Альфапедия

Таблица аккордов Птолемея

редактировать

Таблица аккордов, созданный греческий астроном, геометр и географа Птолемея в Египте во 2 веке н.э., является тригонометрические таблицы в книге I, главе 11 Птолемея Альмагест, трактат по математической астрономии. По сути, это эквивалент таблицы значений синусоидальной функции. Это была самая ранняя тригонометрическая таблица, достаточно обширная для многих практических целей, в том числе для астрономии (более ранняя таблица аккордов Гиппарха давала аккорды только для дуг, кратных 7. + 1 / 2 ° = π / 24 радианы ). Прошли века, прежде чем были созданы более обширные тригонометрические таблицы. Одним из таких столов является Canon Sinuum, созданный в конце 16 века.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Аккордовая функция и таблица
  • 2 Как Птолемей вычислял аккорды
  • 3 Система счисления и внешний вид непереведенной таблицы
  • 4 См. Также
  • 5 ссылки
  • 6 Внешние ссылки

Аккордовая функция и таблица

Пример: длина хорды, соединяющей a ( 109 + 1 / 2 ) ° дуги составляет примерно 98.

Аккорд из круга является отрезок, концы которого находятся на окружности. Птолемей использовал круг диаметром 120 частей. Он привел в таблицу длину хорды, концы которой разделены дугой в n  градусов, для n в диапазоне от 1 / 2 до 180 с шагом  1 / 2. В современных обозначениях длина хорды, соответствующей дуге θ  градусов, равна

аккорд ⁡ ( θ ) знак равно 120 грех ⁡ ( θ ∘ 2 ) знак равно 60 ⋅ ( 2 грех ⁡ ( π θ 360  радианы ) ) . {\ displaystyle {\ begin {align} amp; \ operatorname {chord} (\ theta) = 120 \ sin \ left ({\ frac {\ theta ^ {\ circ}} {2}} \ right) \\ = {} amp; 60 \ cdot \ left (2 \, \ sin \ left ({\ frac {\ pi \ theta} {360}} {\ text {radians}} \ right) \ right). \ End {align}}}

Когда θ изменяется от 0 до 180, хорда дуги θ ° изменяется от 0 до 120. Для крошечных дуг хорда соответствует углу дуги в градусах, как π равняется 3, или, точнее, отношение может быть сделано как близко по желанию к π / 3  ≈  1.047 197 55, сделав θ достаточно малым. Таким образом, для дуги 1 / 2 °, длина хорды немного больше угла дуги в градусах. По мере увеличения дуги отношение хорды к дуге уменьшается. Когда дуга достигает 60 °, длина хорды в точности равна количеству градусов дуги, т. Е. Хорда 60 ° = 60. Для дуг более 60 ° хорда меньше дуги, пока дуга не равна 180 ° достигается, когда хорда всего 120.

Дробные части длины хорды выражались шестидесятеричными (с основанием 60) цифрами. Например, если длина хорды, образуемой дугой 112 °, составляет 99 29 5, она имеет длину

99 + 29 60 + 5 60 2 знак равно 99,4847 2 ¯ , {\ displaystyle 99 + {\ frac {29} {60}} + {\ frac {5} {60 ^ {2}}} = 99,4847 {\ overline {2}},}

округлено до ближайшего  1 / 60 2.

После столбцов для дуги и хорды третий столбец помечен как «шестидесятые». Для дуги  θ ° запись в столбце «шестидесятые» будет

аккорд ⁡ ( θ + 1 2 ∘ ) - аккорд ⁡ ( θ ∘ ) 30 . {\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {chord} \ left (\ theta + {\ tfrac {1} {2}} ^ {\ circ} \ right) - \ operatorname {chord} \ left (\ theta ^ {\ circ} \ right)} {30}}.}

Это среднее число шестидесятых единицы, которое должно добавляться к хорде ( θ °) каждый раз, когда угол увеличивается на одну угловую минуту, между вводом для  θ ° и для ( θ  +  1 / 2 ) °. Таким образом, он используется для линейной интерполяции. Гловацки и Гётче показали, что Птолемей должен был вычислить хорды до пяти шестнадцатеричных знаков, чтобы достичь степени точности, найденной в столбце «шестидесятые».

дуга ∘ аккорд шестидесятые 1 2 0 31 год 25 0 1 2 50 1 1 2 50 0 1 2 50 1 1 2 1 34 15 0 1 2 50 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 109 97 41 год 38 0 0 36 23 109 1 2 97 59 49 0 0 36 9 110 98 17 54 0 0 35 год 56 110 1 2 98 35 год 52 0 0 35 год 42 111 98 53 43 год 0 0 35 год 29 111 1 2 99 11 27 0 0 35 год 15 112 99 29 5 0 0 35 год 1 112 1 2 99 46 35 год 0 0 34 48 113 100 3 59 0 0 34 34 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 179 119 59 44 год 0 0 0 25 179 1 2 119 59 56 0 0 0 9 180 120 0 0 0 0 0 0 {\ displaystyle {\ begin {array} {| l | rrr | rrr |} \ hline {\ text {arc}} ^ {\ circ} amp; {\ text {chord}} amp;amp;amp; {\ text {sixtieths}} amp;amp; \ \\ hline {} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {\ tfrac {1} {2}} amp; 0 amp; 31 amp; 25 amp; 0 \ quad 1 amp; 2 amp; 50 \\ {} \, \, \, \, \, \, \, 1 amp; 1 amp; 2 amp; 50 amp; 0 \ quad 1 amp; 2 amp; 50 \\ {} \, \, \, \, \, \, \, 1 {\ tfrac {1} {2}} amp; 1 amp; 34 amp; 15 amp; 0 \ quad 1 amp; 2 amp; 50 \\ {} \, \, \, \, \, \, \, \ vdots amp; \ vdots amp; \ vdots amp; \ vdots amp; \ vdots amp; \ vdots amp; \ vdots \\ 109 amp; 97 amp; 41 amp; 38 amp; 0 \ quad 0 amp; 36 amp; 23 \\ 109 {\ tfrac {1} {2} } amp; 97 amp; 59 amp; 49 amp; 0 \ quad 0 amp; 36 amp; 9 \\ 110 amp; 98 amp; 17 amp; 54 amp; 0 \ quad 0 amp; 35 amp; 56 \\ 110 {\ tfrac {1} {2}} amp; 98 amp; 35 amp; 52 amp; 0 \ quad 0 amp; 35 amp; 42 \\ 111 amp; 98 amp; 53 amp; 43 amp; 0 \ quad 0 amp; 35 amp; 29 \\ 111 {\ tfrac amp; 99 \ tfrac {1} {2} {2} {2} 0 amp; 35 amp; 15 \\ 112 amp; 99 amp; 29 amp; 5 amp; 0 \ quad 0 amp; 35 amp; 1 \\ 112 {\ tfrac {1} {2}} amp; 99 amp; 46 amp; 35 amp; 0 \ quad 0 amp; 34 amp; 48 \\ 113 amp; 100 amp; 3 amp; 59 amp; 0 \ quad 0 amp; 34 amp; 34 \\ {} \, \, \, \, \, \, \, \ vdots amp; \ vdots amp; \ vdots amp; \ vdots amp; \ vdots amp; \ vdots amp; \ vdots \\ 179 amp; 119 amp; 59 amp; 44 amp; 0 \ quad 0 amp; 0 amp; 25 \\ 179 {\ frac {1} {2}} amp; 119 amp; 59 amp; 56 amp; 0 \ quad 0 amp; 0 amp; 9 \\ 180 amp; 120 amp;\ amp; 0 amp; 0 \ quad 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \ quad 0 amp; 0 hline \ end {массив}}}

Как Птолемей вычислял аккорды

В главе 10 книги I Альмагеста представлены геометрические теоремы, используемые для вычисления хорд. Птолемей использовал геометрические рассуждения, основанные на предложении 10 Книги XIII Элементов Евклида, чтобы найти хорды 72 ° и 36 °. Это Предложение гласит, что если равносторонний пятиугольник вписан в круг, то площадь квадрата на стороне пятиугольника равна сумме площадей квадратов на сторонах шестиугольника и десятиугольника, вписанных в один круг.

Он использовал теорему Птолемея о четырехугольниках, вписанных в круг, чтобы получить формулы для хорды полудуги, хорды суммы двух дуг и хорды разности двух дуг. Теорема утверждает, что для четырехугольника, вписанного в круг, произведение длин диагоналей равно сумме произведений двух пар длин противоположных сторон. Вывод тригонометрических тождеств основан на вписанном четырехугольнике, у которого одна сторона равна диаметру окружности.

Чтобы найти хорды дуг 1 ° и 1 / 2 ° он использовал приближения, основанные на неравенстве Аристарха. Неравенство утверждает, что для дуг α и β, если 0 lt;  β  lt;  α  lt;90 °, то

грех ⁡ α грех ⁡ β lt; α β lt; загар ⁡ α загар ⁡ β . {\ displaystyle {\ frac {\ sin \ alpha} {\ sin \ beta}} lt;{\ frac {\ alpha} {\ beta}} lt;{\ frac {\ tan \ alpha} {\ tan \ beta}}. }

Птолемей показал, что для дуг 1 ° и 1 / 2 °, аппроксимации правильно дают первые два шестнадцатеричных знака после целой части.

Система счисления и внешний вид непереведенной таблицы

Основная статья: греческие цифры

Длины дуг окружности в градусах и целые части длины хорды были выражены в системе счисления с основанием 10, в которой использовалась 21 буква греческого алфавита со значениями, указанными в следующей таблице, и символ " ∠ ′ ", что означает 1 / 2 и выпуклый кружок «○», заполняющий пустое пространство (фактически представляющий ноль). Две буквы, помеченные как «архаичные» в таблице ниже, не использовались в греческом языке за несколько веков до написания Альмагеста, но все еще использовались в качестве цифр и нот.

α а л п час а 1 ι я о т а 10 ρ р час о 100 β б е т а 2 κ k а п п а 20 ⋮ ⋮ ⋮ γ грамм а м м а 3 λ л а м б d а 30 δ d е л т а 4 μ м ты 40 ε е п s я л о п 5 ν п ты 50 ϛ s т я грамм м а   ( а р c час а я c ) 6 ξ Икс я 60 ζ z е т а 7 о о м я c р о п 70 η е т а 8 π п я 80 θ т час е т а 9 ϟ k о п п а   ( а р c час а я c ) 90 {\ displaystyle {\ begin {array} {| rlr | rlr | rlr |} \ hline \ alpha amp; \ mathrm {alpha} amp; 1 amp; \ iota amp; \ mathrm {iota} amp; 10 amp; \ rho amp; \ mathrm {rho} amp; 100 \\\ beta amp; \ mathrm {beta} amp; 2 amp; \ kappa amp; \ mathrm {kappa} amp; 20 amp; \ vdots amp; \ vdots amp; \ vdots \\\ gamma amp; \ mathrm {gamma} amp; 3 amp; \ lambda amp; \ mathrm {lambda} amp; 30 amp;amp;amp; \\\ delta amp; \ mathrm {delta} amp; 4 amp; \ mu amp; \ mathrm {mu} amp; 40 amp;amp;amp; \\\ varepsilon amp; \ mathrm {epsilon} amp; 5 amp; \ nu amp; \ mathrm {nu} amp; 50 amp;amp;amp; \\\ mathrm {\ stigma} amp; \ mathrm {stigma \ ( архаика)} amp; 6 amp; \ xi amp; \ mathrm {xi} amp; 60 amp;amp;amp; \\\ zeta amp; \ mathrm {zeta} amp; 7 amp; \ mathrm {o} amp; \ mathrm {omicron} amp; 70 amp;amp;amp; \\\ eta amp; \ mathrm {eta} amp; 8 amp; \ pi amp; \ mathrm {pi} amp; 80 amp;amp;amp; \\\ theta amp; \ mathrm {theta} amp; 9 amp; \ mathrm {\ koppa} amp; \ mathrm {koppa \ (archaic)} amp; 90 amp;amp;amp; \\\ hline \ end {array}}}

Так, например, дуга 143 + 1 / 2 ° выражается как ρμγ ∠ ′. (Поскольку таблица достигает только 180 °, греческие цифры 200 и выше не используются.)

Дробные части длин хорды требовали большой точности и были даны в двух столбцах таблицы: в первом столбце указано целое число, кратное 1 / 60, в диапазоне 0–59, второе - целое число, кратное 1 / 60 2  знак равно  1 / 3600, также в диапазоне 0–59.

Так, в издании Хейберга Альмагеста с таблицей аккордов на страницах 48–63 начало таблицы, соответствующее дугам из 1 / 2 ° до 7 + 1 / 2 °, выглядит так:

π ε ρ ι φ ε ρ ε ι ω ~ ν ε ν ' θ ε ι ω ~ ν ε ` ξ η κ о σ τ ω ~ ν ∠ ′ α α ∠ ′ β β ∠ ′ γ γ ∠ ′ δ δ ∠ ′ ε ε ∠ ′ ϛ ϛ ∠ ′ ζ ζ ∠ ′ ∘ λ α κ ε α β ν α λ δ ι ε β ε μ β λ ζ δ γ η κ η γ λ θ ν β δ ι α ι ϛ δ μ β μ ε ι δ δ ε μ ε κ ζ ϛ ι ϛ μ θ ϛ μ η ι α ζ ι θ λ γ ζ ν ν δ ∘ α β ν ∘ α β ν ∘ α β ν ∘ α β ν ∘ α β μ η ∘ α β μ η ∘ α β μ η ∘ α β μ ζ ∘ α β μ ζ ∘ α β μ ϛ ∘ α β μ ε ∘ α β μ δ ∘ α β μ γ ∘ α β μ β ∘ α β μ α {\ displaystyle {\ begin {array} {ccc} \ pi \ varepsilon \ rho \ iota \ varphi \ varepsilon \ rho \ varepsilon \ iota {\ tilde {\ omega}} \ nu amp; \ varepsilon {\ overset {\ text { '}} {\ nu}} \ theta \ varepsilon \ iota {\ tilde {\ omega}} \ nu amp; {\ overset {\ text {`}} {\ varepsilon}} \ xi \ eta \ kappa \ mathrm {o } \ sigma \ tau {\ tilde {\ omega}} \ nu \\ {\ begin {array} {| l |} \ hline \ quad \ angle '\\\ alpha \\\ alpha \; \ angle' \\ \ hline \ beta \\\ beta \; \ angle '\\\ gamma \\\ hline \ gamma \; \ angle' \\\ delta \\\ delta \; \ angle '\\\ hline \ varepsilon \\\ varepsilon \; \ angle '\\\ mathrm {\ stigma} \\\ hline \ mathrm {\ stigma} \; \ angle' \\\ zeta \\\ zeta \; \ angle '\\\ hline \ end {array }} amp; {\ begin {array} {| r | r | r |} \ hline \ circ amp; \ lambda \ alpha amp; \ kappa \ varepsilon \\\ alpha amp; \ beta amp; \ nu \\\ alpha amp; \ lambda \ delta amp; \ iota \ varepsilon \\\ hline \ beta amp; \ varepsilon amp; \ mu \\\ beta amp; \ lambda \ zeta amp; \ delta \\\ gamma amp; \ eta amp; \ kappa \ eta \\\ hline \ gamma amp; \ лямбда \ тета и \ ню \ бета \\\ дельта и \ йота \ альфа и \ йота \ математика {\ стигма} \\\ дельта и \ му \ бета и \ му \\\ hline \ varepsilon и \ йота \ delta amp; \ delta \\\ varepsilon amp; \ mu \ varepsilon amp; \ kappa \ zeta \\\ mathrm {\ stigma} amp; \ iota \ mathrm {\ stigma} amp; \ mu \ theta \\\ hline \ mathrm {\ stigma } amp; \ mu \ eta amp; \ iota \ alpha \\\ zeta amp; \ iota \ theta amp; \ lambda \ gamma \\\ zeta amp; \ nu amp; \ nu \ delta \\\ hline \ end {array}} amp; {\ begin {array} {| r | r | r | r |} \ hline \ circ amp; \ alpha amp; \ beta amp; \ nu \\\ circ amp; \ alpha amp; \ beta amp; \ nu \\\ circ amp; \ alpha amp; \ beta amp; \ nu \\\ hline \ circ amp; \ alpha amp; \ beta amp; \ nu \\\ circ amp; \ alpha amp; \ beta amp; \ mu \ eta \\\ circ amp; \ alpha amp; \ beta amp; \ mu \ eta \ \\ hline \ circ amp; \ alpha amp; \ beta amp; \ mu \ eta \\\ circ amp; \ alpha amp; \ beta amp; \ mu \ zeta \\\ circ amp; \ alpha amp; \ beta amp; \ mu \ zeta \\\ hline \ circ amp; \ alpha amp; \ beta amp; \ mu \ mathrm {\ stigma} \\\ circ amp; \ alpha amp; \ beta amp; \ mu \ varepsilon \\\ circ amp; \ alpha amp; \ beta amp; \ mu \ delta \\\ hline \ circ amp; \ alpha amp; \ beta amp; \ mu \ gamma \\\ circ amp; \ alpha amp; \ beta amp; \ mu \ beta \\\ circ amp; \ alpha amp; \ beta amp; \ mu \ alpha \\\ hline \ end {массив}} \ end {массив}}}

Далее в таблице можно увидеть десятичную природу чисел, выражающих целые части дуги и длину хорды. Таким образом, дуга в 85 ° записывается как πε ( π для 80 и ε для 5) и не разбивается на 60 + 25. Соответствующая длина хорды составляет 81 плюс дробная часть. Целая часть начинается с πα, также не разбивается на 60 + 21. Но дробная часть, 4 / 60  +  15 / 60 2, записывается как δ, для 4, в 1 / 60 столбец, за которым следует ιε, вместо 15 в столбце 1 / 60 2 столбец.

π ε ρ ι φ ε ρ ε ι ω ~ ν ε ν ' θ ε ι ω ~ ν ε ` ξ η κ о σ τ ω ~ ν π δ ∠ ′ π ε π ε ∠ ′ π ϛ π ϛ ∠ ′ π ζ π μ α γ π α δ ι ε π α κ ζ κ β π α ν κ δ π β ι γ ι θ π β λ ϛ θ ∘ ∘ μ ϛ κ ε ∘ ∘ μ ϛ ι δ ∘ ∘ μ ϛ γ ∘ ∘ μ ε ν β ∘ ∘ μ ε μ ∘ ∘ μ ε κ θ {\ displaystyle {\ begin {array} {ccc} \ pi \ varepsilon \ rho \ iota \ varphi \ varepsilon \ rho \ varepsilon \ iota {\ tilde {\ omega}} \ nu amp; \ varepsilon {\ overset {\ text { '}} {\ nu}} \ theta \ varepsilon \ iota {\ tilde {\ omega}} \ nu amp; {\ overset {\ text {`}} {\ varepsilon}} \ xi \ eta \ kappa \ mathrm {o } \ sigma \ tau {\ tilde {\ omega}} \ nu \\ {\ begin {array} {| l |} \ hline \ pi \ delta \ angle '\\\ pi \ varepsilon \\\ pi \ varepsilon \ угол '\\\ hline \ pi \ mathrm {\ stigma} \\\ pi \ mathrm {\ stigma} \ angle' \\\ pi \ zeta \\\ hline \ end {array}} amp; {\ begin {array} {| r | r | r |} \ hline \ pi amp; \ mu \ alpha amp; \ gamma \\\ pi \ alpha amp; \ delta amp; \ iota \ varepsilon \\\ pi \ alpha amp; \ kappa \ zeta amp; \ kappa \ бета \\\ hline \ pi \ alpha amp; \ nu amp; \ kappa \ delta \\\ pi \ beta amp; \ iota \ gamma amp; \ iota \ theta \\\ pi \ beta amp; \ lambda \ mathrm {\ stigma} amp; \ theta \\\ hline \ end {array}} amp; {\ begin {array} {| r | r | r | r |} \ hline \ circ amp; \ circ amp; \ mu \ mathrm {\ stigma} amp; \ kappa \ varepsilon \\\ circ amp; \ circ amp; \ mu \ mathrm {\ stigma} amp; \ iota \ delta \\\ circ amp; \ circ amp; \ mu \ mathrm {\ stigma} amp; \ gamma \\\ hline \ circ amp; \ circ amp; \ му \ вар эпсилон amp; \ ню \ бета \\\ circ amp; \ circ amp; \ mu \ varepsilon amp; \ mu \\\ circ amp; \ circ amp; \ mu \ varepsilon amp; \ kappa \ theta \\\ hline \ end {array}} \ end {множество}}}

Таблица состоит из 45 строк на каждой из восьми страниц, всего 360 строк.

Смотрите также

Рекомендации

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2023-08-11 04:57:09
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте