В комбинаторике семейство Хелли порядка k представляет собой семейство множеств, таких как что любое минимальное подсемейство с пустым пересечением содержит k или меньше множеств. Эквивалентно, каждое конечное подсемейство такое, что каждое -кратное пересечение непусто, имеет непустое полное пересечение. Свойство k- Helly является свойством принадлежности к семейству Helly порядка k.
Число k часто опускается в этих именах в случае, когда k = 2. Таким образом, набор -семейство имеет свойство Helly, если для каждого n задается в семья, если , затем .
Эти концепции названы в честь Эдуард Хелли (1884-1943); Теорема Хелли о выпуклых множествах, которая дала начало этому понятию, утверждает, что выпуклые множества в евклидовом пространстве размерности n являются семейством Хелли порядка n + 1..
Более формально, семейство Хелли порядка k - это система множеств (V, E), с E набор подмножеств из V, таких, что для любого конечного G ⊆ E с
мы можем найти H ⊆ G такое, что
и
В некоторых случаях одно и то же определение выполняется для каждой подколлекции G, независимо от конечности. Однако это более ограничительное условие. Например, открытые интервалы вещественной прямой удовлетворяют свойству Хелли для конечных подколлекций, но не для бесконечных подколлекций: интервалы (0,1 / i) (для i = 0, 1, 2,...) имеют попарно непустые пересечения, но имеют пустое общее пересечение.
Если семейство наборов является семейством Хелли порядка k, то считается, что это семейство имеет число Хелли k. Размерность Хелли метрического пространства на единицу меньше числа Хелли семейства метрических шаров в этом пространстве; Теорема Хелли подразумевает, что размерность Хелли евклидова пространства равна его размерности как реального векторного пространства.
Размерность Хелли подмножества S евклидова пространства, такого как многогранник, является одним меньше числа Хелли семейства переводит числа S. Например, размерность Хелли любого гиперкуба равна 1, даже если такая форма может принадлежать евклидову пространству высшее измерение.
Измерение Хелли также применялось к другим математическим объектам. Например, Domokos (2007) определяет размерность Хелли группы (алгебраическая структура, образованная обратимой и ассоциативной бинарной операцией) как на единицу меньше, чем число Хелли семейства левые смежные классы группы.
Если семейство непустых множеств имеет пустое пересечение, его номер Helly должен быть не менее двух, поэтому наименьшее k, для которого свойство k-Helly нетривиально, равно k = 2. Свойство 2-Helly также известно как свойство Helly . Семейство 2-Хелли также известно как семейство Хелли .
A выпуклое метрическое пространство, в котором замкнутые шары обладают свойством 2-Хелли (то есть, пространство с размерностью Хелли 1, в более сильном варианте размерности Хелли для бесконечных подколлекций) называется инъективным или гипервыпуклым. Существование плотного промежутка позволяет изометрически встраивать любое метрическое пространство в пространство с размерностью Хелли 1.
A гиперграфе эквивалентно набор-семья. В терминах гиперграфов гиперграф H = (V, E) обладает свойством Хелли, если для каждого n гиперребер в E, если , затем . Для каждого гиперграфа H следующие условия эквивалентны: