Критическая точка (математика)

абсциссы («x-координаты») красных кружков - это стационарные точки; синие квадраты - точки перегиба.

Критическая точка - это широкий термин, используемый во многих разделах математики.

При работе с функциями вещественной переменной, критическая точка - это точка в области определения функции, в которой функция либо не дифференцируема, либо производная равна нулю. При работе с комплексными переменными критическая точка аналогичным образом является точкой в ​​области определения функции, где она либо не голоморфна, либо производная равна нулю.. Аналогично, для функции нескольких действительных переменных критическая точка - это значение в своей области, где градиент не определен или равен нулю.

Значение функции в критической точке - это критическое значение .

Такое определение распространяется на дифференцируемые карты между R и R, где критическая точка в данном случае является точкой, в которой ранг матрицы якобиана не является максимальным. Он распространяется далее на дифференцируемые отображения между дифференцируемыми многообразиями как точки, где ранг матрицы Якоби уменьшается. В этом случае критические точки также называются точками бифуркации.

В частности, если C является плоской кривой, определяемой неявным уравнением f (x, y) = 0, критические точки проекции на ось x, параллельную оси y, - это точки, в которых касательная к C параллельна оси y, то есть точки, где $\partial \; f\; \partial \; y\; (\; х,\; у)\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; (x,\; y)\; =\; 0\}$. Другими словами, критические точки - это те, в которых не применяется теорема о неявной функции.

Понятие критической точки позволяет математически описать астрономическое явление, которое было необъяснимо до времени Коперника. стационарная точка на орбите планеты - это точка траектории планеты на небесной сфере, где движение планеты, кажется, останавливается, прежде чем возобновится в другом направлении.. Это происходит из-за критической точки проекции орбиты в круг эклиптики.

• 1 Критическая точка функции одной переменной
  • 1.1 Примеры
  • 1.2 Расположение критических точек
• 2 Критические точки неявной кривой
  • 2.1 Использование дискриминанта
• 3 Несколько переменных
  • 3.1 Применение к оптимизации
• 4 Критическая точка дифференцируемой карты
• 5 Применение к топологии
• 6 См. Также
• 7 Ссылки

A критическая точка функции одной действительной переменной, f (x), является значением x 0 в области функции f, где она не дифференцируема или ее производная равна 0 (f '(x 0) = 0). критическое значение - это изображение критической точки под f. Эти концепции могут быть визуализированы через график функции f: в критической точке график имеет горизонтальную касательную, если вы вообще можете ее назначить.

Обратите внимание, что для дифференцируемой функции критическая точка совпадает с стационарной точкой.

. Хотя это легко визуализировать на графике (который представляет собой кривую), понятие критической точки функции не следует путать с понятием критической точки в каком-либо направлении кривой (подробное определение см. в ниже). Если g (x, y) - дифференцируемая функция двух переменных, то g (x, y) = 0 - неявное уравнение кривой. критическая точка такой кривой для проекции, параллельной оси y (отображение (x, y) → x), является точкой кривой, где $\partial \; g\; \partial \; y\; (\; х,\; у)\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; g\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; (x,\; y)\; =\; 0\}$. Это означает, что касательная к кривой параллельна оси y, и что в этой точке g не определяет неявную функцию от x до y (см. теорема о неявной функции ). Если (x 0, y 0) является такой критической точкой, то x 0 представляет собой соответствующее критическое значение . Такая критическая точка также называется точкой бифуркации , так как обычно, когда x изменяется, есть две ветви кривой на стороне x 0 и ноль с другой стороны.

Из этих определений следует, что дифференцируемая функция f (x) имеет критическую точку x 0 с критическим значением y 0, если и только если (x 0, y 0) является критической точкой его графика для проекции, параллельной оси x, с тем же критическим значением y 0. Если f не дифференцируема в точке x 0 из-за того, что касательная становится параллельной оси y, то x 0 снова является критической точкой f, но теперь (x 0, y 0) является критической точкой его графика для проекции, параллельной оси y.

Например, критическими точками единичной окружности уравнения x + y - 1 = 0 являются (0, 1) и (0, -1) для проекции, параллельной ось x и (1, 0) и (-1, 0) для направления, параллельного оси y. Если рассматривать верхний полукруг как график функции $f\; (x)\; =\; 1\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}\}$, то x = 0 является критической точкой с критическим значением 1 из-за того, что производная равна 0, а x = -1 и x = 1 являются критическими точками с критическим значением 0 из-за того, что производная не определена.

Примеры

• Функция f (x) = x + 2x + 3 дифференцируема всюду с производной f ′ (x) = 2x + 2. Эта функция имеет единственную критическую точку −1, поскольку это уникальный номер x 0, для которого 2x 0 + 2 = 0. Эта точка является глобальным минимумом f. Соответствующее критическое значение равно f (−1) = 2. График f представляет собой вогнутую вверх параболу, критическая точка - абсцисса вершины, где касательная линия горизонтальна, а критическое значение является ординатой вершины и может быть представлена ​​пересечением этой касательной и оси y.
• Функция f (x) = x определена для всех x и дифференцируема для x ≠ 0, причем производная f ′ (x) = 2x / 3. Поскольку f не дифференцируема в точке x = 0 и f '(x) ≠ 0 в противном случае, это единственная критическая точка. График функции f имеет в этой точке острие острие с вертикальной касательной. Соответствующее критическое значение равно f (0) = 0.
• Функция абсолютного значения f (x) = | x | дифференцируема всюду, кроме критической точки x = 0, где она имеет точку глобального минимума с критическим значением 0.
• Функция f (x) = 1 / x не имеет критических точек. Точка x = 0 не является критической, потому что она не входит в область определения функции.

Расположение критических точек

По теореме Гаусса-Люка, все полиномы критические точки функции на комплексной плоскости находятся в пределах выпуклой оболочки корней функции. Таким образом, для полиномиальной функции только с действительными корнями все критические точки действительны и находятся между наибольшим и наименьшим корнями.

Гипотеза Сендова утверждает, что, если все корни функции лежат в единичном круге комплексной плоскости, то существует по крайней мере одна критическая точка в пределах единичного расстояния от любого заданного корня.

Критические точки играют важную роль в изучении плоских кривых, определенных неявными уравнениями, в частности для зарисовка их и определение их топологии. Понятие критической точки, которое используется в этом разделе, может показаться отличным от того, что использовалось в предыдущем разделе. Фактически это специализация простого случая общего понятия критической точки, данного ниже.

. Таким образом, мы рассматриваем кривую C, определяемую неявным уравнением $f\; (x,\; y)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; 0\}$, где f - дифференцируемая функция двух переменных, обычно двумерный многочлен. Точки кривой - это точки евклидовой плоскости, декартовы координаты которой удовлетворяют уравнению. Есть две стандартные проекции $\pi \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{y\}\}$и $\pi \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{x\}\}$, определяется как $\pi \; y\; ((x,\; y))\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{y\}\; ((x,\; y))\; =\; x\}$и $\pi \; x\; ((x,\; y))\; =\; y,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{x\}\; ((x,\; y))\; =\; y,\}$, которые отображают кривую на координатные оси. Их называют проекцией, параллельной оси y, и проекцией, параллельной оси x, соответственно.

Точка C является критической для $\pi \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{y\}\}$, если касательная к C существует и параллельно оси y. В этом случае изображения на $\pi \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{y\}\}$критической точки и касательной являются одной и той же точкой x- ось, называемая критическим значением . Таким образом, точка является критической для $\pi \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{y\}\}$, если ее координаты являются решением системы уравнений :

$f\; (x,\; y)\; =\; \partial \; е\; \partial \; Y\; (x,\; y)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; (x,\; y)\; =\; 0\}$

Это означает, что это определение является частным случаем общего определения критической точки, которое дается ниже.

Определение критической точки для $\pi \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{x\}\}$похоже. Если C является графиком функции $y\; =\; g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; g\; (x)\}$, то (x, y) имеет решающее значение для $\pi \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{x\}\}$тогда и только тогда, когда x является критической точкой g и что критические значения совпадают.

Некоторые авторы определяют критические точки C как точки, критические для $\pi \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{x\}\}$или $\pi \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{y\}\}$, хотя они зависят не только от C, но и от выбора координатных осей. Также от авторов зависит, будут ли особые точки рассматриваться как критические. Фактически, особые точки - это точки, которым удовлетворяет

$f\; (x,\; y)\; =\; \partial \; f\; \partial \; x\; (x,\; y)\; =\; \partial \; f\; \partial \; y\; (x,\; y)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; (x,\; y)\; =\; 0\}$,

и, таким образом, являются решениями любой системы уравнений, характеризующих критические точки. В этом более общем определении критические точки для $\pi \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{y\}\}$- это именно те точки, в которых теорема о неявной функции не применяется.

Использование дискриминанта

Когда кривая C является алгебраической, то есть когда она определяется двумерным полиномом f, тогда дискриминант является полезным инструментом для вычисления критические точки.

Здесь мы рассматриваем только проекцию $\pi \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{y\}\}$; Аналогичные результаты применимы к $\pi \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{x\}\}$путем замены x и y.

Пусть $Диск\; y\; \; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Disc\}\; \_\; \{y\}\; (f)\}$будет дискриминантом просматриваемого f как многочлен от y с коэффициентами, которые являются многочленами от x. Таким образом, этот дискриминант является многочленом от x, который имеет критические значения $\pi \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{y\}\}$среди своих корней.

Точнее, простой корень $Disc\; y\; \; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Disc\}\; \_\; \{y\}\; (f)\}$является критическим значением $\pi \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{y\}\}$такая соответствующая критическая точка является точкой, которая не является сингулярной, точкой перегиба или координатой x асимптоты , которая параллельна оси y и касается «на бесконечности» точки перегиба (асимптота перегиба).

Множественный корень дискриминанта соответствует либо нескольким критическим точкам, либо асимптотам перегиба, имеющим одно и то же критическое значение, либо критической точке, которая также является точкой перегиба, либо особой точке.

Для функции нескольких вещественных переменных точка P (то есть набор значений для входных переменных, который рассматривается как точка в R ) является критическим, если это точка, в которой градиент не определен или градиент равен нулю. Критические значения - это значения функции в критических точках.

Критическая точка может быть либо локальным максимумом, локальным минимумом или седловой точкой. Если функция является, по крайней мере, дважды непрерывно дифференцируемой, разные случаи можно выделить, рассматривая собственные значения матрицы Гессе вторых производных.

Критическая точка, в которой матрица Гессе невырождена, называется невырожденной, а знаки собственных значений гессиана определяют локальное поведение функции. В случае функции одной переменной, гессиан - это просто вторая производная, рассматриваемая как матрица 1 × 1, которая является невырожденной тогда и только тогда, когда она не равна нулю. В этом случае невырожденная критическая точка - это локальный максимум или локальный минимум, в зависимости от знака второй производной, которая положительна для локального минимума и отрицательна для локального максимума. Если вторая производная равна нулю, критической точкой обычно является точка перегиба, но также может быть точка волнистости, которая может быть локальным минимумом или локальным максимумом.

Для функции от n переменных количество отрицательных собственных значений матрицы Гессе в критической точке называется индексом критической точки. Невырожденная критическая точка является локальным максимумом тогда и только тогда, когда индекс равен n, или, что то же самое, если матрица Гессе отрицательно определена ; это локальный минимум, если индекс равен нулю или, что то же самое, если матрица Гессе положительно определена. Для других значений индекса невырожденной критической точкой является седловая точка , то есть точка, которая является максимумом в одних направлениях и минимумом в других.

Применение к оптимизации

Согласно теореме Ферма, все локальные максимумы и минимумы непрерывной функции возникают в критических точках. Следовательно, чтобы найти локальные максимумы и минимумы дифференцируемой функции, теоретически достаточно вычислить нули градиента и собственные значения матрицы Гессе в этих нулях. На практике это не работает, поскольку требует решения нелинейной системы из одновременных уравнений, что является сложной задачей. Обычные числовые алгоритмы гораздо более эффективны для поиска локальных экстремумов, но не могут подтвердить, что были обнаружены все экстремумы. В частности, в глобальной оптимизации эти методы не могут подтвердить, что результат действительно является глобальным оптимумом.

Когда функция, которую необходимо минимизировать, является многомерным полиномом, критические точки и критические значения являются решениями системы полиномиальных уравнений и современными алгоритмами для решения таких системы предоставляют конкурентоспособные сертифицированные методы поиска глобального минимума.

Учитывая дифференцируемую карту f из R в R, критические точки f - это точки R, где ранг матрицы Якоби f не является максимальным. Изображение критической точки под f называется критическим значением . Точка в дополнении набора критических значений называется обычным значением . Теорема Сарда утверждает, что набор критических значений гладкой карты имеет нулевую меру. В частности, если n = 1, в каждом ограниченном интервале имеется конечное число критических значений.

Некоторые авторы дают несколько иное определение: критическая точка функции f - это точка R, где ранг матрицы Якоби f меньше n. Согласно этому соглашению, все точки являются критическими, когда m < n.

Эти определения распространяются на дифференциальные отображения между дифференцируемыми многообразиями следующим образом. Пусть $f:\; V\; \to \; W\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; V\; \backslash \; rightarrow\; W\}$будет дифференциальным отображением между двумя многообразиями V и W соответствующих размерностей m и n. В окрестности точки p из V и f (p) карты являются диффеоморфизмами $\phi :\; V\; \to \; R\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi:\; V\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{m\}\}$и $\psi :\; W\; \to \; R\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi:\; W\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{n\}.\}$Точка p критическая для f, если $\phi \; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (p)\}$имеет решающее значение для $\psi \; \circ \; f\; \circ \; \phi \; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \backslash \; circ\; f\; \backslash \; circ\; \backslash \; varphi\; ^\; \{-\; 1\}.\}$Это определение не зависит от выбора карт, поскольку карты переходов являются диффеоморфизмами, их матрицы Якоби обратимы и умножаются по ним не изменяет ранг матрицы Якоби $\psi \; \circ \; f\; \circ \; \phi \; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \backslash \; circ\; f\; \backslash \; circ\; \backslash \; varphi\; ^\; \{-\; 1\}.\}$Если M - гильбертово многообразие (не обязательно конечномерное) и f - вещественнозначная функция, то мы говорим, что p является критической точкой f, если f не является погружением в p.

Критические точки являются фундаментальными для изучения топологии многообразий и вещественных алгебраических многообразий. В частности, они являются основным инструментом для теории Морса и теории катастроф.

Связь между критическими точками и топологией уже проявляется на более низком уровне абстракции. Например, пусть $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$будет подмногообразием $R\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\},\}$и P - точка вне $V.\; \{\backslash \; displaystyle\; V.\}$Квадрат расстояния до P точки $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$представляет собой дифференциальную карту, в которой каждый компонент связности $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$содержит по крайней мере критическую точку, где расстояние минимально. Отсюда следует, что количество связанных компонентов $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$ограничено сверху количеством критических точек.

В случае вещественных алгебраических многообразий это наблюдение, связанное с теоремой Безу, позволяет нам ограничить количество компонент связности функцией степеней многочленов, определяющих многообразие.

• Особая точка кривой
• Теория сингулярностей
• Теорема Гаусса – Лукаса