Касательная

В математике прямая линия, касающаяся плоской кривой, но не пересекающая ее. Касательная к кривой. Красная линия является касательной к кривой в точке, отмеченной красной точкой. Касательная плоскость к сфере

В геометрии касательная линия (или просто касательная ) к плоскости кривая в данной точке - это прямая, которая «только касается» кривой в этой точке. Лейбниц определил его как линию, проходящую через пару бесконечно близких точек на кривой. Точнее, прямая линия называется касательной к кривой y = f (x) в точке x = c, если прямая проходит через точку (c, f (c)) на кривой и имеет наклон f ' (c), где f '- производная функции f. Аналогичное определение применяется к пространственным кривым и кривым в n-мерном евклидовом пространстве.

Когда он проходит через точку пересечения касательной и кривой, называемую точкой касания, касательная линия «идет в том же направлении», что и кривая, и, таким образом, является наилучшим приближением прямой к кривой в этой точке.

Аналогично, касательная плоскость к поверхности в данной точке - это плоскость , которая «просто касается» поверхности в этой точке. Понятие касательной является одним из самых фундаментальных понятий в дифференциальной геометрии и было широко обобщено; см. Касательное пространство.

Слово «касательная» происходит от латинского тангере, «касаться».

Содержание

• 1 История
• 2 Касательная линия к кривой
  • 2.1 Аналитический подход
    • 2.1.1 Интуитивное описание
    • 2.1.2 Более строгое описание
    • 2.1.3 Как используется метод может выйти из строя
  • 2.2 Уравнения
  • 2.3 Нормальная линия к кривой
  • 2.4 Угол между кривыми
  • 2.5 Множественные касательные в точке
• 3 Касательные окружности
• 4 Поверхности и многомерные многообразия
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Источники
• 8 Внешние ссылки

История

Евклид делает несколько ссылок на касательную (ἐφαπτομένη ephaptoménē) к окружности в книге III книги Элементы (ок. 300 г. до н. Э.). В Аполлоний в работе «Коникс» (ок. 225 г. до н.э.) он определяет касательную как линию, между которой и кривой не может проходить никакая другая прямая линия. ок. 212 г. до н.э.) нашел касательную к архимедовой спирали, рассматривая путь точки, движущейся по кривой.

В 1630-х годах Ферма разработал технику адекватность для вычисления касательных и других задач анализа и использовала это для вычисления касательных к параболе. Методика адекватности аналогична взятию разницы между $f\; (x\; +\; h)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; +\; h)\}$и $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$и делением на степень $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$. Независимо Декарт использовал свой метод нормалей, основанный на наблюдении, что радиус круга всегда перпендикулярен самой окружности.

Эти методы привели к развитию дифференциальное исчисление в 17 веке. Многие внесли свой вклад. Роберваль открыл общий метод рисования касательных, рассматривая кривую, описываемую движущейся точкой, движение которой является результатом нескольких более простых движений. Рене-Франсуа де Слуз и Йоханнес Худде нашел алгебраические алгоритмы нахождения касательных. Дальнейшие разработки включали разработки Джона Уоллиса и Исаака Бэрроу, которые привели к теории Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница.

Определение 1828 г. касательная была «прямой линией, которая касается кривой, но не пересекает ее». Это старое определение предотвращает касание точек перегиба. Это было отклонено, и современные определения эквивалентны определениям Лейбница, который определил касательную линию как линию, проходящую через пару бесконечно близких точек на кривой.

Касательная линия к кривой

Касательная, хорда и секанс к окружности

Интуитивное представление о том, что касательная линия "касается «кривую можно сделать более явной, рассматривая последовательность прямых линий (секущих ), проходящих через две точки, A и B, лежащие на функциональной кривой. Касательная в A - это предел, когда точка B приближается или стремится к A. Существование и уникальность касательной зависит от определенного типа математической гладкости, известной как «дифференцируемость». Например, если две дуги окружности встречаются в острой точке (вершине), тогда нет однозначно определенной касательной в вершине, потому что предел прогрессии секущих линий зависит от направления, в котором «точка B» приближается к вершине.

В большинстве точек касательная касается кривой, не пересекая ее (хотя при продолжении может пересекать кривую в других местах, удаленных от точки касания). Точка, в которой касательная (в этой точке) пересекает кривую, называется точкой перегиба. Окружности, параболы, гиперболы и эллипсы не имеют точки перегиба, но более сложные кривые имеют, как график кубическая функция, которая имеет ровно одну точку перегиба, или синусоиду, которая имеет две точки перегиба на каждый период синуса .

И наоборот, может случиться так, что Кривая полностью лежит по одну сторону от прямой, проходящей через точку на ней, и все же эта прямая линия не является касательной. Это имеет место, например, для линии, проходящей через вершину треугольника и не пересекающей ее в противном случае, - где касательная линия не существует по причинам, объясненным выше. В выпуклой геометрии такие линии называются опорными линиями.

. В каждой точке движущаяся линия всегда касается кривой кривой. Его наклон является производной ; зеленый цвет обозначает положительную производную, красный обозначает отрицательную производную, а черный обозначает нулевую производную. Точка (x, y) = (0,1), где касательная пересекает кривую, не является max или min, но является точкой перегиба.

Аналитический подход

Геометрическая идея касательной как предела секущих линий служит мотивацией для аналитических методов, которые используются для явного нахождения касательных. Вопрос о нахождении касательной к графику или проблема касательной, был одним из центральных вопросов, приведших к развитию исчисления в 17 веке. Во второй книге своей Геометрия Рене Декарт сказал о проблеме построения касательной к кривой: «И я осмелюсь сказать, что это не только самая полезная и самая общая проблема в геометрии, которую я знаю, но даже о которой я когда-либо хотел знать ».

Интуитивное описание

Предположим, что кривая задана как график функция, y = f (x). Чтобы найти касательную в точке p = (a, f (a)), рассмотрим другую ближайшую точку q = (a + h, f (a + h)) на кривой. Наклон секущей линии , проходящей через p и q, равен разностному коэффициенту

$f\; (a\; +\; h)\; -\; f\; (a)\; h.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (a\; +\; h)\; -f\; (a)\}\; \{h\}\}.\}$

Когда точка q приближается к p, что соответствует уменьшению и уменьшению h, коэффициент разности должен приближаться к определенное предельное значение k, которое представляет собой наклон касательной в точке p. Если k известно, уравнение касательной можно найти в форме «точка-наклон»:

$y\; -\; f\; (a)\; =\; k\; (x\; -\; a).\; \{\backslash \; displaystyle\; yf\; (a)\; =\; k\; (xa).\; \backslash ,\}$

Более строгое описание

Чтобы сделать предыдущее рассуждение строгим, нужно объяснить, что имеется в виду под коэффициентом разности, приближающимся к определенному пределу значение k. Точная математическая формулировка была дана Коши в 19 веке и основана на понятии предела. Предположим, что граф не имеет излома или острого края в точке p, и он не является ни вертикальным, ни слишком изгибающимся рядом с точкой p. Тогда существует уникальное значение k, такое, что по мере приближения h к 0 коэффициент разности становится все ближе и ближе к k, а расстояние между ними становится незначительным по сравнению с размером h, если h достаточно мало. Это приводит к определению наклона касательной к графику как предела разностных коэффициентов для функции f. Этот предел является производной функции f при x = a, обозначенной f '(a). Используя производные, уравнение касательной можно сформулировать следующим образом:

$y\; =\; f\; (a)\; +\; f\; \prime \; (a)\; (x\; -\; a).\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; f\; (a)\; +\; f\; \text{'}(a)\; (xa).\; \backslash ,\}$

Исчисление предоставляет правила для вычисления производных функций, которые задаются формулами, например, степенная функция, тригонометрические функции, экспоненциальная функция, логарифм и их различные комбинации. Таким образом, уравнения касательных к графикам всех этих функций, как и многих других, могут быть найдены методами исчисления.

Как метод может потерпеть неудачу

Расчет также демонстрирует, что на их графиках есть функции и точки, для которых не существует предела, определяющего наклон касательной. Для этих точек функция f недифференцируема. Есть две возможные причины того, что метод нахождения касательных на основе пределов и производных не сработает: либо геометрическая касательная существует, но это вертикальная линия, которую нельзя представить в форме точечного наклона, поскольку у нее нет slope, или график демонстрирует одно из трех поведений, исключающих геометрическую касательную.

График y = x иллюстрирует первую возможность: здесь коэффициент разности при a = 0 равен h / h = h, который становится очень большим, когда h приближается к 0. Эта кривая имеет касательную линию в точке происхождение вертикальное.

График y = x иллюстрирует другую возможность: этот график имеет куспид в начале координат. Это означает, что, когда h приближается к 0, коэффициент разности при a = 0 приближается к плюс или минус бесконечности в зависимости от знака x. Таким образом, обе ветви кривой находятся вблизи полувертикальной линии, для которой y = 0, но ни одна не находится рядом с отрицательной частью этой прямой. По сути, в этом случае нет касательной в начале координат, но в некотором контексте можно рассматривать эту прямую как касательную и даже, в алгебраической геометрии, как двойную касательную.

График y = | x | абсолютного значения Функция состоит из двух прямых с разными наклонами, соединенных в начале координат. Когда точка q приближается к началу координат справа, секущая линия всегда имеет наклон 1. Когда точка q приближается к началу координат слева, секущая линия всегда имеет наклон -1. Следовательно, нет единственной касательной к графу в начале координат. Наличие двух разных (но конечных) уклонов называется углом.

Наконец, поскольку дифференцируемость подразумевает непрерывность, контрпозитивный состояния разрывности подразумевает недифференцируемость. Любой такой скачок или точечный разрыв не будет иметь касательной. Сюда входят случаи, когда один наклон приближается к положительной бесконечности, а другой - к отрицательной бесконечности, что приводит к разрыву бесконечного скачка

Уравнения

Когда кривая задается как y = f (x), тогда наклон касательной составляет $dydx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\},\}$, поэтому по формуле угол наклона уравнение касательной прямой в (X, Y) равно

$y\; -\; Y\; =\; dydx\; (X)\; \cdot \; (x\; -\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; yY\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; (X)\; \backslash \; cdot\; (xX)\}$

где (x, y) - координаты любой точки на касательной, а производная вычисляется как $x\; =\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; X\}$.

Когда кривая задается формулой y = f ( x), уравнение касательной также можно найти, используя деление полинома для деления $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash ,\; (x)\}$на $(Икс\; -\; Икс)\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; (хХ)\; ^\; \{2\}\}$; если остаток обозначен как $g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\}$, то уравнение касательной линии задается как

$y\; =\; g\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; g\; (x).\}$

Когда уравнение кривой задано в форме f (x, y) = 0, тогда значение наклона можно найти с помощью неявного дифференцирования, что дает

$dydx\; =\; -\; \partial \; f\; \partial \; x\; \partial \; f\; \partial \; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\}.\}$

Уравнение касательной прямой в точке (X, Y) такой, что f (X, Y) = 0, тогда будет

$\partial \; f\; \partial \; x\; (X,\; Y)\; \cdot \; (x\; -\; X)\; +\; \partial \; f\; \partial \; Y\; (Икс,\; Y)\; \cdot \; (Y\; -\; Y)\; знак\; равно\; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (X,\; Y)\; \backslash \; cdot\; (xX)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\; \}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; (X,\; Y)\; \backslash \; cdot\; (yY)\; =\; 0.\}$

Это уравнение остается верным, если $\partial \; f\; \partial \; y\; (X,\; Y)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; (X,\; Y)\; =\; 0\}$, но $\partial \; f\; \partial \; x\; (X,\; Y)\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (X,\; Y)\; \backslash \; neq\; 0\}$(в этом случае наклон касательной бесконечен). Если $\partial \; е\; \partial \; Y\; (X,\; Y)\; =\; \partial \; f\; \partial \; x\; (X,\; Y)\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; (X,\; Y)\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (X,\; Y)\; =\; 0,\}$касательная линия не определена, а точка (X, Y) называется особой.

Для алгебраических кривых вычисления могут быть несколько упрощены путем преобразования в однородные координаты. В частности, пусть однородное уравнение кривой имеет вид g (x, y, z) = 0, где g - однородная функция степени n. Тогда, если (X, Y, Z) лежит на кривой, из теоремы Эйлера следует

$\partial \; g\; \partial \; x\; \cdot \; X\; +\; \partial \; g\; \partial \; y\; \cdot \; Y\; +\; \partial \; g\; \partial \; z\; \cdot \; Z\; =\; ng\; (\; Икс,\; Y,\; Z)\; знак\; равно\; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; g\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; cdot\; X\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; g\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; cdot\; Y\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; g\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; cdot\; Z\; =\; ng\; (X,\; Y,\; Z)\; =\; 0.\}$Отсюда следует, что однородное уравнение касательной прямой имеет вид

$\partial \; g\; \partial \; x\; (X,\; Y,\; Z)\; \cdot \; Икс\; +\; \partial \; g\; \partial \; Y\; (X,\; Y,\; Z)\; \cdot \; Y\; +\; \partial \; g\; \partial \; Z\; (X,\; Y,\; Z)\; \cdot \; Z\; =\; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; g\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (X,\; Y,\; Z)\; \backslash \; cdot\; x\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; g\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; (X,\; Y,\; Z)\; \backslash \; cdot\; y\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; g\}\; \{\backslash \; partial\; z\; \}\}\; (X,\; Y,\; Z)\; \backslash \; cdot\; z\; =\; 0.\}$

Уравнение касательной прямой в декартовых координатах можно найти, задав в этом уравнении z = 1.

Чтобы применить это к алгебраические кривые, запишите f (x, y) как

$f\; =\; un\; +\; un\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; u\; 1\; +\; u\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; u\_\; \{n\}\; +\; u\_\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; dots\; +\; u\_\; \{1\}\; +\; u\_\; \{0\}\; \backslash ,\}$

, где каждое u r является суммой всех членов степени r. Тогда однородное уравнение кривой имеет вид

$g\; =\; un\; +\; un\; -\; 1\; z\; +\; \cdots \; +\; u\; 1\; zn\; -\; 1\; +\; u\; 0\; zn\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; u\_\; \{n\}\; +\; u\_\; \{n-1\}\; z\; +\; \backslash \; dots\; +\; u\_\; \{1\}\; z\; ^\; \{n-1\}\; +\; u\_\; \{0\}\; z\; ^\; \{n\}\; =\; 0.\; \backslash ,\}$

Применение приведенного выше уравнения и установка z = 1 дает

$\partial \; f\; \partial \; Икс\; (Икс,\; Y)\; \cdot \; Икс\; +\; \partial \; е\; \partial \; Y\; (X,\; Y)\; \cdot \; Y\; +\; \partial \; g\; \partial \; Z\; (X,\; Y,\; 1)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \}\; (X,\; Y)\; \backslash \; cdot\; x\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; (X,\; Y)\; \backslash \; cdot\; y\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; g\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; (X,\; Y,\; 1)\; =\; 0\}$

как уравнение касательной. Уравнение в этой форме часто проще использовать на практике, поскольку после его применения не требуется дальнейшего упрощения.

Если кривая задана параметрически как

$x\; =\; x\; (t),\; y\; =\; y\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; x\; (t),\; \backslash \; quad\; y\; =\; y\; (t)\}$

, то наклон касательной равен

$dydx\; =\; dydtdxdt\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; dy\}\; \{dx\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dt\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dt\}\}\}\}$

, что дает уравнение для касательной при $t\; =\; T,\; Икс\; знак\; равно\; Икс\; (T),\; Y\; знак\; равно\; Y\; (T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash ,\; T\; =\; T,\; \backslash ,\; X\; =\; X\; (T),\; \backslash ,\; Y\; =\; Y\; (T)\}$as

$dxdt\; (T)\; \cdot \; (y\; -\; Y)\; =\; dydt\; (T)\; \cdot \; (x\; -\; X).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dt\}\}\; (T)\; \backslash \; cdot\; (yY)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dt\}\}\; (T)\; \backslash \; cdot\; (xX).\}$

Если $dxdt\; (T)\; =\; dydt\; (T)\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dt\}\}\; (T)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dt\}\}\; (T)\; =\; 0,\}$касательная не определена. Однако может случиться так, что касательная линия существует и может быть вычислена из неявного уравнения кривой.

Нормальная линия к кривой

Линия, перпендикулярная касательной к кривой в точке касания, называется нормальной линией к кривой в этой точке. Наклоны перпендикулярных линий имеют произведение -1, поэтому, если уравнение кривой имеет вид y = f (x), то наклон нормальной линии равен

$-\; 1\; dydx\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\}\}$

и отсюда следует, что уравнение нормальной линии в точке (X, Y) равно

$(x\; -\; X)\; +\; dydx\; (y\; -\; Y)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; (xX)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; (yY)\; =\; 0.\}$

Аналогично, если уравнение кривой имеет вид f (x, y) = 0, то уравнение нормальной прямой дается выражением

$\partial \; е\; \partial \; Y\; (x\; -\; X)\; -\; \partial \; f\; \partial \; x\; (y\; -\; Y)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; (xX)\; -\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (yY)\; =\; 0.\}$

Если кривая задана параметрически как

$x\; =\; x\; (t),\; y\; =\; y\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; x\; (t),\; \backslash \; quad\; y\; =\; y\; (t)\}$

тогда уравнение нормальной линии:

$dxdt\; (x\; -\; X)\; +\; dydt\; (y\; -\; Y)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dt\}\}\; (xX)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dt\}\}\; (yY)\; =\; 0.\}$

Угол между кривыми

Угол между двумя кривыми в точке, где они пересекаются, определяется как угол между Проведите в этой точке свои касательные. Более конкретно, две кривые называются касательными в точке, если они имеют одну и ту же касательную в точке, и ортогональными, если их касательные линии ортогональны.

Множественные касательные в точке

Трисектриса лимака: кривая с двумя касательными в начале координат.

Формулы выше не работают, если точка является особой точкой. В этом случае через точку могут проходить две или более ветви кривой, каждая из которых имеет свою касательную линию. Когда точка является началом координат, уравнения этих линий могут быть найдены для алгебраических кривых путем факторизации уравнения, образованного путем исключения всех членов, кроме членов самой низкой степени, из исходного уравнения. Поскольку любая точка может быть сделана исходной точкой путем замены переменных (или путем переноса кривой), это дает метод нахождения касательных линий в любой особой точке.

Например, уравнение трисектрисы лимака, показанное справа:

$(x\; 2\; +\; y\; 2\; -\; 2\; ax)\; 2\; =\; a\; 2\; (x\; 2\; +\; y\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; -2ax)\; ^\; \{2\}\; =\; a\; ^\; \{2\}\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}).\; \backslash ,\}$

Расширение этого и удаление всех членов степени 2, кроме членов, дает

$a\; 2\; (3\; x\; 2\; -\; y\; 2)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; (3x\; ^\; \{2\}\; -y\; ^\; \{2\})\; =\; 0\; \backslash ,\}$

который после разложения становится

$y\; =\; \pm \; 3\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; x.\}$

Итак, это уравнения двух касательных, проходящих через начало координат.

Когда кривая не самопересекается, касательная в контрольной точке все же может быть не определена однозначно, потому что кривая не дифференцируема в этой точке, хотя она дифференцируема в другом месте. В этом случае левая и правая производные определяются как пределы производной, поскольку точка, в которой она оценивается, приближается к контрольной точке соответственно слева (более низкие значения) или справа (более высокие значения). Например, кривая y = | x | не дифференцируема при x = 0: его левая и правая производные имеют наклоны -1 и 1 соответственно; касательные в этой точке с этими наклонами называются левыми и правыми касательными.

Иногда наклоны левой и правой касательных линий равны, поэтому касательные линии совпадают. Это верно, например, для кривой y = x, для которой и левая, и правая производные при x = 0 бесконечны; левая и правая касательные имеют уравнение x = 0.

Касательные окружности

Две пары касательных окружностей. Сверху внутри и ниже снаружи касательные

Две окружности неравного радиуса, обе в одной плоскости, называются касательными друг к другу, если они встречаются только в одной точке. Эквивалентно, две окружности, с радиусами из r i и центрами в (x i, y i), для i = 1, 2 называются касательными друг к другу, если

$(x\; 1\; -\; x\; 2)\; 2\; +\; (y\; 1\; -\; y\; 2)\; 2\; =\; (r\; 1\; \pm \; r\; 2)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (y\_\; \{1\}\; -y\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (r\_\; \{1\}\; \backslash \; pm\; r\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}.\; \backslash ,\}$

• Две окружности являются касательными с внешней стороны, если расстояние между их центрами равно сумме их радиусы.

$(x\; 1\; -\; x\; 2)\; 2\; +\; (y\; 1\; -\; y\; 2)\; 2\; =\; (r\; 1\; +\; r\; 2)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (y\_\; \{1\}\; -y\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (r\_\; \{1\}\; +\; r\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}.\; \backslash ,\}$

• Две окружности имеют внутреннюю касательную, если расстояние между их центрами равно разнице между их радиусами

$(x\; 1\; -\; x\; 2)\; 2\; +\; (y\; 1\; -\; y\; 2)\; 2\; =\; (r\; 1\; -\; r\; 2)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (y\_\; \{1\}\; -y\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (r\_\; \{1\}\; -r\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}.\; \backslash ,\}$

Поверхности и многомерные многообразия

Касательная плоскость к поверхности в данной точке p определяется аналогично касательной в случае кривых. Это наилучшее приближение поверхности плоскостью в точке p, и может быть получено как предельное положение плоскостей, проходящих через 3 различные точки на поверхности рядом с точкой p, когда эти точки сходятся к точке p. В более общем смысле, существует k-мерное касательное пространство в каждой точке k-мерного многообразия в n-мерном евклидовом пространстве.

См. Также

• Метод Ньютона
• Нормаль (геометрия)
• Оскулирующая окружность
• Оскулирующая кривая
• Перпендикуляр
• Субкасательная
• Опорная линия
• Касательный конус
• Тангенциальный угол
• Тангенциальная составляющая
• Касательные линии к окружностям
• Кратность (математика) # Поведение полиномиальной функции вблизи кратного корня
• Алгебраическая кривая # Касательная в точке

Ссылки

Источники

• J. Эдвардс (1892). Дифференциальное исчисление. Лондон: MacMillan and Co., стр. 143 и далее.

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы, связанные с Касательно.

Викиисточник имеет текст 1921 Энциклопедия Кольера статья Касательная.

• , Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Касательная линия". MathWorld.
• Касательная к окружности С интерактивной анимацией
• Касательная и первая производная - интерактивное моделирование