Дискретное равномерное распределение

редактировать

Дискретное равномерное
Вероятностная функция масс . n = 5, где n = b - a + 1
Кумулятивная функция распределения .
Обозначение	$U {a, b} {\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ {a, b \}}$ ${\ mathcal {U}} \ {a, b \}$ или $unif {a, b} {\ displaystyle \ mathrm {unif} \ {a, b \}}$ ${\ mathrm {unif}} \ {a, b \}$
Параметры	$a, b {\ displaystyle a, b}$ $a, b$ целые числа с $b ≥ a {\ displaystyle b \ geq a}$ ${\ displaystyle b \ geq a}$ . $n = b - a + 1 {\ displaystyle n = b-a + 1}$ ${\ displaystyle n = b-a + 1}$
Поддержка	$k ∈ {a, a + 1,…, b - 1, b} {\ displaystyle k \ in \ {a, a + 1, \ dots, b-1, b \}}$ ${\ displaystyle k \ in \ {a, a + 1, \ dots, b-1, b \}}$
PMF	$1 n {\ displaystyle {\ frac {1} {n}}}$ ${\ frac {1} {n}}$
CDF	$⌊ k ⌋ - a + 1 n {\ displaystyle {\ frac {\ lfloor k \ rfloor -a + 1} { n}}}$ ${\ frac {\ lfloor k \ rfloor -a +1} {n}}$
Среднее	$a + b 2 {\ displaystyle {\ frac {a + b} {2}}}$ ${\ frac {a + b} {2}}$
Median	$a + b 2 {\ displaystyle {\ frac {a + b} {2}}}$ ${\ frac {a + b} {2}}$
Режим	N / A
Дисперсия	$(b - a + 1) 2 - 1 12 {\ displaystyle {\ frac {(b-a + 1) ^ {2} -1} {12}}}$ ${\ frac {(b-a + 1) ^ {2} -1} {12}}$
Асимметрия	$0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$
Пример. эксцесс	$- 6 (n 2 + 1) 5 (n 2 - 1) {\ displaystyle - {\ frac {6 (n ^ {2} +1)} {5 (n ^ {2} -1)} }}$ ${\ displaystyle - {\ frac {6 (n ^ {2} +1)} {5 (n ^ {2} -1)}}}$
Энтропия	$ln ⁡ (n) {\ displaystyle \ ln (n)}$ ${\ displaystyle \ ln (n)}$
MGF	$eat - e (b + 1) tn (1 - et) {\ displaystyle {\ frac {e ^ {at} -e ^ {(b + 1) t}} {n (1-e ^ {t})}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {e ^ {at} -e ^ {(b + 1) t}} {n (1-e ^ {t})} }}$
CF	$eiat - ei (b + 1) tn (1 - eit) { \ displaystyle {\ frac {e ^ {iat} -e ^ {i (b + 1) t}} {n (1-e ^ {it})}}}$ ${\ frac {e ^ {{iat}} - e ^ {{i (b + 1) t}}} {n (1-e ^ {{it}})}}$
PGF	$za - zb + 1 n (1 - z) {\ displaystyle {\ frac {z ^ {a} -z ^ {b + 1}} {n (1-z)}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {z ^ {a} -z ^ {b + 1}} {n (1-z)}}}$

В теории вероятностей и статистика, дискретное равномерное распределение - это симметричное распределение вероятностей, в котором с равной вероятностью будет наблюдаться конечное число значений; каждое из n значений имеет равную вероятность 1 / n. Другой способ сказать «дискретное равномерное распределение» - это «известное конечное число результатов, которые с равной вероятностью произойдут».

Простой пример дискретного равномерного распределения - это бросок честной кости. Возможные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, и каждый раз, когда бросается игральный кубик, вероятность получения данного результата равна 1/6. Если бросить две кости и сложить их значения, результирующее распределение больше не будет однородным, потому что не все суммы имеют равную вероятность. Хотя удобно описывать дискретные равномерные распределения по целым числам, таким как это, можно также рассматривать дискретные равномерные распределения по любому конечному множеству. Например, случайная перестановка - это перестановка, равномерно сгенерированная из перестановок заданной длины, а однородное остовное дерево - это остовное дерево генерируется равномерно из остовных деревьев данного графа.

Само по себе дискретное равномерное распределение по своей сути непараметрическое. Однако удобно представить его значения в целом всеми целыми числами в интервале [a, b], так что a и b становятся основными параметрами распределения (часто просто рассматривают интервал [1, n] с одним параметр n). Согласно этим соглашениям, кумулятивная функция распределения (CDF) дискретного равномерного распределения может быть выражена для любого k ∈ [a, b] как

F (k; a, b) = ⌊ к ⌋ - a + 1 b - a + 1 {\ displaystyle F (k; a, b) = {\ frac {\ lfloor k \ rfloor -a + 1} {b-a + 1}}}

F (k; a, b) = {\ frac {\ lfloor k \ rfloor -a + 1} {b-a + 1}}

Содержание

1 Оценка максимума
2 Случайная перестановка
3 Свойства
4 См. Также
5 Ссылки

Оценка максимума

В этом примере говорится, что образец k наблюдений получается из равномерного распределения целых чисел $1, 2,…, N {\ displaystyle 1,2, \ dotsc, N}$ $1,2, \ dotsc, N$ , при этом проблема заключается в оценке неизвестного максимума N. Эта проблема широко известна как проблема немецких танков после применения максимальной оценки к оценкам производства немецких танков во время Второй мировой войны.

единообразно минимальная несмещенная дисперсия (UMVU) оценка максимума определяется как

N ^ = k + 1 км - 1 = m + mk - 1 {\ displaystyle {\ hat {N}} = {\ frac {k + 1} {k}} m-1 = m + {\ frac {m} {k}} - 1}

{\ hat {N}} = {\ frac {k + 1} {k}} m-1 = m + {\ frac {m} {k}} - 1

, где m - это максимум выборки, а k - это объем выборки, выборка без замены. Это можно рассматривать как очень простой случай оценки максимального интервала.

Это имеет дисперсию

1 k (N - k) (N + 1) (k + 2) ≈ N 2 k 2 для небольшие образцы к ≪ N {\ Displaystyle {\ frac {1} {k}} {\ frac {(Nk) (N + 1)} {(k + 2)}} \ приблизительно {\ frac {N ^ {2} } {k ^ {2}}} {\ text {для небольших образцов}} k \ ll N}

{\ frac {1} {k}} {\ frac {(Nk) (N + 1)} {(k + 2)}} \ приблизительно {\ frac {N ^ {2}} {k ^ {2}}} {\ text {для малых образцов}} k \ ll N

, поэтому стандартное отклонение составляет примерно $N k {\ displaystyle {\ tfrac {N} {k}} }$ $\ tfrac N К$ , средний размер разрыва между выборками (генеральной совокупности); сравните $m k {\ displaystyle {\ tfrac {m} {k}}}$ $\ tfrac {m} {k}$ выше.

Максимум выборки - это оценка максимального правдоподобия для максимума генеральной совокупности, но, как обсуждалось выше, она смещена.

Если образцы не пронумерованы, но распознаются или маркируются, вместо этого можно оценить размер популяции с помощью метода захват-повторный захват.

Случайная перестановка

См. rencontres numbers для учета распределения вероятностей числа фиксированных точек равномерно распределенной случайной перестановки.

Свойства

Семейство равномерных распределений по диапазонам целых чисел (с одной или обеими неизвестными границами) имеет конечномерную достаточную статистику, а именно тройку из максимума выборки, минимума выборки и размера выборки, но не является экспоненциальным семейством распределений, потому что поддержка зависит от параметров. Для семей, поддержка которых не зависит от параметров, теорема Питмана – Купмана – Дармуа утверждает, что только экспоненциальные семейства имеют достаточную статистику, размерность которой ограничивается по мере увеличения размера выборки. Таким образом, равномерное распределение является простым примером, показывающим предел этой теоремы.

См. Также

Ссылки