; =\; dn\; \prod \; k\; =\; 0\; n\; -\; 1\; (a\; 1\; d\; +\; k)\; =\; dn\; \Gamma \; (a\; 1\; d\; +\; n)\; \Gamma \; (\; a\; 1\; d)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; a\_\; \{2\}\; a\_\; \{3\}\; \backslash \; cdots\; a\_\; \{n\}\; =\; d\; ^\; \{n\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\}\}\; \{d\}\}\; +\; k\; \backslash \; right)\; =\; d\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\}\}\; \{d\}\}\; +\; n\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\}\}\; \{d\}\}\; \backslash \; right)\}\}\}$

Примеры

пример 1 На примере $3,\; 8,\; 13,\; 18,\; 23,\; 28,\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; 3,8,13,18,23,28,\; \backslash \; cdots\}$, произведение членов арифметической прогрессии по формуле $an\; =\; 3\; +\; 5\; (п\; -\; 1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; а\_\; \{п\}\; =\; 3\; +\; 5\; (n-1)\}$до 50-го члена составляет

$P\; 50\; =\; 5\; 50\; \cdot \; \Gamma \; (3/5\; +\; 50)\; \Gamma \; (3/5)\; \approx \; 3,78438\; \times \; 10\; 98.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{50\}\; =\; 5\; ^\; \{50\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (3/5\; +\; 50\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (3/5\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \; около\; 3,78438\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{98\}.\}$

пример 2 Произведение первых 10 нечетных чисел $(1,\; 3,\; 5,\; 7,\; 9,\; 11,\; 13,\; 15,\; 17,\; 19)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)\}$определяется выражением

$1.3.5\; \cdots \; 19\; =\; \prod \; k\; =\; 0\; 9\; (1\; +\; 2\; к)\; знак\; равно\; 2\; 10\; \cdot \; \Gamma \; (1\; 2\; +\; 10)\; \Gamma \; (1\; 2)\; =\; 654729075\; \{\backslash \; displaystyle\; 1.3.5\; \backslash \; cdots\; 19\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{9\}\; (1\; +\; 2k)\; =\; 2\; ^\; \{10\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; 10\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \}\}\; =\; 654729075\}$

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение любой арифметической прогрессии можно рассчитать как

$\sigma \; =\; |\; d\; |\; (n\; -\; 1)\; (n\; +\; 1)\; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; =\; |\; d\; |\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{(n-1)\; (n\; +\; 1)\}\; \{12\}\}\}\}$

где $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$- количество терминов в прогрессии, а $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$- общее различие между терминами. Формула очень похожа на стандартное отклонение дискретного равномерного распределения.

пересечения

пересечение любых двух вдвойне бесконечных арифметических прогрессий либо пусто, либо другая арифметическая прогрессия, которое можно найти с помощью китайской теоремы об остатках. Если каждая пара прогрессий в семействе дважды бесконечных арифметических прогрессий имеет непустое пересечение, то существует общее для всех них число; то есть бесконечные арифметические прогрессии образуют семейство Хелли. Однако пересечение бесконечного множества бесконечных арифметических прогрессий может быть одним числом, а не бесконечной прогрессией.

См. Также

• Геометрическая прогрессия
• Гармоническая прогрессия
• Арифметико-геометрическая последовательность
• Неравенство средних арифметических и геометрических
• Простые числа в арифметической прогрессии
• Линейное разностное уравнение
• Обобщенная арифметическая прогрессия, набор целых чисел, построенный как арифметическая прогрессия, но допускающий несколько возможных различий
• треугольники Герона со сторонами в арифметической прогрессии
• Задачи, связанные с арифметической прогрессией
• Утональность

Ссылки

1. ^Хейс, Брайан (2006). "День расплаты Гаусса". Американский ученый. 94(3): 200. doi : 10.1511 / 2006.59.200. Архивировано из оригинала 12 января 2012 г. Получено 16 октября 2020 г.
2. ^Duchet, Pierre (1995), «Hypergraphs», в Graham, R.L.; Grötschel, M. ; Ловас, Л. (ред.), Справочник по комбинаторике, Vol. 1, 2, Амстердам: Elsevier, стр. 381–432, MR 1373663. См., В частности, Раздел 2.5 «Собственность Хелли», стр. 393–394.

• Сиглер, Лоуренс Э. (пер.) (2002). Liber Abaci Фибоначчи. Springer-Verlag. Стр. 259 –260. ISBN 0-387-95419-8.

Внешние ссылки

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Эрик У. «Арифметическая прогрессия». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик У. «Арифметический ряд». MathWorld.