Гиперболические функции

«Гиперболическая кривая» перенаправляется сюда. Для геометрической кривой см. Гипербола.

В математике, гиперболические функции являются аналогами обычных тригонометрических функций, но определяются с помощью гиперболы, а не круг. Точно так же, как точки (cos t, sin t) образуют круг с единичным радиусом, точки (cosh t, sinh t) образуют правую половину единичной гиперболы. Точно так же, как производные sin ( t) и cos ( t) равны cos ( t) и –sin ( t), производные sinh ( t) и cosh ( t) равны cosh ( t) и + sinh ( t).

Гиперболические функции встречаются при вычислении углов и расстояний в гиперболической геометрии. Они также встречаются в решениях многих линейных дифференциальных уравнений (таких как уравнение, определяющее цепную связь ), кубических уравнений и уравнения Лапласа в декартовых координатах. Уравнения Лапласа важны во многих областях физики, включая теорию электромагнетизма, теплопередачу, гидродинамику и специальную теорию относительности.

Основные гиперболические функции:

• гиперболический синус "зЬ" ( / с ɪ ŋ, š ɪ п tʃ, ʃ aɪ п / ),
• гиперболический косинус "сп" ( / к ɒ ʃ, к oʊ ʃ / ),

из которых получены:

• гиперболического тангенса "TANH" ( / т æ ŋ, т æ п tʃ, θ æ п / ),
• гиперболической косеканс "CSCH" или "cosech" ( / к oʊ с ɛ tʃ, к oʊ ʃ ɛ к / )
• гиперболической секущей "сечь" ( / с ɛ tʃ, ʃ ɛ к / ),
• гиперболический котангенс "COTH" ( / к ɒ amp; thetas ;, к oʊ amp; thetas ; / ),

соответствующие производным тригонометрическим функциям.

В обратных гиперболических функциях являются:

• гиперболический синус области "arsinh" (также обозначаемый "sinh ⁻¹ ", "asinh" или иногда "arcsinh")
• гиперболический косинус площади "arcosh" (также обозначается "ch − ¹ ", "acosh" или иногда "arccosh")
• и так далее.

Луч, проходящий через единичную гиперболу x ² - y ² = 1 в точке (ch a, sinh a), где a - это удвоенная площадь между лучом, гиперболой и осью x. Для точек на гиперболе ниже оси x площадь считается отрицательной (см. Анимированную версию со сравнением с тригонометрическими (круговыми) функциями).

Гиперболические функции принимают вещественный аргумент, называемый гиперболическим углом. Размер гиперболического угла в два раза больше площади его гиперболического сектора. Гиперболические функции могут быть определены в терминах катетов прямоугольного треугольника, покрывающего этот сектор.

В комплексном анализе гиперболические функции возникают как мнимые части синуса и косинуса. Гиперболический синус и гиперболический косинус - целые функции. В результате другие гиперболические функции мероморфны во всей комплексной плоскости.

По теореме Линдемана – Вейерштрасса гиперболические функции имеют трансцендентное значение для любого ненулевого алгебраического значения аргумента.

Гиперболические функции были введены в 1760-е годы независимо Винченцо Риккати и Иоганн Генрих Ламберт. Риккати использовал Sc. и Cc. ( sinus / cosinus circare) для обозначения круговых функций и Sh. и гл. ( sinus / cosinus hyperbolico) для обозначения гиперболических функций. Ламберт принял имена, но изменил аббревиатуры на те, которые используются сегодня. В настоящее время также используются сокращения sh, ch, th, cth, в зависимости от личных предпочтений.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Определения
  • 1.1 Экспоненциальные определения
  • 1.2 Определения дифференциальных уравнений
  • 1.3 Сложные тригонометрические определения
• 2 Характерные свойства
  • 2.1 Гиперболический косинус
  • 2.2 Гиперболический тангенс
• 3 Полезные отношения
  • 3.1 Сумма аргументов
  • 3.2 Формулы вычитания
  • 3.3 Формулы половинного аргумента
  • 3.4 Формулы квадратов
  • 3.5 Неравенства
• 4 Обратные функции в виде логарифмов
• 5 Производные
• 6 Вторые производные
• 7 Стандартные интегралы
• 8 выражений ряда Тейлора
• 9 Сравнение с круговыми функциями
• 10 Связь с экспоненциальной функцией
• 11 гиперболических функций для комплексных чисел
• 12 См. Также
• 13 Ссылки
• 14 Внешние ссылки

Определения

син, кош и тан CSCH, сечь и COTH

Существуют различные эквивалентные способы определения гиперболических функций.

Экспоненциальные определения

sinh x составляет половину разницы между e ^x и e ^{- x} сЬ х является среднее по е ^х и е ^{- х}

В терминах экспоненциальной функции :

• Гиперболический синус: нечетная часть экспоненциальной функции, то есть

  ${\ displaystyle \ sinh x = {\ frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {2}} = {\ frac {e ^ {2x} -1} {2e ^ {x}}} = {\ frac {1-e ^ {- 2x}} {2e ^ {- x}}}.}$

• Гиперболический косинус: четная часть экспоненциальной функции, то есть

  ${\ displaystyle \ cosh = {\ frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {2}} = {\ frac {e ^ {2x} +1} {2e ^ {x}}} = {\ frac {1 + e ^ {- 2x}} {2e ^ {- x}}}.}.$

• Гиперболический тангенс:

  ${\ displaystyle \ tanh x = {\ frac {\ sinh x} {\ cosh x}} = {\ frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {e ^ {x} + e ^ {- x}}} = {\ frac {e ^ {2x} -1} {e ^ {2x} +1}}}$

• Гиперболический котангенс: при x ≠ 0,

  ${\ displaystyle \ coth x = {\ frac {\ cosh x} {\ sinh x}} = {\ frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {e ^ {x} -e ^ {- x}}} = {\ frac {e ^ {2x} +1} {e ^ {2x} -1}}}$

• Гиперболический секанс:

  ${\ displaystyle \ operatorname {sech} x = {\ frac {1} {\ cosh x}} = {\ frac {2} {e ^ {x} + e ^ {- x}}} = {\ frac {2e ^ {x}} {e ^ {2x} +1}}}$

• Гиперболический косеканс: для й ≠ 0,

  ${\ displaystyle \ operatorname {csch} x = {\ frac {1} {\ sinh x}} = {\ frac {2} {e ^ {x} -e ^ {- x}}} = {\ frac {2e ^ {x}} {e ^ {2x} -1}}}$

Определения дифференциальных уравнений

Гиперболические функции могут быть определены как решения дифференциальных уравнений : гиперболический синус и косинус являются единственными решениями ( s, c) системы

${\ Displaystyle {\ begin {align} c '(x) amp; = s (x) \\ s' (x) amp; = c (x) \ end {выравнивается}}}$

такие, что s (0) = 0 и c (0) = 1.

(Начальные условия необходимы, потому что каждая пара функций формы решает два дифференциальных уравнения.) ${\ Displaystyle s (0) = 0, c (0) = 1}$${\ displaystyle (ae ^ {x} + be ^ {- x}, ae ^ {x} -be ^ {- x})}$

sinh ( x) и ch ( x) также являются единственным решением уравнения f  ″ ( x) = f  ( x), таким что f  (0) = 1, f  ′ (0) = 0 для гиперболического косинуса и f  (0) = 0, f  ′ (0) = 1 для гиперболического синуса.

Сложные тригонометрические определения

Гиперболические функции также могут быть выведены из тригонометрических функций со сложными аргументами:

• Гиперболический синус:

  ${\ Displaystyle \ зп Икс = -i \ грех (ix)}$

• Гиперболический косинус:

  ${\ Displaystyle \ соз х = \ соз (ix)}$

• Гиперболический тангенс:

  ${\ Displaystyle \ tanh х = -i \ tan (ix)}$

• Гиперболический котангенс:

  ${\ Displaystyle \ coth х = я \ кроватка (ix)}$

• Гиперболический секанс:

  ${\ displaystyle \ operatorname {sech} x = \ sec (ix)}$

• Гиперболический косеканс:

  ${\ Displaystyle \ OperatorName {csch} х = я \ csc (ix)}$

где i - мнимая единица с i ² = −1.

Приведенные выше определения связаны с экспоненциальными определениями через формулу Эйлера (см. § Гиперболические функции для комплексных чисел ниже).

Характерные свойства

Гиперболический косинус

Можно показать, что площадь под кривой гиперболического косинуса (на конечном интервале) всегда равна длине дуги, соответствующей этому интервалу:

${\ displaystyle {\ text {area}} = \ int _ {a} ^ {b} \ cosh x \, dx = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {d} {dx}} \ ch x \ right) ^ {2}}} \, dx = {\ text {длина дуги.}}}$

Гиперболический тангенс

Гиперболический тангенс - это (единственное) решение дифференциального уравнения f  ′ = 1 - f  ², где f  (0) = 0.

Полезные отношения

Гиперболические функции удовлетворяют многим тождествам, все они по форме похожи на тригонометрические тождества. В самом деле, правило Осборна гласит, что один может преобразовать любой тригонометрическое тождество для,, или и в гиперболической идентичности, дополнив его полностью в терминах интегральных степеней синусов и косинусов, изменение синуса в зп и косинуса к дубинкой, а переключение знака каждого члена, содержащего произведение двух зол. ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle 2 \ theta}$${\ displaystyle 3 \ theta}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ varphi}$

Нечетные и четные функции:

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ sinh (-x) amp; = - \ sinh x \\\ cosh (-x) amp; = \ cosh x \ end {align}}}$

Следовательно:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ tanh (-x) amp; = - \ tanh x \\\ coth (-x) amp; = - \ coth x \\\ имя оператора {sech} (-x) amp; = \ имя оператора {sech} x \\\ имя оператора {csch} (-x) amp; = - \ operatorname {csch} x \ end {выровнено}}}$

Таким образом, ch x и sech x - четные функции ; остальные - нечетные функции.

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {arsech} x amp; = \ operatorname {arcosh} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \\\ operatorname {arcsch} x amp; = \ operatorname {arsinh } \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \\\ operatorname {arcoth} x amp; = \ operatorname {artanh} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \ end { выровнено}}}$

Гиперболический синус и косинус удовлетворяют:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ cosh x + \ sinh x amp; = e ^ {x} \\\ cosh x- \ sinh x amp; = e ^ {- x} \\\ cosh ^ {2} x- \ sinh ^ {2} x amp; = 1 \ конец {выровнено}}}$

последний из которых похож на тригонометрическое тождество Пифагора.

У одного также есть

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {sech} ^ {2} x amp; = 1- \ tanh ^ {2} x \\\ operatorname {csch} ^ {2} x amp; = \ coth ^ {2} x- 1 \ конец {выровнено}}}$

для других функций.

Суммы аргументов

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ sinh (x + y) amp; = \ sinh x \ cosh y + \ cosh x \ sinh y \\\ cosh (x + y) amp; = \ cosh x \ cosh y + \ sinh x \ sinh y \\ [6px] \ tanh (x + y) amp; = {\ frac {\ tanh x + \ tanh y} {1+ \ tanh x \ tanh y}} \\\ конец {выровнено}}}$

особенно

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ cosh (2x) amp; = \ sinh ^ {2} {x} + \ cosh ^ {2} {x} = 2 \ sinh ^ {2} x + 1 = 2 \ cosh ^ {2} x-1 \\\ sinh (2x) amp; = 2 \ sinh x \ ch x \\\ tanh (2x) amp; = {\ frac {2 \ tanh x} {1+ \ tanh ^ {2} x}} \\\ конец {выровнено}}}$

Также:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sinh x + \ sinh y amp; = 2 \ sinh \ left ({\ frac {x + y} {2}} \ right) \ cosh \ left ({\ frac {xy} {2 }} \ right) \\\ cosh x + \ cosh y amp; = 2 \ cosh \ left ({\ frac {x + y} {2}} \ right) \ cosh \ left ({\ frac {xy} {2}} \ right) \\\ конец {выровнено}}}$

Формулы вычитания

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ sinh (xy) amp; = \ sinh x \ cosh y- \ cosh x \ sinh y \\\ cosh (xy) amp; = \ cosh x \ cosh y- \ sinh x \ sinh y \\\ tanh (xy) amp; = {\ frac {\ tanh x- \ tanh y} {1- \ tanh x \ tanh y}} \\\ конец {выровнено}}}$

Также:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sinh x- \ sinh y amp; = 2 \ cosh \ left ({\ frac {x + y} {2}} \ right) \ sinh \ left ({\ frac {xy} { 2}} \ right) \\\ cosh x- \ cosh y amp; = 2 \ sinh \ left ({\ frac {x + y} {2}} \ right) \ sinh \ left ({\ frac {xy} {2 }} \ right) \\\ конец {выровнено}}}$

Формулы половинного аргумента

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sinh \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) amp; = {\ frac {\ sinh x} {\ sqrt {2 (\ cosh x + 1)} }} amp;amp; = \ operatorname {sgn} x \, {\ sqrt {\ frac {\ cosh x-1} {2}}} \\ [6px] \ cosh \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) amp; = {\ sqrt {\ frac {\ cosh x + 1} {2}}} \\ [6px] \ tanh \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) amp; = {\ frac {\ sinh x} {\ cosh x + 1}} amp;amp; = \ operatorname {sgn} x \, {\ sqrt {\ frac {\ ch x-1} {\ cosh x + 1}}} = {\ frac {e ^ {x} -1} {e ^ {x} +1}} \ end {выровнено}}}$

где sgn - знаковая функция.

Если x ≠ 0, то

${\ displaystyle \ tanh \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) = {\ frac {\ cosh x-1} {\ sinh x}} = \ coth x- \ operatorname {csch} x}$

Квадратные формулы

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sinh ^ {2} x amp; = {\ frac {1} {2}} (\ cosh 2x-1) \\\ cosh ^ {2} x amp; = {\ frac {1} {2}} (\ ch 2x + 1) \ конец {выровнено}}}$

Неравенства

В статистике полезно следующее неравенство: ${\ displaystyle \ operatorname {cosh} (t) \ leq e ^ {t ^ {2} / 2}}$

Это можно доказать, почленно сравнивая ряды Тейлора этих двух функций.

Обратные функции как логарифмы

Основная статья: Обратная гиперболическая функция

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {arsinh} (x) amp; = \ ln \ left (x + {\ sqrt {x ^ {2} +1}} \ right) \\\ operatorname {arcosh} (x) amp; = \ ln \ left (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ right) amp;amp; x \ geqslant 1 \\\ имя оператора {artanh} (x) amp; = {\ frac {1} {2} } \ ln \ left ({\ frac {1 + x} {1-x}} \ right) amp;amp; | x | lt;1 \\\ имя оператора {arcoth} (x) amp; = {\ frac {1} {2} } \ ln \ left ({\ frac {x + 1} {x-1}} \ right) amp;amp; | x |gt; 1 \\\ имя оператора {arsech} (x) amp; = \ ln \ left ({\ frac { 1} {x}} + {\ sqrt {{\ frac {1} {x ^ {2}}} - 1}} \ right) = \ ln \ left ({\ frac {1 + {\ sqrt {1- x ^ {2}}}} {x}} \ right) amp;amp; 0 lt;x \ leqslant 1 \\\ operatorname {arcsch} (x) amp; = \ ln \ left ({\ frac {1} {x}} + { \ sqrt {{\ frac {1} {x ^ {2}}} + 1}} \ right) amp;amp; x \ neq 0 \ end {align}}}$

Производные

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dx}} \ sinh x amp; = \ cosh x \\ {\ frac {d} {dx}} \ cosh x amp; = \ sinh x \\ {\ frac {d} {dx}} \ tanh x amp; = 1- \ tanh ^ {2} x = \ operatorname {sech} ^ {2} x = {\ frac {1} {\ cosh ^ {2} x}} \\ {\ frac {d} {dx}} \ coth x amp; = 1- \ coth ^ {2} x = - \ operatorname {csch} ^ {2} x = - {\ frac {1} {\ sinh ^ {2} x}} amp;amp; x \ neq 0 \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {sech} x amp; = - \ tanh x \ operatorname {sech} x \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {csch} x amp; = - \ coth x \ operatorname {csch} x amp;amp; x \ neq 0 \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arsinh} x amp; = {\ frac {1} {\ sqrt {x ^ { 2} +1}}} \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arcosh} x amp; = {\ frac {1} {\ sqrt {x ^ {2} -1}}} amp;amp; 1 lt;x \ \ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {artanh} x amp; = {\ frac {1} {1-x ^ {2}}} amp;amp; | x | lt;1 \\ {\ frac {d} {dx }} \ operatorname {arcoth} x amp; = {\ frac {1} {1-x ^ {2}}} amp;amp; 1 lt;| x | \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arsech} x amp; = - {\ frac {1} {x {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}} amp;amp; 0 lt;x lt;1 \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arcsch} x amp; = - {\ гидроразрыв {1} {| x | {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}} amp;amp; x \ neq 0 \ end {align}}}$

Вторые производные

Каждая из функций sinh и ch равна своей второй производной, то есть:

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ sinh x = \ sinh x \,}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ cosh x = \ cosh x \,.}$

Все функции с этим свойством являются линейными комбинациями из зпа и дубинки, в частности, экспоненциальные функции и. ${\ displaystyle e ^ {x}}$${\ displaystyle e ^ {- x}}$

Стандартные интегралы

Полный список см. В списке интегралов от гиперболических функций.

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ int \ sinh (ax) \, dx amp; = a ^ {- 1} \ cosh (ax) + C \\\ int \ cosh (ax) \, dx amp; = a ^ {- 1} \ sinh (ax) + C \\\ int \ tanh (ax) \, dx amp; = a ^ {- 1} \ ln (\ ch (ax)) + C \\\ int \ coth (ax) \, dx amp; = a ^ {- 1} \ ln \ left | \ sinh (ax) \ right | + C \\\ int \ operatorname {sech} (ax) \, dx amp; = a ^ {- 1} \ arctan (\ sinh (ax)) + C \\\ int \ operatorname {csch} (ax) \, dx amp; = a ^ {- 1} \ ln \ left | \ tanh \ left ({\ frac {ax} {2}} \ right) \ right | + C = a ^ {- 1} \ ln \ left | \ coth \ left (ax \ right) - \ operatorname {csch} \ left (ax \ right) \ right | + C = -a ^ { -1} \ operatorname {arcoth} \ left (\ ch \ left (ax \ right) \ right) + C \ end {align}}}$

Следующие интегралы можно доказать с помощью гиперболической замены :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int {{\ frac {1} {\ sqrt {a ^ {2} + u ^ {2}}}} \, du} amp; = \ operatorname {arsinh} \ left ( {\ frac {u} {a}} \ right) + C \\\ int {{\ frac {1} {\ sqrt {u ^ {2} -a ^ {2}}}} \, du} amp; = \ operatorname {sgn} {u} \ operatorname {arcosh} \ left | {\ frac {u} {a}} \ right | + C \\\ int {\ frac {1} {a ^ {2} -u ^ {2}}} \, du amp; = a ^ {- 1} \ operatorname {artanh} \ left ({\ frac {u} {a}} \ right) + C amp;amp; u ^ {2} lt;a ^ {2} \\ \ int {\ frac {1} {a ^ {2} -u ^ {2}}} \, du amp; = a ^ {- 1} \ operatorname {arcoth} \ left ({\ frac {u} {a}} \ right) + C amp;amp; u ^ {2}gt; a ^ {2} \\\ int {{\ frac {1} {u {\ sqrt {a ^ {2} -u ^ {2}}}}} \, du } amp; = - a ^ {- 1} \ operatorname {arsech} \ left | {\ frac {u} {a}} \ right | + C \\\ int {{\ frac {1} {u {\ sqrt { a ^ {2} + u ^ {2}}}}} \, du} amp; = - a ^ {- 1} \ operatorname {arcsch} \ left | {\ frac {u} {a}} \ right | + С \ конец {выровнено}}}$

где C - постоянная интегрирования.

Выражения ряда Тейлора

Можно явно выразить ряд Тейлора в нуле (или ряд Лорана, если функция не определена в нуле) вышеуказанных функций.

${\ displaystyle \ sinh x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} + {\ frac {x ^ {7}} {7!}} + \ Cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}}}$

Этот ряд сходится для любого комплексного значения x. Так как функция зп х является нечетным, только нечетными индексы для й происходят в ряде Тейлора.

${\ displaystyle \ cosh x = 1 + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} + {\ frac {x ^ {6} } {6!}} + \ Cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}}}$

Этот ряд сходится для любого комплексного значения x. Поскольку функция ch x является четной, в ее ряд Тейлора входят только четные показатели для x.

Сумма рядов sinh и ch является бесконечным рядным выражением экспоненциальной функции.

Следующие серии сопровождаются описанием подмножества их области сходимости, где ряд сходится, а его сумма равна функции.

${\ displaystyle {\ begin {align} \ tanh x amp; = x - {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} - {\ frac {17x ^ {7}} {315}} + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {2n} (2 ^ {2n} -1) B_ {2n} x ^ {2n-1}} {(2n)!}}, \ Qquad \ left | x \ right | lt;{\ frac {\ pi} {2}} \\\ coth x amp; = x ^ {- 1} + {\ frac {x} {3}} - {\ frac {x ^ {3}} {45}} + {\ frac {2x ^ {5}} {945}} + \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {2n} B_ {2n} x ^ {2n-1}} {(2n)!}}, \ qquad 0 lt;\ left | x \ right | lt;\ pi \\ \ operatorname {sech} \, x amp; = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {5x ^ {4}} {24}} - {\ frac {61x ^ {6} } {720}} + \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {E_ {2n} x ^ {2n}} {(2n)!}}, \ Qquad \ left | x \ right | lt;{\ frac {\ pi} {2}} \\\ operatorname {csch} \, x amp; = x ^ {- 1} - {\ frac {x} {6}} + {\ frac {7x ^ {3}} {360}} - {\ frac {31x ^ {5}} {15120}} + \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2 (1-2 ^ {2n-1}) B_ {2n} x ^ {2n-1}} {(2n)!}}, \ Qquad 0 lt;\ left | x \ right | lt;\ pi \ end {align}}}$

куда:

${\ displaystyle B_ {n} \,}$является п - го числа Бернулли

${\ Displaystyle E_ {п} \,}$- n- е число Эйлера

Сравнение с круговыми функциями

Круг и гиперболой касательной в точке (1,1) отображения геометрии круговых функций с точки зрения кругового сектора области ¯u и гиперболических функций в зависимости от гиперболического сектора области ¯u.

Гиперболические функции представляют собой расширение тригонометрии за пределы круговых функций. Оба типа зависят от аргумента : кругового или гиперболического угла.

Поскольку площадь кругового сектора с радиусом r и углом u (в радианах) равна r ²u / 2, она будет равна u, когда r = √ 2. На диаграмме такая окружность касается гиперболы xy = 1 в точке (1,1). Желтый сектор обозначает площадь и угловую величину. Точно так же желтый и красный секторы вместе обозначают площадь и величину гиперболического угла.

Катеты двух прямоугольных треугольников с гипотенузой на луче, определяющем углы, имеют длину √ 2 раза больше круговой и гиперболической функций.

Гиперболический угол является инвариантной мерой по отношению к отображению сжатия, так же как круговой угол инвариантен относительно вращения.

Функция Гудермана дает прямую связь между круговыми функциями и гиперболическими функциями, не содержащими комплексных чисел.

График функции a  ch ( x / a) - это цепная линия, кривая, образованная однородной гибкой цепью, свободно свисающей между двумя фиксированными точками под действием равномерного гравитации.

Связь с экспоненциальной функцией

Разложение экспоненты на четную и нечетную части дает тождества

${\ Displaystyle е ^ {х} = \ сш х + \ зп х,}$

а также

${\ displaystyle e ^ {- x} = \ cosh x- \ sinh x.}$

Первый аналогичен формуле Эйлера

${\ Displaystyle е ^ {ix} = \ соз х + я \ грех х.}$

Кроме того,

${\ displaystyle e ^ {x} = {\ sqrt {\ frac {1+ \ tanh x} {1- \ tanh x}}} = {\ frac {1+ \ tanh {\ frac {x} {2}} } {1- \ tanh {\ frac {x} {2}}}}}$

Гиперболические функции для комплексных чисел

Поскольку экспоненциальная функция может быть определена для любого сложного аргумента, мы также можем расширить определения гиперболических функций до сложных аргументов. ФУНКЦИИ SINH  г и сп  г затем голоморфны.

Связь с обычными тригонометрическими функциями задается формулой Эйлера для комплексных чисел:

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} е ^ {ix} amp; = \ соз х + я \ грех х \\ е ^ {- ix} amp; = \ соз хи \ грех х \ конец {выровнено}}}$

так:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ cosh (ix) amp; = {\ frac {1} {2}} \ left (e ^ {ix} + e ^ {- ix} \ right) = \ cos x \\ \ sinh (ix) amp; = {\ frac {1} {2}} \ left (e ^ {ix} -e ^ {- ix} \ right) = i \ sin x \\\ cosh (x + iy) amp; = \ cosh (x) \ cos (y) + i \ sinh (x) \ sin (y) \\\ sinh (x + iy) amp; = \ sinh (x) \ cos (y) + i \ cosh (x) \ sin (y) \\\ tanh (ix) amp; = i \ tan x \\\ cosh x amp; = \ cos (ix) \\\ sinh x amp; = - i \ sin (ix) \\\ tanh x amp; = - я \ тан (ix) \ конец {выровнено}}}$

Таким образом, гиперболические функции периодичны относительно мнимой составляющей с периодом ( для гиперболического тангенса и котангенса). ${\ displaystyle 2 \ pi i}$${\ displaystyle \ pi i}$

Гиперболические функции на комплексной плоскости

${\ displaystyle \ operatorname {sinh} (z)}$	${\ displaystyle \ operatorname {cosh} (z)}$	${\ displaystyle \ operatorname {tanh} (z)}$	${\ displaystyle \ operatorname {coth} (z)}$	${\ displaystyle \ operatorname {sech} (z)}$	${\ displaystyle \ operatorname {csch} (z)}$

Смотрите также

• e (математическая константа)
• Теорема о равенстве вписанных окружностей, основанная на sinh
• Гиперболический рост
• Обратные гиперболические функции
• Список интегралов от гиперболических функций
• Спирали Пуансо
• Сигмовидная функция
• Модифицированный гиперболический тангенс Соболевой
• Тригонометрические функции

использованная литература

внешние ссылки

• "Гиперболические функции", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Гиперболические функции в PlanetMath
• GonioLab : Визуализация единичного круга, тригонометрических и гиперболических функций ( Java Web Start )
• Веб-калькулятор гиперболических функций