Войти
График y = x с точкой перегиба в (0,0), которая также является неподвижной точкой.
Корни , стационарными точками, точкой перегиба и вогнутостью кубический многочлен x - 3x - 144x + 432 (черная линия) и его первая и вторая производные (красный и синий). В дифференциальном исчислении и дифференциале геометрия, точка перегиба, точка перегиба, гибкость или перегиб (британский английский: inflexion ) - точка на гладкой плоской кривой , в которой кривизна меняет знак. В частности, в случае графика функции, это точка, в которой функция изменяется с вогнутой (вогнутой вниз) на выпуклой (вогнутой вверх), или наоборот.
Например, если кривая является графиком функции y = f (x) из класса дифференцируемости C, точка перегиба кривой находится там, где f '', вторая производная функции f, обращается в нуль (f '' = 0) и меняет знак в точке (с положительного на отрицательный или с отрицательного на положительный). Точка, в которой вторая производная обращается в нуль, но не меняет своего знака, иногда называется точкой волнообразности или точкой волнообразия .
В алгебраической геометрии точка перегиба определяется несколько более широко, как обычная точка, где касательная пересекает кривую до порядка не менее 3, а точка волнистости или гиперфлекс определяется как точка, где касательная пересекает кривую по порядку не менее 4.
Точки перегиба в дифференциальной геометрии - это точки кривой, где кривизна меняет свой знак.
Например, график дифференцируемой функции имеет точку перегиба в (x, f (x)) тогда и только тогда, когда ее первая производная, f ', имеет изолированный экстремум в точке x. (Это не то же самое, что сказать, что f имеет экстремум). То есть в некоторой окрестности x является единственной точкой, в которой f 'имеет (локальный) минимум или максимум. Если все экстремумы f 'являются изолированными, то точка перегиба - это точка на графике f, в которой касательная пересекает кривую.
Нисходящая точка перегиба - это точка перегиба, в которой производная отрицательна по обе стороны от точки; другими словами, это точка перегиба, вблизи которой функция убывает. Восходящая точка перегиба - это точка, в которой производная положительна по обе стороны от точки; другими словами, это точка перегиба, вблизи которой функция возрастает.
Для алгебраической кривой неособая точка является точкой перегиба тогда и только тогда, когда число пересечения касательной линии и кривой (в точке касания) больше 2. Главный результат состоит в том, что множество точек перегиба алгебраической кривой совпадает с множеством пересечений кривой с кривой Гессе.
. Для гладкой кривой, заданной параметром параметрическим В уравнениях точка является точкой перегиба, если ее кривизна со знаком изменяется с плюса на минус или с минуса на плюс, то есть меняет знак .
Для гладкой кривой, которая является графиком дважды дифференцируемой функции точка перегиба - это точка на графике, в которой вторая производная имеет изолированный ноль и меняет знак.
График f (x) = sin (2x) от −π / 4 до 5π / 4; вторая производная равна f ″ (x) = –4sin (2x), и ее знак, таким образом, противоположен знаку f. Касательная отображается синим цветом, когда кривая имеет форму выпуклой (выше ее собственной касательной ), зеленым цветом, если она вогнута (ниже ее касательной), и красным цветом в точках перегиба: 0, π / 2 и π Если вторая производная, f ″ (x) существует в x 0, а x 0 является точкой перегиба для f, то f ″ (x 0) = 0, но этого условия недостаточно для того, чтобы иметь точку перегиба, даже если существуют производные любого порядка. В этом случае также необходимо, чтобы ненулевая производная низшего порядка (выше второй) была нечетного порядка (третья, пятая и т.д.). Если ненулевая производная самого низкого порядка имеет четный порядок, точка является не точкой перегиба, а точкой волнистости. Однако в алгебраической геометрии как точки перегиба, так и точки волнистости обычно называют точками перегиба. Примером точки волнистости является x = 0 для функции f, заданной как f (x) = x.
В предыдущих утверждениях предполагается, что f имеет некоторую ненулевую производную более высокого порядка в точке x, что не обязательно так. Если это так, то условие, что первая ненулевая производная имеет нечетный порядок, означает, что знак f '(x) один и тот же по обе стороны от x в окрестности точки x. Если этот знак положительный, точка является восходящей точкой перегиба; если он отрицательный, точка является нисходящей точкой перегиба.
Достаточные условия для точек перегиба:
1) Достаточным условием существования точки перегиба является:
2) Другое достаточное условие существования требует, чтобы f ″ (x + ε) и f ″ (x - ε) имели противоположные знаки в окрестности x (Бронштейн и Семендяев 2004, с. 231).
y = x - x имеет вторую производную нуля в точке (0,0), но это не точка перегиба, потому что четвертая производная является первой не -нулевая производная (третья производная также равна нулю). Точки перегиба также могут быть классифицированы в соответствии с тем, является ли f '(x) нулем или отличным от нуля.
Стационарная точка перегиба не является локальным экстремумом. В более общем смысле, в контексте функций нескольких вещественных переменных, стационарная точка, которая не является локальным экстремумом, называется седловой точкой.
Примером стационарной точки перегиба является точка (0, 0) на графике y = x. Касательная - это ось x, которая разрезает график в этой точке.
Примером нестационарной точки перегиба является точка (0, 0) на графике y = x + ax для любого ненулевого a. Касательная в начале координат - это линия y = ax, которая разрезает график в этой точке.
Некоторые функции изменяют вогнутость, не имея точек перегиба. Вместо этого они могут изменять вогнутость вокруг вертикальных асимптот или разрывов. Например, функция 
