Инвариантная мера

В математике инвариантной мерой является мера, которая сохраняется некоторой функцией. Эргодическая теория - это исследование инвариантных мер в динамических системах. Теорема Крылова – Боголюбова доказывает существование инвариантных мер при определенных условиях на рассматриваемую функцию и пространство.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

Определение

Пусть (X, Σ) будет измеримым пространством и пусть f будет измеримой функцией от X до самой себя. Мера μ на (X, Σ) называется инвариантной относительно f, если для любого измеримого множества A в Σ

$\mu \; (f\; -\; 1\; (A))\; =\; \mu \; (A).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; left\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; (A)\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; mu\; (A).\}$

В терминах продвижения вперед это означает, что f ∗ (μ) = μ.

Совокупность мер (обычно вероятностных мер ) на X, которые инвариантны относительно f, иногда обозначают M f (X). Набор эргодических мер, E f (X), является подмножеством M f (X). Более того, любая выпуклая комбинация двух инвариантных мер также инвариантна, поэтому M f (X) является выпуклым множеством ; E f (X) состоит в точности из крайних точек M f (X).

В случае динамической системы (X, T, φ), где (X, Σ) - измеримое пространство, как и раньше, T - моноид и φ: T × X → X - отображение потока, мера μ на (X, Σ) называется инвариантной мерой, если она является инвариантной мерой для каждого отображения φ t : X → X. Явно μ инвариантна тогда и только тогда, когда

$\mu \; (\phi \; t\; -\; 1\; (A))\; =\; \mu \; (A)\; \forall \; t\; \in \; T,\; A\; \in \; \Sigma .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; left\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{t\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (A)\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; mu\; (A)\; \backslash \; qquad\; \backslash \; forall\; t\; \backslash \; in\; T,\; A\; \backslash \; in\; \backslash \; Sigma.\}$

Другими словами, μ является инвариантной мерой для последовательности случайных величин (Zt)t≥0 (возможно, цепи Маркова или решения стохастического дифференциального уравнения ), если всякий раз, когда начальное условие Z 0 распределяется согласно μ, то же самое и Z t для любого более позднего времени t.

Когда динамическую систему можно описать с помощью оператора переноса, тогда инвариантная мера является собственным вектором оператора, соответствующим собственному значению 1, которое является наибольшим собственным значением, заданным формулой теорема Фробениуса-Перрона.

Примеры

Отображение сжатия оставляет неизменным гиперболический угол, поскольку оно перемещает гиперболический сектор (фиолетовый) в один из тех же площадь. Синий и зеленый прямоугольники также сохраняют ту же площадь

• Рассмотрим вещественную прямую Rс ее обычной борелевской σ-алгеброй ; Зафиксируем a ∈ R и рассмотрим карту сдвига T a: R→ R, задаваемую формулой

$T\; a\; (x)\; =\; x\; +\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{a\}\; (x)\; =\; x\; +\; a.\}$

Тогда одномерная мера Лебега λ является инвариантной мерой для T a.

• В общем, на n-мерном Евклидово пространство Rс его обычной борелевской σ-алгеброй, n-мерная мера Лебега λ является инвариантной мерой для любой изометрии евклидова пространства, т. Е. Карты T: R→ R, которую можно записать как

$T\; (x)\; =\; A\; x\; +\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (x)\; =\; Ax\; +\; b\}$

для некоторой ортогональной матрицы n × n A ∈ O (n) и вектора b ∈ R.

• Инвариантная мера в первом примере единственна с точностью до тривиальной перенормировки с постоянным множителем. Это не обязательно так: рассмотрим набор, состоящий всего из двух точек $S\; =\; \{A,\; B\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; rm\; \{S\}\}\}\; =\; \backslash \; \{A,\; B\; \backslash \}\; \}$и карту идентичности $T\; =\; I\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; \{\backslash \; rm\; \{Id\}\}\}$, которая оставляет каждую точку фиксированной. Тогда любая вероятностная мера $\mu :\; S\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu:\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; rm\; \{S\}\}\}\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; rm\; \{R\}\}\}\}$является инвариантный. Обратите внимание, что S тривиально имеет разложение на T-инвариантные компоненты {A} и {B}.
• Мера круговых углов в градусах или радианы инвариантны относительно поворота. Точно так же мера гиперболического угла инвариантна относительно отображения сжатия.
• Площадь в евклидовой плоскости инвариантна относительно вещественных матриц 2 × 2 с определителем 1, также известная как специальная линейная группа SL (2, R).
• Каждая локально компактная группа имеет меру Хаара, инвариантную относительно действия группы.

См. Также

• Квазиинвариантная мера

Ссылки

• Инвариантные меры, Джон фон Нейман, AMS Bookstore, 1999, ISBN 978-0-8218-0912-9