Трансцендентная функция

редактировать

Аналитическая функция, которая не удовлетворяет полиномиальному уравнению

В математике a трансцендентная функция - это аналитическая функция, которая не удовлетворяет полиномиальному уравнению, в отличие от алгебраической функции. Другими словами, трансцендентная функция «превосходит» алгебру в том смысле, что она не может быть выражена в терминах конечной последовательности алгебраических операций сложения, вычитания, умножение, деление, возведение в степень и корень извлечение.

Примеры трансцендентных функций включают экспоненциальную функцию, логарифм и тригонометрические функции.

Содержание

1 Определение
2 История
3 Примеры
4 Алгебраические и трансцендентные функции
5 Трансцендентально трансцендентные функции
6 Исключительный набор
7 Размерный анализ
8 См. Также
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

Определение

Формально, аналитическая функция ƒ (z) одной действительной или комплексной переменной z является трансцендентным, если он алгебраически независим от этой переменной. Это можно распространить на функции нескольких переменных.

История

Трансцендентные функции синус и косинус были табулированы на основе физических измерений в древности, как свидетельствуют данные Греции ( Гиппарх ) и Индия (джья и коти-джья ). Описывая таблицу аккордов Птолемея, эквивалентную таблице синусов, Олаф Педерсен писал:

Математическое понятие непрерывности как явное понятие неизвестно Птолемею. То, что он фактически рассматривает эти функции как непрерывные, следует из его невысказанного предположения, что можно определить значение зависимой переменной, соответствующее любому значению независимой переменной, с помощью простого процесса линейной интерполяции.

A Революционное понимание этих круговых функций произошло в 17 веке и было объяснено Леонардом Эйлером в 1748 году в его Введение в анализ бесконечного. Эти древние трансцендентные функции стали известны как непрерывные функции от до квадратур прямоугольной гиперболы xy = 1 Грегуар де Сен-Винсент в 1647 году., через два тысячелетия после того, как Архимед создал Квадратура параболы.

Было показано, что область под гиперболой имеет свойство масштабирования постоянной площади для постоянного отношения границ. Функция гиперболического логарифма, описанная таким образом, использовалась ограниченно до 1748 года, когда Леонард Эйлер связал ее с функциями, в которых константа возводится в степень переменной степени, например, экспоненциальной функцией, где константа base равна e. Введя эти трансцендентные функции и отметив свойство биекции, которое подразумевает обратную функцию , была предоставлена возможность алгебраических манипуляций с натуральным логарифмом, даже если это не алгебраическая функция.

Показательная функция записывается как $exp ⁡ (x) = e x. {\ displaystyle \ exp (x) = e ^ {x}.}$ ${\ displaystyle \ exp (x) = e ^ {x}.}$ Эйлер отождествил его с бесконечным рядом $∑ k = 0 ∞ x k / k!, {\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} x ^ {k} / k !,}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} x ^ {k} / k!,}$ где k! обозначает факториал числа k.

Четные и нечетные члены этого ряда дают суммы, обозначающие cosh x и sinh x, так что $e x = ch ⁡ x + sinh ⁡ x. {\ displaystyle e ^ {x} = \ cosh x + \ sinh x.}$ ${\ displaystyle e ^ {x} = \ cosh x + \ sinh x.}$ Эти трансцендентные гиперболические функции можно преобразовать в круговые функции синуса и косинуса, введя (-1) в серия, в результате чего получается чередующаяся серия. После Эйлера математики рассматривают синус и косинус таким образом, чтобы связать трансцендентность с функциями логарифма и экспоненты, часто через формулу Эйлера в арифметике комплексных чисел.

Примеры

Следующие функции являются трансцендентными:

f 1 (x) = x π {\ displaystyle f_ {1} (x) = x ^ {\ pi} \}

f_1 (x) = x ^ \ pi \

е 2 (х) = cx {\ displaystyle f_ {2} (x) = c ^ {x}}

{\ displaystyle f_ {2} (x) = c ^ {x}}

f 3 (x) = xx {\ displaystyle f_ {3} (x) = x ^ { x}}

f_ {3} (x) = x ^ {{x}}

f 4 (x) = x 1 x = xx {\ displaystyle f_ {4} (x) = x ^ {\ frac {1} {x}} = {\ sqrt [{x}] { x}} \}

{\ displaystyle f_ {4} (x) = x ^ {\ frac {1} {x}} = {\ sqrt [{x }] {x}} \}

f 5 (x) = журнал c ⁡ x {\ displaystyle f_ {5} (x) = \ log _ {c} x}

{\ displaystyle f_ {5} (x) = \ log _ {c} x}

f 6 (x) = sin ⁡ x { \ displaystyle f_ {6} (x) = \ sin {x}}

f_6 (x) = \ грех {х}

В частности, для ƒ 2, если мы установим c равным e, основание натурального логарифма, то получаем, что e - трансцендентная функция. Аналогично, если мы установим c равным e в ƒ 5, то получим, что $f 5 (x) = log e ⁡ x = ln ⁡ x {\ displaystyle f_ {5} (x) = \ log _ {e} x = \ ln x}$ ${\ displaystyle f_ {5} (x) = \ log _ {e} x = \ ln x}$ (то есть натуральный логарифм ) является трансцендентной функцией.

Алгебраические и трансцендентные функции

Наиболее известные трансцендентные функции - это логарифм, экспонента (с любым нетривиальным основанием), тригонометрические и гиперболические функции, и инвертируют все это. Менее известны специальные функции из анализа, такие как гамма, эллиптические и дзета-функции, все это трансцендентно. обобщенные гипергеометрические и функции Бесселя в целом трансцендентны, но алгебраичны для некоторых специальных значений параметров.

Функция, которая не является трансцендентной, является алгебраической . Простыми примерами алгебраических функций являются рациональные функции и функция квадратного корня, но в целом алгебраические функции не могут быть определены как конечные формулы элементарных функций.

Неопределенный интеграл многих алгебраических функций трансцендентен. Например, функция логарифма возникла из обратной функции в попытке найти площадь гиперболического сектора.

Дифференциальная алгебра исследует, как интеграция часто создает функции, алгебраически независимые от некоторый класс, например, когда в качестве переменных принимаются полиномы с тригонометрическими функциями.

Трансцендентно трансцендентные функции

Наиболее известные трансцендентные функции, включая специальные функции математической физики, являются решениями алгебраических дифференциальных уравнений. Те, которые не являются, такие как гамма и дзета функции, называются трансцендентно трансцендентными или гипертрансцендентными функциями.

Исключительный набор

Если $f {\ displaystyle f}$ $f$ - алгебраическая функция, а $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ - алгебраическое число тогда $f (α) {\ displaystyle f (\ alpha)}$ $f (\ alpha)$ также является алгебраическим числом. Обратное неверно: существуют целые трансцендентные функции $f {\ displaystyle f}$ $f$ такие, что $f (α) {\ displaystyle f (\ alpha)}$ $f (\ alpha)$ - алгебраическое число для любого алгебраического $α. {\ displaystyle \ alpha.}$ $\ alpha.$ Для данной трансцендентной функции набор алгебраических чисел, дающих алгебраические результаты, называется исключительным набором этой функции. Формально он определяется следующим образом:

E (f) = {α ∈ Q ¯: f (α) ∈ Q ¯}. {\ displaystyle {\ mathcal {E}} (f) = \ left \ {\ alpha \ in {\ overline {\ mathbf {Q}}} \,: \, f (\ alpha) \ in {\ overline {\ mathbf {Q}}} \ right \}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {E}} (f) = \ left \ {\ alpha \ in {\ overline {\ mathbf {Q}}} \,: \, f ( \ альфа) \ in {\ overline {\ mathbf {Q}}} \ right \}.}

Во многих случаях исключительный набор довольно невелик. Например, $E (exp) = {0}, {\ displaystyle {\ mathcal {E}} (\ exp) = \ {0 \},}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} (\ exp) = \ {0 \},}$ это было доказано Линдеманн в 1882 году. В частности, exp (1) = e трансцендентно. Кроме того, поскольку exp (iπ) = −1 является алгебраическим, мы знаем, что iπ не может быть алгебраическим. Поскольку i является алгебраическим, это означает, что π является трансцендентным числом.

В общем, поиск исключительного набора функции является сложной задачей, но если его можно вычислить, то это часто может привести к результатам в трансцендентная теория чисел. Вот некоторые другие известные исключительные множества:

j-инвариант Клейна

E (j) = {α ∈ H: [Q (α): Q] = 2}, {\ displaystyle {\ mathcal { E}} (j) = \ {\ alpha \ in \ mathbf {H} \,: \, [\ mathbf {Q} (\ alpha): \ mathbf {Q}] = 2 \},}

{\ displaystyle {\ mathcal {E}} (j) = \ {\ alpha \ in \ mathbf { H} \,: \, [\ mathbf {Q} (\ alpha): \ mathbf {Q}] = 2 \},}

где H - это верхняя полуплоскость, а [Q (α): Q ] - градус числового поля Q(α). Этот результат обусловлен Теодором Шнайдером.

Экспоненциальной функцией по основанию 2:

E (2 x) = Q {\ displaystyle {\ mathcal {E}} (2 ^ {x}) = \ mathbf { Q}}

{\ displaystyle {\ mathcal {E}} (2 ^ {x}) = \ mathbf {Q}}

Этот результат является следствием теоремы Гельфонда – Шнайдера, в которой говорится, что если

α ≠ 0, 1 {\ displaystyle \ alpha \ neq 0,1}

{\ displaystyle \ alpha \ neq 0,1}

является алгебраическим, а

β {\ displaystyle \ beta}

\ beta

является алгебраическим и иррациональным, тогда

α β {\ displaystyle \ alpha ^ {\ beta}}

{\ displaystyle \ alpha ^ {\ beta}}

трансцендентен. Таким образом, функция 2 может быть заменена на c для любого алгебраического c, не равного 0 или 1. Действительно, мы имеем:

E (x x) = E (x 1 x) = Q ∖ {0}. {\ displaystyle {\ mathcal {E}} (x ^ {x}) = {\ mathcal {E}} \ left (x ^ {\ frac {1} {x}} \ right) = \ mathbf {Q} \ setminus \ {0 \}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {E}} (x ^ {x}) = {\ mathcal {E}} \ left (x ^ {\ frac {1} {x}} \ right) = \ mathbf {Q} \ setminus \ {0 \}.}

Следствием гипотезы Шануэля в теории трансцендентных чисел будет то, что $E (eex) = ∅. {\ displaystyle {\ mathcal {E}} \ left (e ^ {e ^ {x}} \ right) = \ emptyset.}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} \ left (e ^ {e ^ {x}} \ right) = \ emptyset.}$

Функция с пустым исключительным множеством, не требующая предположения, что гипотеза Шенуэля $f (x) = ехр ⁡ (1 + π x). {\ displaystyle f (x) = \ exp (1+ \ pi x).}$ ${\ displaystyle f (x) = \ exp (1 + \ пи х).}$

Хотя вычислить исключительное множество для данной функции непросто, известно, что для любого подмножества алгебраических чисел, скажем, A, существует трансцендентная функция, исключительное множество которой равно A. Подмножество не обязательно должно быть собственным, что означает, что A может быть набором алгебраических чисел. Это прямо означает, что существуют трансцендентные функции, которые производят трансцендентные числа только тогда, когда им даны трансцендентные числа. Алекс Уилки также доказал, что существуют трансцендентные функции, для которых логика первого порядка не существует доказательств их трансцендентности, предоставив примерную аналитическую функцию.

Анализ измерений

В размерном анализе трансцендентные функции примечательны, потому что они имеют смысл только тогда, когда их аргумент безразмерен (возможно, после алгебраической редукции). Из-за этого трансцендентные функции могут быть легко обнаруживаемым источником размерных ошибок. Например, бревно (5 метров) - бессмысленное выражение, в отличие от бревна (5 метров / 3 метра) или бревна (3) метра. Можно попытаться применить логарифмический тождество для получения log (5) + log (метров), что подчеркивает проблему: применение неалгебраической операции к измерению дает бессмысленные результаты.

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

В Викиучебнике Ассоциативная составная алгебра есть страница по теме: Трансцендентные функции

Определение " Трансцендентная функция »в Энциклопедии математики