Войти
Этот термометр показывает отрицательную температуру Фаренгейта (- 4 ° F). В математике отрицательное число является действительным числом, которое на меньше нуля. Отрицательные числа представляют собой противоположности. Если положительное значение представляет движение вправо, отрицательное значение представляет движение влево. Если положительное значение соответствует высоте над уровнем моря, то отрицательное значение соответствует уровню ниже уровня моря. Если положительный результат представляет собой депозит, отрицательный - вывод средств. Они часто используются для обозначения величины потери или дефицита. Задолженность может рассматриваться как отрицательный актив, уменьшение некоторого количества может рассматриваться как отрицательное увеличение. Если величина может иметь одно из двух противоположных значений, тогда можно выбрать различие между этими чувствами - возможно, произвольно - как положительное и отрицательное. Отрицательные числа используются для описания значений по шкале ниже нуля, например шкалы Цельсия и Фаренгейта для температуры. Законы арифметики для отрицательных чисел гарантируют, что здравое представление об обратном отражено в арифметике. Например, - (- 3) = 3, потому что исходное значение противоположно противоположному.
Отрицательные числа обычно пишутся со знаком минус впереди. Например, -3 представляет собой отрицательную величину с величиной три и произносится как «минус три» или «отрицательные три». Чтобы помочь отличить операцию вычитания от отрицательного числа, иногда знак «минус» ставится немного выше знака минус (в виде надстрочного индекса ). И наоборот, число больше нуля называется положительным; ноль обычно (, но не всегда ) не считается ни положительным, ни отрицательным. Положительность числа можно подчеркнуть, поставив перед ним знак плюса, например +3. В общем, отрицательность или положительность числа называется его знаком .
. Каждое действительное число, кроме нуля, является положительным или отрицательным. Неотрицательные целые числа называются натуральными числами (т. Е. 0, 1, 2, 3...), а положительные и отрицательные целые числа (вместе с нулем) упоминаются как целые числа. (Некоторые определения натуральных чисел исключают ноль.)
В бухгалтерии причитающиеся суммы часто представлены красными числами или числами в скобках в качестве альтернативного обозначения для представления отрицательных чисел.
Отрицательные числа впервые в истории появились в Девяти главах математического искусства, которые в нынешнем виде относятся к периоду китайской династии Хань (202 г. до н.э. - 220 г. н.э.), но вполне может содержать гораздо более древний материал. Лю Хуэй (ок. III в.) Установил правила сложения и вычитания отрицательных чисел. К VII веку индийские математики, такие как Брахмагупта, описывали использование отрицательных чисел. Исламские математики дополнительно разработали правила вычитания и умножения отрицательных чисел и решили задачи с отрицательными коэффициентами. Западные математики приняли идею отрицательных чисел примерно в середине 19 века. До появления концепции отрицательных чисел математики, такие как Диофант, считали отрицательные решения проблем «ложными», а уравнения, требующие отрицательных решений, называли абсурдными. Некоторые математики, такие как Лейбниц (1646–1716), соглашались с тем, что отрицательные числа недействительны, но все же использовали их в расчетах.
Отрицательные числа можно рассматривать как результат вычитания из большего числа из меньшего. Например, три отрицательных числа являются результатом вычитания трех из нуля:
В общем, вычитание большего числа из меньшего дает отрицательный результат с величиной результата. разница между двумя числами. Например,
, поскольку 8-5 = 3.
Связь между отрицательными числами, положительными числами и нулем часто бывает выражается в виде числовой строки :
Числа, расположенные правее в этой строке, больше, а числа, расположенные левее, меньше. Таким образом, ноль появляется посередине, положительные числа находятся справа, а отрицательные - слева.
Обратите внимание, что отрицательное число с большей величиной считается меньшим. Например, даже если (положительный) 8 больше, чем (положительный) 5, записанный
отрицательный 8 считается меньше отрицательного 5:
(Потому что, для Например, если у вас есть -8 фунтов стерлингов, то есть долг в 8 фунтов стерлингов, у вас будет меньше после добавления, скажем, 10 фунтов стерлингов к нему, чем если бы у вас было -5 фунтов стерлингов.) Отсюда следует, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа, поэтому
В контексте отрицательных чисел число, которое больше нуля, называется положительным . Таким образом, каждое вещественное число, кроме нуля, является либо положительным, либо отрицательным, в то время как сам ноль не считается имеющим знак. Положительные числа иногда пишутся со знаком плюс впереди, например. +3 обозначает положительную тройку.
Поскольку ноль не является ни положительным, ни отрицательным, термин неотрицательный иногда используется для обозначения положительного или нулевого числа, а неположительный используется для обозначения до отрицательного или нулевого числа. Ноль - нейтральное число.
Отрицательные результаты по гольфу относительно номинала 
Отрицательное количество этажей в лифте. Знак минус «-» означает оператор для как двоичная (два- операнда ) операция вычитания (как в y - z), так и унарная (с одним операндом) операция отрицания (как в −x или дважды в - (- x)). Частный случай унарного отрицания возникает, когда он работает с положительным числом, и в этом случае результатом является отрицательное число (как в −5).
Неоднозначность символа «-» обычно не приводит к двусмысленности в арифметических выражениях, поскольку порядок операций делает возможной только одну интерпретацию для каждого «-». Однако это может привести к путанице и трудностям для понимания выражения, когда символы операторов появляются рядом друг с другом. Решением может быть заключить в скобки унарный знак «-» вместе с его операндом.
Например, выражение 7 + −5 может быть более ясным, если записано 7 + (−5) (даже если формально они означают одно и то же). Вычитание выражение 7–5 - это другое выражение, которое не представляет одни и те же операции, но дает тот же результат.
Иногда в начальной школе перед числом может стоять верхний индекс минус или плюс, чтобы явно различать отрицательные и положительные числа, как в
Наглядное изображение представление сложения положительных и отрицательных чисел. Шары большего размера представляют числа с большей величиной. Сложение двух отрицательных чисел очень похоже на сложение двух положительных чисел. Например,
Идея состоит в том, что два долга могут быть объединены в один долг большей величины.
При сложении смеси положительных и отрицательных чисел можно представить отрицательные числа как вычитаемые положительные величины. Например:
В первом примере кредит 8 сочетается с задолженностью в размере 3, что дает общий балл 5. Если отрицательное число имеет большую величину, результат будет отрицательным:
Здесь кредит меньше долга, поэтому чистым результатом является долг.
Как обсуждалось выше, вычитание двух неотрицательных чисел может дать отрицательный ответ:
В общем, вычитание положительного числа дает тот же результат, что и добавление отрицательного числа равной величины. Таким образом,
и
С другой стороны, вычитание отрицательного числа дает тот же результат, что и добавление положительного числа равной величины. (Идея состоит в том, что потеря долга - это то же самое, что получение кредита.) Таким образом,
и
При умножении чисел величина произведения всегда просто произведение двух величин. Знак в произведении определяется по следующим правилам:
Таким образом,
и
Причина первого примера проста: добавление трех −2 вместе дает −6:
Обоснование второго примера более сложное. Идея снова заключается в том, что потеря долга - это то же самое, что получение кредита. В этом случае потеря двух долгов по три в каждой равносильна получению кредита в шесть раз:
Условие, что произведение двух отрицательных числа положительные, также необходимо, чтобы умножение соответствовало закону распределения . В этом случае мы знаем, что
Поскольку 2 × (−3) = −6, произведение (−2) × (−3) должно равняться 6.
Эти правила приводят к другому (эквивалентному) правилу - знаку любого произведения a × b зависит от знака a следующим образом:
Обоснование того, почему произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, можно увидеть при анализе комплексных чисел.
Правила знаков для деления такие же, как и для умножения. Например,
и
Если у делимого и делителя один и тот же знак, результат будет положительным, если у них разные знаки, результат будет отрицательным.
Отрицательная версия положительного числа называется его отрицанием. Например, −3 - это отрицание положительного числа 3. Сумма числа и ее отрицание равны нулю:
То есть, отрицание положительного числа - это аддитивная инверсия числа.
Используя алгебру, мы можем записать этот принцип как алгебраическое тождество :
Это тождество справедливо для любого положительного числа x. Его можно заставить действовать для всех действительных чисел, расширив определение отрицания до нуля и отрицательных чисел. В частности:
Например, отрицание −3 равно +3. В общем,
абсолютное значение числа - неотрицательное число с той же величиной. Например, абсолютное значение −3 и абсолютное значение 3 равны 3, а абсолютное значение 0 равно 0.
В аналогичном в рациональные числа, мы можем расширить натуральные числа Nдо целых Z, определив целые числа как упорядоченную пару натуральных чисел ( а, б). Мы можем расширить сложение и умножение на эти пары с помощью следующих правил:
Мы определяем отношение эквивалентности ~ на этих парах со следующим правилом:
Это отношение эквивалентности совместимо со сложением и умножением, определенными выше, и мы можем определить Z как быть частным множеством N² / ~, т.е. мы идентифицируем две пары (a, b) и (c, d), если они эквивалентны в указанном выше смысле. Обратите внимание, что Z, снабженный этими операциями сложения и умножения, является кольцом и фактически является прототипом кольца.
Мы также можем определить общий заказ на Z, написав
Это приведет к аддитивному нулю формы (a, a), аддитивному обратному к (a, b) формы (b, a), мультипликативному единица измерения формы (a + 1, a) и определение вычитания
Эта конструкция является частным случаем конструкции Гротендика.
Отрицательное число уникально, как показано в следующем доказательстве.
Пусть x - число, а y - его отрицательное значение. Предположим, что y ′ - еще одно отрицательное значение x. По аксиоме системы действительных чисел
Итак, x + y ′ = x + y. Используя закон сокращения для сложения, видно, что y ′ = y. Таким образом, y равно любому другому отрицательному значению x. То есть y - единственный минус x.
Долгое время отрицательные решения проблем считались «ложными». В эллинистическом Египте греческий математик Диофант в 3 веке нашей эры ссылался на уравнение, которое было эквивалентно 4x + 20 = 4 (которое имеет отрицательное решение) в Арифметике, говоря, что уравнение абсурдно.
Отрицательные числа впервые в истории появляются в Девяти главах по математическому искусству (Jiu zhang suan -shu), который в нынешнем виде датируется периодом династии Хань (202 г. до н.э. - 220 г. н.э.), но вполне может содержать гораздо более древний материал. Математик Лю Хуэй (ок. III в.) Установил правила сложения и вычитания отрицательных чисел. Историк Жан-Клод Марцлофф предположил, что важность двойственности в китайской натурфилософии облегчила китайцам принятие идеи отрицательных чисел. Китайцы умели решать одновременные уравнения с отрицательными числами. В Девяти главах использовались красные счетные стержни для обозначения положительных коэффициентов и черные стержни для отрицательных. Эта система является полной противоположностью современной печати положительных и отрицательных чисел в области банковского дела, бухгалтерского учета и торговли, где красные числа обозначают отрицательные значения, а черные числа обозначают положительные значения. Лю Хуэй пишет:
Теперь есть два противоположных вида счетных стержней для прибылей и убытков, назовем их положительными и отрицательными. Красные счетные стержни - положительные, черные - отрицательные.
В древнеиндийском Бахшалинском манускрипте вычисления проводились с отрицательными числами, используя знак «+» в качестве отрицательного знака. Дата рукописи неизвестна. Л. В. Гурджар датирует его не позднее 4-го века, Хорнле датирует его между третьим и четвертым веками, Айангар и Пингри датируют его 8-м или 9-м веками, а Джордж Гевергез Джозеф датирует его примерно 400 г. н.э. и не позднее началом 7-го века. век,
В 7 веке нашей эры отрицательные числа использовались в Индии для обозначения долгов. Индийский математик Брахмагупта в статье Брахма-Сфута-Сиддханта (написано около 630 г. н.э.) обсуждал использование отрицательных чисел для получения общей формы квадратная формула, которая используется и сегодня. Он также нашел отрицательные решения квадратных уравнений и дал правила, касающиеся операций с отрицательными числами и нулем, например: «Долг, отрезанный от небытия, становится кредитом; кредит, отрезанный от небытия. становится долгом ". Он называл положительные числа «состояниями», ноль «шифром» и отрицательные числа «долгами».
В 9 веке исламские математики были знакомы с отрицательными числами из работ индийцев. математики, но распознавание и использование отрицательных чисел в этот период оставалось робким. Аль-Хорезми в своем Аль-джабр ва'л-мукабала (от которого мы получили слово «алгебра») не использовал отрицательные числа или отрицательные коэффициенты. Но за пятьдесят лет Абу Камил проиллюстрировал правила знаков для расширения умножения 
К 12-му веку века, преемники аль-Караджи должны были сформулировать общие правила знаков и использовать их для решения делений многочленов. Как пишет ас-Самав'ал :
произведение отрицательного числа - ан-наких - на положительное число - аз-азид - отрицательно, а на отрицательное число положительно. Если мы вычтем отрицательное число из большего отрицательного числа, остаток будет их отрицательной разностью. Разница останется положительной, если мы вычтем отрицательное число из меньшего отрицательного числа. Если мы вычтем отрицательное число из положительного, остаток будет их положительной суммой. Если мы вычтем положительное число из пустой степени (martaba khāliyya), остаток будет таким же отрицательным, а если мы вычтем отрицательное число из пустой степени, остаток будет таким же положительным числом.
В XII веке в Индия, Бхаскара II дал отрицательные корни для квадратных уравнений, но отверг их, потому что они не подходили для контекста проблемы. Он заявил, что отрицательное значение «в данном случае не следует принимать, поскольку оно неадекватно; люди не одобряют отрицательные корни».
Европейские математики по большей части сопротивлялись концепции отрицательных чисел до 17 века, хотя Фибоначчи допускал отрицательные решения финансовых проблем, где их можно было интерпретировать как дебеты (глава 13 книги). Liber Abaci, 1202 г. н.э.) и позже в качестве потерь (в Flos ).
В XV веке Николя Шюке, француз, использовал отрицательные числа как показатели, но называл их «абсурдными числами». В своей «Арифметике Интегра» 1544 года Майкл Стифель также имел дело с отрицательными числами, также называя их numeri absurdi.
В 1545 году Джероламо Кардано в своем Ars Magna представил первую в Европе удовлетворительную обработку отрицательных чисел. Он не допускал отрицательных чисел при рассмотрении кубических уравнений, поэтому ему пришлось рассматривать, например, x + ax = b отдельно от x = ax + b (с a, b>0 в обоих случаях). В целом Кардано был вынужден изучить тринадцать различных типов кубических уравнений, каждое из которых выражалось исключительно в терминах положительных чисел.
В 1759 году нашей эры Фрэнсис Мазерес, английский математик, писал, что отрицательные числа «затемняют всю доктрину уравнений и затемняют вещи, которые по своей природе являются чрезмерно очевидными и просто". Он пришел к выводу, что отрицательные числа бессмысленны.
В 18 веке было обычной практикой игнорировать любые отрицательные результаты, полученные из уравнений, полагая, что они бессмысленны.
Готфрид Вильгельм Лейбниц был первым математиком, который систематически использовал отрицательные числа как часть согласованной математической системы, исчисления бесконечно малых. Исчисление сделало отрицательные числа необходимыми, и их отказ от «абсурдных чисел» постепенно исчез.
 | Викицитатник содержит цитаты, связанные с: Отрицательное число |
