Сфероид

редактировать

Поверхность, образованная вращением эллипса вокруг одной из его осей; частный случай эллипсоида

Сфероиды с вертикальными осями вращения
плоская		вытянутая

A сфероид, или эллипсоид вращения, представляет собой квадрику поверхность, полученная вращением эллипса вокруг одной из его главных осей; другими словами, эллипсоид с двумя равными полудиаметрами . Сфероид имеет круговую симметрию.

Если эллипс вращается вокруг своей главной оси, в результате получается вытянутый (удлиненный) сфероид, имеющий форму американского футбола или регби мяч. Если эллипс вращается вокруг своей малой оси, в результате получается сплющенный (сплющенный) сфероид, имеющий форму чечевицы. Если образующий эллипс представляет собой круг, результатом будет сфера.

. Из-за комбинированного воздействия гравитации и вращения, фигура Земли (и из всех планет ) не совсем сфера, но вместо этого немного сплющен в направлении своей оси вращения. По этой причине в картографии и геодезии Земля часто аппроксимируется сплющенным сфероидом, известным как опорный эллипсоид, а не сферой. Текущая модель Мировой геодезической системы использует сфероид, радиус которого составляет 6 378,137 км (3 963,191 миль) на экваторе и 6,356,752 км (3,949,903 мили) на полюсах .

. слово сфероид первоначально означало «приблизительно сферическое тело», допускающее неровности даже за пределами двух- или трехосной эллипсоидальной формы, и именно так этот термин используется в некоторых более старых работах по геодезии (например, в отношении усеченных сферических гармонических расширений Земля).

Содержание

1 Уравнение
2 Свойства
- 2.1 Площадь
- 2.2 Объем
- 2.3 Кривизна
- 2.4 Соотношение сторон
3 Приложения
- 3.1 Сжатые сфероиды
- 3.2 Выдвижение сфероидов
- 3.3 Динамические свойства
4 См. Также
5 Ссылки

Уравнение

Назначение полуосей на сфероиде. Он сжат, если c < a (left) and prolate if c>a (справа).

Уравнение трехосного эллипсоида с центром в начале координат с полуосями a, b и c, выровненными по осям координат, равно

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1. {\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2 }}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} = 1.}

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2} }} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} = 1.}

Уравнение сфероида с z в качестве оси симметрии задается следующим образом: a = b:

x 2 + y 2 a 2 + z 2 c 2 = 1. {\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} = 1.}

{\ frac {x ^ {2} + y ^ {2 }} {a ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} = 1.

Полуось a - это экваториальный радиус сфероида, а c - расстояние от центра до полюса по симметрии. ось. Возможны два случая:

c < a: oblate spheroid
c>a: вытянутый сфероид

Случай a = c сводится к сфере.

Свойства

Площадь

Сплюснутый сфероид с c < a has площадью поверхности

S сплюснутой = 2 π a 2 (1 + 1 - e 2 e artanh e) = 2 π a 2 + π c 2 e ln ⁡ (1 + e 1 - e), где e 2 = 1 - c 2 a 2. {\ displaystyle S _ {\ rm {сжатый}} = 2 \ pi a ^ {2} \ left (1 + {\ frac {1-e ^ {2}} {e}} {\ text {artanh}} \, e \ right) = 2 \ pi a ^ {2} + \ pi {\ frac {c ^ {2}} {e}} \ ln \ left ({\ frac {1 + e} {1-e}} \ справа) \ quad {\ t_dv {where}} \ quad e ^ {2} = 1 - {\ frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}}.}

{\ Displaystyle S _ {\ rm {сжатый}} = 2 \ pi a ^ {2} \ left (1 + {\ frac {1-e ^ {2}} {e}} {\ text {artanh}} \, e \ right) = 2 \ pi a ^ {2} + \ pi {\ frac {c ^ {2}} {e}} \ ln \ left ({\ frac {1 + e} {1-e} } \ right) \ quad {\ t_dv {where}} \ quad e ^ {2} = 1 - {\ frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}}.}

Сплюснутый сфероид создается вращение вокруг оси z эллипса с большой полуосью a и малой полуосью c, поэтому e может быть идентифицирован как эксцентриситет . (См. эллипс.)

Вытянутый сфероид с c>a имеет площадь поверхности

S вытянутый = 2 π a 2 (1 + cae arcsin e), где e 2 = 1 - a 2 c 2. {\ Displaystyle S _ {\ rm {prolate}} = 2 \ pi a ^ {2} \ left (1 + {\ frac {c} {ae}} \ arcsin \, e \ right) \ qquad {\ t_dv {where}} \ qquad e ^ {2} = 1 - {\ frac {a ^ {2}} {c ^ {2}}}.}

{\ Displaystyle S _ {\ rm {вытянутый}} = 2 \ pi a ^ {2} \ left (1 + {\ frac {c} {ae}} \ arcsin \, e \ right) \ qquad {\ t_dv {где }} \ qquad e ^ {2} = 1 - {\ frac {a ^ {2}} {c ^ {2}}}.}

Вытянутый сфероид создается вращением вокруг оси z эллипса с полу- большая ось c и малая полуось a; поэтому e можно снова идентифицировать как эксцентриситет. (см. эллипс.)

Эти формулы идентичны смысл, что формула для S сплющенный может использоваться для вычисления площади поверхности вытянутого сфероида и наоборот. Однако тогда e становится мнимым и больше не может быть напрямую отождествлено с эксцентриситет. Оба этих результата могут быть представлены во многих других формах, используя стандартные математические тождества и отношения между параметрами эллипса.

Объем

Объем внутри сфероида (любого типа d) равно $4 π 3 a 2 c ≈ 4,19 a 2 c {\ displaystyle {\ frac {4 \ pi} {3}} a ^ {2} c \ приблизительно 4,19a ^ {2} c}$ ${\ displaystyle {\ frac {4 \ pi} {3}} a ^ {2} c \ приблизительно 4,19a ^ {2} c}$ . Если $A = 2 a {\ displaystyle A = 2a}$ ${\ displaystyle A = 2a }$ - экваториальный диаметр, а $C = 2 c {\ displaystyle C = 2c}$ ${\ displaystyle C = 2c}$ - полярный диаметр, объем равен $π 6 A 2 C ≈ 0,523 A 2 C {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {6}} A ^ {2} C \ приблизительно 0,523A ^ {2} C}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {6}} A ^ {2} C \ приблизительно 0,523A ^ {2} C}$ .

Кривизна

Если сфероид параметризован как

σ → (β, λ) = (a cos ⁡ β cos ⁡ λ, a cos ⁡ β sin ⁡ λ, c sin ⁡ β); {\ Displaystyle {\ vec {\ sigma}} (\ бета, \ лямбда) = (а \ соз \ бета \ соз \ лямбда, а \ соз \ бета \ грех \ лямбда, с \ грех \ бета); \, \ !}

{\ vec {\ sigma}} (\ beta, \ lambda) = (a \ cos \ beta \ соз \ лямбда, а \ соз \ бета \ грех \ лямбда, с \ грех \ бета); \, \!

где β - приведенная или параметрическая широта, λ - это долгота, а −π / 2 < β < +π/2 and −π < λ < +π, then its кривизна Гаусса равна

K ( β, λ) = c 2 (a 2 + (c 2 - a 2) cos 2 ⁡ β) 2; {\ Displaystyle К (\ бета, \ лямбда) = {с ^ {2} \ над \ влево (а ^ {2} + \ влево (с ^ {2} -а ^ {2} \ вправо) \ соз ^ { 2} \ beta \ right) ^ {2}}; \, \!}

{\ displaystyle K (\ beta, \ lambda) = {c ^ {2} \ over \ left (a ^ {2} + \ left (c ^ {2} -a ^ {2} \ right) \ cos ^ {2} \ бета \ справа) ^ {2}}; \, \!}

и его средняя кривизна равна

H (β, λ) = c (2 a 2 + (c 2 - а 2) соз 2 ⁡ β) 2 а (а 2 + (с 2 - а 2) соз 2 ⁡ β) 3 2. {\ Displaystyle Н (\ бета, \ лямбда) = {с \ влево (2a ^ {2} + \ влево (с ^ {2} -a ^ {2} \ вправо) \ соз ^ {2} \ бета \ вправо) \ over 2a \ left (a ^ {2} + \ left (c ^ {2} -a ^ {2} \ right) \ cos ^ {2} \ beta \ right) ^ {\ frac {3} {2 }}}. \, \!}

{\ displaystyle H (\ beta, \ lambda) = {c \ left (2a ^ {2} + \ left (c ^ { 2} -a ^ {2} \ right) \ cos ^ {2} \ beta \ right) \ over 2a \ left (a ^ {2} + \ left (c ^ {2} -a ^ {2} \ right) \ cos ^ {2} \ beta \ right) ^ {\ frac {3} {2}}}. \, \!}

Обе эти кривизны всегда положительны, так что каждая точка на сфероиде эллиптическая.

Соотношение сторон

Соотношение сторон сплющенного сфероида / эллипса, c: a, представляет собой отношение полярной длины к экваториальной, в то время как уплощение (также называемая сплющенностью) f - это отношение разницы экваториально-полярной длины к экваториальной длине:

f = a - ca = 1 - ca. {\ displaystyle f = {\ frac {ac} {a}} = 1 - {\ frac {c} {a}}.}

{\ displaystyle е = {\ frac {ac} {a}} = 1 - {\ frac {c} {a}}.}

Первый эксцентриситет (обычно просто эксцентриситет, как указано выше) часто используется вместо уплощения. Он определяется следующим образом:

e = 1 - c 2 a 2 {\ displaystyle e = {\ sqrt {1 - {\ frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}

{\ displaystyle е = {\ sqrt {1 - {\ frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}

Отношения между эксцентриситетом и уплощением следующие:

e = 2 f - f 2 {\ displaystyle e = {\ sqrt {2f-f ^ {2}}}}

{\ displaystyle e = {\ sqrt {2f-f ^ {2}}}}

f = 1 - 1 - e 2 { \ displaystyle f = 1 - {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}

{\ displaystyle f = 1 - {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}

Все современные геодезические эллипсоиды определяются большой полуосью плюс либо малой полуосью (задающей соотношение сторон), либо сплющивание, или первый эксцентриситет. Хотя эти определения математически взаимозаменяемы, реальные вычисления должны терять некоторую точность. Чтобы избежать путаницы, при определении эллипсоида его собственные значения считаются точными в той форме, в которой оно задается.

Приложения

Наиболее распространенными формами распределения плотности протонов и нейтронов в атомном ядре являются сферические, вытянутые и сжатые сфероидальные, где полярная ось считается осью вращения (или направлением вектора момента вращения ). Деформированные формы ядер возникают в результате конкуренции между электромагнитным отталкиванием между протонами, поверхностным натяжением и квантовыми эффектами оболочки.

сплюснутыми сфероидами

Планета Юпитер представляет собой сплюснутый сфероид с уплощением 0,06487

Сплюснутый сфероид - приблизительная форма вращающихся планет и других небесных тел. тела, включая Землю, Сатурн, Юпитер и быстро вращающуюся звезду Альтаир. Сатурн - самая сжатая планета в Солнечной системе с сглаживанием, равным 0,09796. Просвещение ученый Исаак Ньютон, опираясь на эксперименты с маятником Джина Ричера и теории Христиана Гюйгенса для их интерпретации, заключил, что Юпитер и Земля представляют собой сплюснутые сфероиды из-за их центробежной силы. Разнообразные картографические и геодезические системы Земли основаны на опорных эллипсоидах, все из которых являются сжатыми.

A научно-фантастический пример чрезвычайно сжатой планеты - Месклин из романа Хэла Клемента Миссия гравитации.

Вытянутые сфероиды

Австралийские правила футбол.

Вытянутый сфероид - это приблизительная форма мяча в некоторых видах спорта, например, в регби.

Несколько лун Солнечной системы имеют приблизительные вытянутые сфероиды в формы, хотя на самом деле это трехосные эллипсоиды. Примерами являются спутники Сатурна Мимас, Энцелад и Тетис и спутник Урана Миранда..

В отличие от превращения в сжатые сфероиды из-за быстрого вращения, небесные объекты слегка искажаются в вытянутые сфероиды из-за приливных сил, когда они вращаются вокруг массивного тела по близкой орбите. Наиболее ярким примером является спутник Юпитера Ио, который из-за небольшого эксцентриситета становится немного более или менее вытянутым по своей орбите, вызывая интенсивный вулканизм. Большая ось вытянутого сфероида в этом случае проходит не через полюса спутника, а через две точки на его экваторе, прямо обращенные к основному объекту и от него.

Этот термин также используется для описания формы некоторых туманностей, таких как Крабовидная туманность. Зоны Френеля, используемые для анализа распространения волн и интерференция в космосе представляют собой серию концентрических вытянутых сфероидов с главными осями, выровненными вдоль прямой видимости между передатчиком и приемником.

Атомные ядра элементов актинидов и лантаноидов имеют форму вытянутых сфероидов. В анатомии почти сфероидные органы, такие как яичко, можно измерить по их длинной и короткой осям.

Многие подводные лодки имеют форму, которую можно описать как вытянутый сфероид.

Динамические свойства

Для сфероида, имеющего однородную плотность, момент инерции является моментом инерции эллипсоида с дополнительной осью симметрии. Учитывая описание сфероида как имеющего большую ось c и второстепенные оси a и b, моменты инерции вдоль этих главных осей равны C, A и B. Однако в сфероиде второстепенные оси симметричны. Таким образом, наши инерционные члены вдоль главных осей: