e (математическая константа) - e (mathematical constant)

e ≈ 2,71828..., основание натурального логарифма График уравнения y = 1 / x. Здесь e - уникальное число больше 1, что делает заштрихованную область равной 1.

Число e, известное как число Эйлера, является математической константой, приблизительно равной 2.71828, и его можно характеризовать по-разному. Это основание натурального логарифма. Это предел из (1 + 1 / n), когда n приближается к бесконечности, выражение, которое возникает при изучении сложных процентов. Его также можно вычислить как сумму бесконечного ряда

$e\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; 1\; n!\; Знак\; равно\; 1\; 1\; +\; 1\; 1\; +\; 1\; 1\; \cdot \; 2\; +\; 1\; 1\; \cdot \; 2\; \cdot \; 3\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; e\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n!\}\; \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; \backslash \; cdot\; 2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; \backslash \; cdot\; 2\; \backslash \; cdot\; 3\}\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

Это также уникальное положительное число a такое, что график функции y = a имеет единицу наклон при x = 0.

(natural) экспоненциальная функция f (x) = e - это единственная функция, которая равна своей собственной производной с начальным значением f (0) = 1 (и, следовательно, можно определим e как f (1)). Натуральный логарифм или логарифм по основанию e - это функция, обратная к естественной экспоненциальной функции. Натуральный логарифм числа k>1 может быть определен непосредственно как область под кривой y = 1 / x между x = 1 и x = k, и в этом случае e является значением k, для которого эта площадь равна единице (см. изображение). Существуют различные другие характеристики..

e иногда называют числом Эйлера, в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера (не путать с γ, числом Эйлера - Константа Маскерони, иногда называемая просто константой Эйлера) или константой Напьера . Однако, как говорят, выбор Эйлера символа e был сохранен в его честь. Константа была обнаружена швейцарским математиком Якобом Бернулли при изучении сложных процентов.

Число e имеет огромное значение в математике наряду с 0, 1, π и я. Все пять этих чисел играют важную и повторяющуюся роль в математике, и эти пять констант появляются в одной формулировке тождества Эйлера. Как и константа π, e также является иррациональным (т. Е. Не может быть представлено как отношение целых чисел) и трансцендентным (т. Е. Не является корнем любого ненулевого полинома с рациональными коэффициентами). Для 50 десятичных разрядов значение e составляет

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995... (последовательность A001113 в OEIS ).

• 1 История
• 2 Приложения
  • 2.1 Сложный процент
  • 2.2 Испытания Бернулли
  • 2.3 Стандартное нормальное распределение
  • 2.4 Расстройства
  • 2.5 Оптимальные задачи планирования
  • 2.6 Асимптотика
• 3 В исчислении
  • 3.1 Альтернативные характеристики
• 4 Свойства
  • 4.1 Исчисление
  • 4.2 Неравенства
  • 4.3 Экспоненциальные функции
  • 4.4 Теория чисел
  • 4.5 Комплексные числа
  • 4.6 Дифференциальные уравнения
• 5 Представления
  • 5.1 Стохастические представления
  • 5.2 Известные цифры
• 6 В компьютерной культуре
• 7 Примечания
• 8 Дополнительная литература
• 9 Внешние ссылки

Первые упоминания о константе были опубликованы в 1618 году в таблице приложения к работе по логарифмам Джона Напьера. Однако это не содержало самой константы, а просто список логарифмов, вычисленных из константы. Предполагается, что таблица была написана Уильямом Отредом.

. Открытие самой константы приписывают Джейкобу Бернулли в 1683 году, который попытался найти значение следующего выражения (которое равно e):

$lim\; n\; \to \; \infty \; (1\; +\; 1\; n)\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}.\}$

Первое известное использование константы, представленное буква b находилась в корреспонденции от Готфрида Лейбница к Христиану Гюйгенсу в 1690 и 1691 годах. Леонард Эйлер ввел букву e как основу для натуральных логарифмов, написав в письме к Кристиану Гольдбаху от 25 ноября 1731 года. Эйлер начал использовать букву е для обозначения константы в 1727 или 1728 году в неопубликованной статье о силах взрыва в пушках, в то время как первое появление e в публикация была в книге Эйлера Mechanica (1736). Хотя некоторые исследователи использовали букву c в последующие годы, буква e была более распространенной и в конечном итоге стала стандартной.

В математике стандартом является набирать константу курсивом как «e»; стандарт ISO 80000-2 : 2009 рекомендует набор констант в вертикальном стиле, но это не было подтверждено научным сообществом.

Сложный процент

Влияние получения 20% годовых на первоначальные инвестиции в 1000 долларов при различных частотах начисления сложных процентов

Джейкоб Бернулли обнаружил эту константу в 1683 году, изучая вопрос о сложных процентах:

Счет начинается с 1 доллара и приносит 100 процентов годовых. Если проценты начисляются один раз, в конце года, стоимость счета в конце года составит 2 доллара США. Что произойдет, если проценты начисляются и начисляются чаще в течение года?

Если проценты начисляются дважды в год, процентная ставка за каждые 6 месяцев будет составлять 50%, поэтому первоначальный 1 доллар умножается на 1,5 дважды, принося 1,00 долл. × 1,5 = 2,25 долл. в конце года. Компаундирование квартальной доходности составляет 1,00 долларов США × 1,25 = 2,4414 доллара США..., а сложение ежемесячных доходов дает 1,00 доллара США × (1 + 1/12) = 2,613035 долларов США. Если имеется n интервалов начисления сложных процентов, процентная ставка для каждого интервала будет составлять 100% / n, а значение на конец года будет $ 1.00 × (1 + 1 / n).

Бернулли заметил, что эта последовательность приближается к пределу (представляющая интерес сила ) с большим n и, следовательно, меньшими интервалами сложения. Еженедельное начисление (n = 52) дает 2,692597 долларов США..., а ежедневное начисление сложных процентов (n = 365) дает 2,714567 долларов США... (примерно на два цента больше). Предел увеличения n - это число, которое стало известно как e. То есть при непрерывном начислении сложных процентов стоимость счета достигнет 2,7182818...

В более общем смысле, счет, который начинается с 1 доллара и предлагает годовую процентную ставку R, через t лет будет приносить e долларов с непрерывным компаундирование.

(Обратите внимание, что R является десятичным эквивалентом процентной ставки, выраженной в процентах, поэтому для 5% -ной ставки R = 5/100 = 0,05.)

Испытания Бернулли

Графики вероятности P отсутствия наблюдения независимых событий, каждое с вероятностью 1 / n после n испытаний Бернулли, и 1 - P vs n; можно заметить, что по мере увеличения n вероятность того, что событие с шансом 1 / n никогда не появится после n попыток, быстро сходится к 1 / e.

Само число e также имеет приложения в теории вероятностей, что явно не связано с экспоненциальным ростом. Предположим, что игрок играет в игровой автомат, который дает выплаты с вероятностью один из n, и играет на нем n раз. Тогда для больших n вероятность того, что игрок проиграет каждую ставку, составляет примерно 1 / e. Для n = 20 это уже примерно 1 / 2,79.

Это пример процесса судебного разбирательства Бернулли. Каждый раз, когда игрок играет в игровые автоматы, шанс на выигрыш составляет один из n. Воспроизведение n раз моделируется биномиальным распределением, которое тесно связано с биномиальной теоремой и треугольником Паскаля. Вероятность выигрыша k раз из n попыток равна:

$(n\; k)\; (1\; n)\; k\; (1\; -\; 1\; n)\; n\; -\; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{nk\}.\}$

В частности, вероятность нулевого выигрыша (k = 0) равна

$(1\; -\; 1\; n)\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}.\}$

Предел приведенного выше выражения, поскольку n стремится к бесконечности, равен 1 / e.

Стандартное нормальное распределение

Нормальное распределение с нулевым средним и единичным стандартным отклонением известно как стандартное нормальное распределение, задаваемое функцией плотности вероятности

$\varphi \; (x)\; =\; 1\; 2\; \pi \; е\; -\; 1\; 2\; х\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; x\; ^\; \{2\}\}.\}$

Ограничение единичной дисперсии (и, следовательно, также единичное стандартное отклонение) приводит к 1/2 в показателе степени и ограничению единичной общей площади под кривой $\varphi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (x)\}$дает множитель $1/2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; 1\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}$. Эта функция симметрична относительно x = 0, где она достигает своего максимального значения $1/2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; 1\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}$и имеет точки перегиба при x = ± 1.

Психологические расстройства

Другое применение e, также обнаруженное частично Якобом Бернулли вместе с Пьером Раймоном де Монмортом, относится к проблеме психических расстройств, также известная как проблема проверки шляпы: n гостей приглашаются на вечеринку, и у двери все гости проверяют свои шляпы с дворецким, который, в свою очередь, складывает шляпы в n коробок, каждая из которых помечена именем одного гостя.. Но дворецкий не спросил, как называются гости, и поэтому складывает шляпы в коробки, выбранные наугад. Задача де Монморта - найти вероятность того, что ни одна из шляп не попадет в нужную коробку. Эта вероятность, обозначенная как $p\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{n\}\; \backslash !\}$, составляет:

$p\; n\; =\; 1\; -\; 1\; 1!\; +1\; 2!\; -\; 1\; 3!\; +\; \cdots \; +\; (-\; 1)\; п\; п!\; Знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; N\; (-\; 1)\; К\; К!.\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{n\}\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1!\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2!\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3!\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{k\}\}\; \{k!\}\}.\}.\}$

Поскольку количество гостей n стремится к бесконечности, p n приближается к 1 / e. Кроме того, количество способов размещения шляп в ящиках так, чтобы ни одна из шляп не оказалась в правом ящике, равно n! / E (округлено до ближайшего целого числа для каждого положительного n).

Оптимальное планирование задачи

Палка длины L разбита на n равных частей. Тогда значение n, которое максимизирует произведение длин, равно

$n\; =\; \lfloor \; L\; e\; \rfloor \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{L\}\; \{e\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\}$или $\lfloor \; L\; e\; \rfloor \; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{L\}\; \{e\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\; +1.\}$

Указанный результат следует из того, что максимальное значение of $x\; -\; 1\; ln\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; ln\; x\}$встречается в $x\; =\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; e\}$(проблема Штейнера, обсуждается в ниже). Величина $x\; -\; 1\; ln\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; ln\; x\}$является мерой информации, полученной из события, происходящего с вероятностью <381.>1 / x {\ displaystyle 1 / x}, так что по существу такое же оптимальное разделение появляется в задачах оптимального планирования, таких как задача секретаря.

Асимптотика

Число e возникает естественно в связи со многими проблемами, связанными с асимптотикой. Примером может служить формула Стирлинга для асимптотики факториальной функции , в которой присутствуют как числа e, так и π :

$п!\; \sim \; 2\; \pi \; n\; (n\; e)\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; n!\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\; n\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{e\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}.\}$

Как следствие,

$e\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; nn!\; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{n\}]\; \{n!\}\}\}.\}$

Графики функций x ↦ a показаны для a = 2 (пунктир), a = e (синий) и a = 4 (пунктир). Все они проходят через точку (0,1), но красная линия (имеющая наклон 1) касается только точки е. Значение функции натурального логарифма для аргумента е, т.е. ln (e), равно 1.

Основная мотивация для введения числа e, особенно в исчислении, заключается в выполнении дифференциального и интегрального исчисления с экспоненциальными функциями и логарифмы. Общая экспоненциальная функция y = a имеет производную, задаваемую limit :

$ddxax\; =\; lim\; h\; \to \; 0\; ax\; +\; h\; -\; axh\; =\; lim\; h\; \to \; 0\; axah\; -\; axh\; =\; ax\; \cdot \; (lim\; h\; \to \; 0\; ah\; -\; 1\; ч).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; a\; ^\; \{x\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{x\; +\; h\}\; -a\; ^\; \{\; x\}\}\; \{h\}\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{x\}\; a\; ^\; \{h\}\; -a\; ^\; \{x\}\}\; \{h\}\}\; \backslash \backslash \; =\; a\; ^\; \{x\; \}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{h\}\; -1\}\; \{h\}\}\; \backslash \; right).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Ограничение в скобках на right не зависит от переменной x. Его значение оказывается логарифмом от a до основания e. Таким образом, когда значение a установлено равным e, этот предел равен 1, и поэтому мы получаем следующее простое тождество:

$d\; d\; x\; e\; x\; =\; e\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; e\; ^\; \{x\}\; =\; e\; ^\; \{x\}.\}$

Следовательно, экспоненциальная функция с основанием e особенно подходит для выполнения вычислений. Выбор e (в отличие от другого числа в качестве основания экспоненциальной функции) значительно упрощает вычисления с использованием производных.

Другая мотивация возникает из рассмотрения производной от основания - логарифма (т.е. log a x) для x>0:

$ddx\; log\; a\; \; x\; =\; lim\; h\; \to \; 0\; журнал\; a\; \; (x\; +\; h)\; -\; журнал\; a\; \; (x)\; h\; =\; lim\; h\; \to \; 0\; журнал\; a\; \; (1\; +\; h\; /\; x)\; x\; \cdot \; h\; /\; x\; =\; 1\; x\; журнал\; a\; \; (lim\; u\; \to \; 0\; (1\; +\; u)\; 1\; u)\; =\; 1\; x\; журнал\; a\; \; e,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; log\; \_\; \{a\}\; x\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; log\; \_\; \{a\}\; (x\; +\; h)\; -\; \backslash \; log\; \_\; \{a\}\; (x)\}\; \{h\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; log\; \_\; \{a\}\; (1\; +\; h\; /\; x)\}\; \{x\; \backslash \; cdot\; h\; /\; x\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \backslash \; log\; \_\; \{a\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; lim\; \_\; \{u\; \backslash \; to\; 0\}\; (1\; +\; u)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{u\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \backslash \; log\; \_\; \{a\}\; e,\; \backslash \; end\; \{выравнивается\}\}\}$

где произведена замена u = h / x. Логарифм по основанию a равен 1, если a равно e. Таким образом, символически

$d\; d\; x\; log\; e\; \; x\; =\; 1\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; log\; \_\; \{e\}\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}.\}$

Логарифм с этим специальным основанием называется натуральным логарифмом., обозначается как ln; он хорошо ведет себя при дифференцировании, так как нет неопределенного предела для проведения расчетов.

Таким образом, есть два способа выбора таких специальных номеров a. Один из способов - установить производную экспоненциальной функции равной a и решить относительно a. Другой способ - установить производную логарифма по основанию, равную 1 / x, и решить относительно a. В каждом случае приходит к удобному выбору базы для проведения расчетов. Оказывается, эти два решения для a на самом деле одно и то же: число e.

Альтернативные характеристики

Пять цветных областей имеют равную площадь и определяют единицы гиперболического угла вдоль гиперболы $xy\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; xy\; =\; 1.\}$

Возможны и другие характеристики e: одна - как предел последовательности, другая - как сумма бесконечного ряда, а третьи полагаются на интегральное исчисление. До сих пор были введены следующие два (эквивалентных) свойства:

1. Число e - это уникальное положительное действительное число такое, что $ddtet\; =\; et\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\; dt\}\}\; e\; ^\; \{t\}\; =\; e\; ^\; \{t\}\}$.
2. Число e - это уникальное положительное действительное число такое, что $ddt\; log\; e\; \; t\; =\; 1\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\; dt\}\}\; \backslash \; log\; \_\; \{e\}\; t\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{t\}\}\}$.

Следующие четыре характеристики могут быть эквивалентны :

3. Число e является пределом

   $е\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; (1\; +\; 1\; n)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\}$

   Аналогично:

   $e\; =\; lim\; t\; \to \; 0\; (1\; +\; t)\; 1\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{t\; \backslash \; to\; 0\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; t\; \backslash \; right)\; ^\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{t\}\}\}$

4. Число e является суммой бесконечного ряда
   $e\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; 1\; n!\; =\; 1\; 0!\; +1\; 1!\; +1\; 2!\; +1\; 3!\; +\; 1\; 4!\; +\; \cdots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n!\}\}\; =\; \{\backslash \; Frac\; \{1\}\; \{0!\}\}\; +\; \{\backslash \; Frac\; \{1\; \}\; \{1!\}\}\; +\; \{\backslash \; Frac\; \{1\}\; \{2!\}\}\; +\; \{\backslash \; Frac\; \{1\}\; \{3!\}\}\; +\; \{\backslash \; Frac\; \{1\}\; \{4!\}\}\; +\; \backslash \; Cdots,\}$
   где п! это факториал числа n. (По соглашению $0!\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{0!\}\; =\; 1\}$.)
5. Число e - это уникальное положительное действительное число, такое что

   $\int \; 1\; e\; 1\; tdt\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{1\}\; ^\; \{e\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{t\}\}\; \backslash ,\; dt\; =\; 1.\}$

6. Если f (t) является экспоненциальной функцией, то величина $\tau \; =\; f\; (t)\; /\; f\; \prime \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; =\; f\; (t)\; /\; f\; \text{'}(t)\}$- константа, иногда называемая постоянной времени (это обратная величина постоянной экспоненциального роста или постоянной спада ). Постоянная времени - это время, за которое экспоненциальная функция увеличивается в e раз: $f\; (t\; +\; \tau )\; =\; ef\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (t\; +\; \backslash \; tau)\; =\; ef\; (t)\}$.

Calculus

Как и в мотивации, экспоненциальная функция e важна отчасти потому, что это уникальная нетривиальная функция, которая является собственной производной (с точностью до умножения на константу):

$ddxex\; =\; ex\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; e\; ^\; \{x\}\; =\; e\; ^\; \{x\}\}$

и, следовательно, его собственное первообразное также l:

$\int \; e\; x\; d\; x\; =\; e\; x\; +\; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; e\; ^\; \{x\}\; \backslash ,\; dx\; =\; e\; ^\; \{x\}\; +\; C.\}$

Неравенства

Экспоненциальные функции $y\; =\; 2\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; 2\; ^\; \{x\}\}$и $y\; =\; 4\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; 4\; ^\; \{x\}\}$пересекают график $y\; =\; x\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; x\; +\; 1\}$, соответственно, при $x\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 1\}$и $x\; =\; -\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; -1\; /\; 2\; \}$. Число $e\; \{\backslash \; displaystyle\; e\}$является уникальным основанием, так что $y\; =\; ex\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; e\; ^\; \{x\}\}$пересекает только в $Икс\; =\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\; =\; 0\}$. Мы можем сделать вывод, что $e\; \{\backslash \; displaystyle\; e\}$лежит между 2 и 4.

Число e - это уникальное действительное число, такое что

для всех положительных x.

Кроме того, у нас есть неравенство

$ex\; \ge \; x\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{x\}\; \backslash \; geq\; x\; +\; 1\}$

для всех действительных x с равенством тогда и только тогда, когда x = 0. Кроме того, e является единственным основанием экспоненты, для которой неравенство a ≥ x + 1 выполняется для всех x. Это предельный случай неравенства Бернулли.

экспоненциально-подобных функций

глобальный максимум $xx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{x\}]\; \{x\}\}\; \}$встречается при x = e.

Задача Штейнера просит найти глобальный максимум для функции

$f\; (x)\; =\; x\; 1\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}.\}$

Этот максимум происходит точно в x = e.

Значение этого максимума составляет 1,4446 6786 1009 7661 3365... (с точностью до 20 знаков после запятой).

Для доказательства неравенство $ey\; \ge \; y\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{y\}\; \backslash \; geq\; y\; +\; 1\}$сверху, оцененное как $y\; =\; (Икс\; -\; е)\; /\; е\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; (xe)\; /\; e\}$и упрощение дает $ex\; /\; e\; \ge \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{x\; /\; e\}\; \backslash \; geq\; x\}$. Итак, $e\; 1\; /\; e\; \ge \; x\; 1\; /\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{1\; /\; e\}\; \backslash \; geq\; x\; ^\; \{1\; /\; x\}\}$для всех положительных значений x.

Аналогично, x = 1 / e - это место, где глобальный минимум встречается для функции

$f\; (x)\; =\; xx\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{x\}\}$

, определенной для положительный x. В более общем смысле, для функции

$f\; (x)\; =\; xxn\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{x\; ^\; \{n\}\}\}$

глобальный максимум для положительного x происходит при x = 1 / e для любое n < 0; and the global minimum occurs at x = e for any n>0.

Бесконечная тетрация

$xxx\; \cdot \; \cdot \; \cdot \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{x\; ^\; \{x\; ^\; \{\backslash \; cdot\; ^\; \{\backslash \; cdot\; ^\; \{\backslash \; cdot\}\}\}\}\}\}$или $\infty \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{^\; \{\backslash \; infty\}\}\; x\}$

сходится тогда и только тогда, когда e ≤ x ≤ e (или приблизительно между 0,0660 и 1,4447), в соответствии с теоремой Леонард Эйлер.

Теория чисел

Действительное число e иррационально. Эйлер доказал это, показав, что его расширение простой цепной дроби бесконечно. (См. Также доказательство Фурье , что e иррационально.)

Кроме того, по теореме Линдеманна – Вейерштрасса, e трансцендентный, что означает, что это не решение какого-либо непостоянного полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами. Это было первое число, которое было доказано трансцендентным, но не было специально построено для этой цели (сравните с числом Лиувилля ); доказательство было дано Чарльзом Эрмитом в 1873 году.

Предполагается, что e является нормальным, что означает, что когда e выражается в любом основании возможные цифры в этой базе равномерно распределены (встречаются с равной вероятностью в любой последовательности заданной длины).

Комплексные числа

экспоненциальная функция e может быть записана как ряд Тейлора

$e\; x\; =\; 1\; +\; x\; 1!\; +\; х\; 2\; 2!\; +\; х\; 3\; 3!\; +\; \cdots \; знак\; равно\; \sum \; N\; знак\; равно\; 0\; \infty \; Икс\; N\; N!\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{x\}\; =\; 1\; +\; \{x\; \backslash \; over\; 1!\}\; +\; \{x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; 2!\}\; +\; \{x\; ^\; \{3\}\; \backslash \; over\; 3!\}\; +\; \backslash \; cdots\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\}$

Поскольку этот ряд сходится для каждого комплексного значения x обычно используется для расширения определения e до комплексных чисел. Это вместе с рядом Тейлора для sin и cos x позволяет вывести формулу Эйлера :

$eix\; =\; cos\; \; x\; +\; i\; sin\; \; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{ix\}\; =\; \backslash \; cos\; x\; +\; i\; \backslash \; sin\; x,\}$

который выполняется для любого комплексного x. Особый случай с x = π - это тождество Эйлера :

$ei\; \pi \; +\; 1\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; pi\}\; +\; 1\; =\; 0,\}$

из которого отсюда следует, что в главной ветви логарифма

$ln\; \; (-\; 1)\; =\; i\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; (-1)\; =\; i\; \backslash \; pi.\}$

Кроме того, используя законы возведения в степень,

$(cos\; \; x\; +\; i\; sin\; \; x)\; n\; =\; (eix)\; n\; =\; einx\; =\; cos\; \; (nx)\; +\; я\; грех\; \; (nx),\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; cos\; x\; +\; i\; \backslash \; sin\; x)\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{ix\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; =\; e\; ^\; \{inx\}\; =\; \backslash \; cos\; (nx)\; +\; i\; \backslash \; sin\; (nx),\}$

что является формулой де Муавра.

Выражение

$cos\; \; x\; +\; i\; sin\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; x\; +\; i\; \backslash \; sin\; x\}$

иногда называют цис (x).

Выражения $sin\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; x\}$и $cos\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; x\}$в терминах экспоненты можно вывести:

$sin\; \; x\; =\; eix\; -\; e\; -\; ix\; 2\; i,\; cos\; \; x\; =\; eix\; +\; e\; -\; ix\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{ix\}\; -e\; ^\; \{-\; ix\}\}\; \{2i\}\},\; \backslash \; qquad\; \backslash \; cos\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{ix\}\; +\; e\; ^\; \{-\; ix\; \}\}\; \{2\}\}.\}$

Дифференциальные уравнения

Семейство функций

$y\; (x)\; =\; C\; ex,\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (x)\; =\; Ce\; ^\; \{x\},\}$

, где C - любое действительное число, является решением дифференциального уравнения

$y\; \prime \; =\; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}=\; y.\}$

Число e можно представить различными способами: как бесконечный ряд, бесконечное произведение, непрерывная дробь или предел последовательности. Два из этих представлений, часто используемых во вводных курсах по исчислению, - это предел

$e\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; (1\; +\; 1\; n)\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\},\}$

, указанные выше, и ряд

$e\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; 1\; n!\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n!\}\}\}$

, полученный путем вычисления при x = 1 вышеуказанного степенного ряда представление e.

Реже встречается непрерывная дробь

$e\; =\; [2;\; 1,\; 2,\; 1,\; 1,\; 4,\; 1,\; 1,\; 6,\; 1,...,\; 1,\; 2\; п,\; 1,...\; ],\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; =\; [2;\; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,\; 1,2n,\; 1,...],\}$

который записан выглядит как

$e\; =\; 2\; +\; 1\; 1\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 1\; +\; 1\; 1\; +\; 1\; 4\; +\; 1\; 1\; +\; 1\; 1\; +\; \ddots .\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; =\; 2\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{2\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{\; 4\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{1+\; \backslash \; ddots\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}.\}$

Эта цепная дробь для e трижды сходится как быстро:

$e\; =\; 1\; +\; 2\; 1\; +\; 1\; 6\; +\; 1\; 10\; +\; 1\; 14\; +\; 1\; 18\; +\; 1\; 22\; +\; 1\; 26\; +\; \ddots .\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{2\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{6\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{10\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{14\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{\; 18\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{22\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{26+\; \backslash \; ddots\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}.\}$

Многие другие серии, последовательность, непрерывная дробь, и представления бесконечного произведения e были доказаны.

Стохастические представления

В дополнение к точным аналитическим выражениям для представления e существуют стохастические методы для оценки e. Один такой подход начинается с бесконечной последовательности независимых случайных величин X 1, X 2..., взятых из равномерного распределения на [0, 1]. Пусть V будет наименьшим числом n такое, что сумма первых n наблюдений превышает 1:

$V\; =\; min\; \{n\; \mid \; X\; 1\; +\; X\; 2\; +\; \cdots \; +\; X\; n>1\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \backslash \; min\; \backslash \; left\; \backslash \; \{n\; \backslash \; mid\; X\_\; \{1\}\; +\; X\_\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; X\_\; \{n\}>1\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Затем ожидаемое значение V равно e: E (V) = e.

Известные цифры

Количество известных цифр e существенно увеличилось за последние десятилетия. Это связано с как для повышения производительности компьютеров, так и для улучшения алгоритмов.

Количество известных десятичных цифр e

Дата	Десятичные цифры	Вычисления, выполняемые
1690	1	Джейкоб Бернулли
1714	13	Роджер Котс
1748	23	Леонард Эйлер
1853	137	Уильям Шанкс
1871	205	Уильям Шанкс
1884	346	Дж. Маркус Бурман
1949	2,010	Джон фон Нейман (на ENIAC )
1961	100,265	Дэниел Шэнкс и Джон Ренч
1978	116,000	Стив Воз niak на Apple II

Примерно с 2010 года распространение современных высокоскоростных настольных компьютеров сделало возможным для большинства любителей вычислять триллионы цифр е в допустимых пределах. времени. В настоящее время оно насчитывает 8 триллионов цифр.

В период появления интернет-культуры отдельные лица и организации иногда отдавали дань уважения числу e.

В раннем примере компьютерный ученый Дональд Кнут позволил номерам версий своей программы Metafont приблизиться к e. Варианты: 2, 2.7, 2.71, 2.718 и т. Д.

В другом случае, IPO подача заявки на Google в 2004 году, а не обычный раунд -численная сумма денег, компания объявила о своем намерении привлечь 2 718 281 828 долларов США, что составляет е миллиарда долларов с округлением до ближайшего доллара. Компания Google также разработала рекламный щит, который появился в самом центре Кремниевой долины, а затем в Кембридже, Массачусетс ; Сиэтл, Вашингтон ; и Остин, Техас. Он гласил: «{первое 10-значное простое число в последовательных цифрах e}.com». Решение этой проблемы и посещение рекламируемого (ныне несуществующего) веб-сайта привело к еще более сложной проблеме, которая, в свою очередь, привела к Google Labs, где посетителю предлагалось отправить резюме. Первое 10-значное простое число в e - это 7427466391, которое начинается с 99-й цифры.

• Maor, Eli; e: История числа, ISBN 0-691-05854-7
• Комментарий к сноске 10 книги Prime Obsession для другое стохастическое представление
• Маккартин, Брайан Дж. (2006). "е: Мастер всего" (PDF). Математический интеллект. 28 (2): 10–21. doi : 10.1007 / bf02987150.

На Викискладе есть средства массовой информации, связанные с E (математическая константа).

Викицитатник содержит цитаты, связанные с: E (математическая константа)

• Число e для 1 миллиона разрядов и 2 и 5 миллионов разрядов
• e Приближение - Wolfram MathWorld
• Самые ранние случаи использования символов для Константы янв. 13, 2008
• «История e», Робин Уилсон в Gresham College, 28 февраля 2007 г. (доступно для загрузки аудио и видео)
• e Search Engine 2 миллиард доступных для поиска цифр e, π и √2