Величина (математика)

Для использования в других целях, см Величина (значения).

В математике, то величина или размер из математического объекта является свойством, которое определяет, является ли больше или меньше, чем у других объектов того же рода объект. Более формально величина объекта - это отображаемый результат упорядочения (или ранжирования) класса объектов, к которому он принадлежит.

В физике величину можно определить как количество или расстояние.

• 1 История
• 2 числа
  • 2.1 Реальные числа
  • 2.2 Комплексные числа
• 3 векторные пространства
  • 3.1 Евклидово векторное пространство
  • 3.2 Нормированные векторные пространства
  • 3.3 Псевдоевклидово пространство
• 4 логарифмические величины
• 5 по порядку величины
• 6 См. Также
• 7 ссылки

Греки различали несколько типов величин, в том числе:

• Положительные дроби
• Сегменты линии (упорядочены по длине )
• Фигуры-самолеты (по площади )
• Твердые вещества (по объему )
• Углы (упорядоченные по угловой величине)

Они доказали, что первые две не могут быть одинаковыми или даже изоморфными по величине системами. Они не считали отрицательные величины значимыми, и величина по-прежнему в основном используется в контекстах, в которых ноль является либо наименьшим размером, либо меньшим, чем все возможные размеры.

Основная статья: Абсолютное значение

Величина любого числа обычно называется его абсолютным значением или модулем и обозначается. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle | x |}$

Действительные числа

Абсолютное значение действительного числа r определяется следующим образом:

${\ displaystyle \ left | r \ right | = r, {\ text {if}} r {\ text {≥}} 0}$

${\ displaystyle \ left | r \ right | = -r, {\ text {if}} r lt;0.}$

Абсолютное значение также можно рассматривать как расстояние числа от нуля на прямой числовой линии. Например, абсолютное значение 70 и -70 равно 70.

Сложные числа

Комплексное число г может рассматриваться как положение точки Р в 2-мерном пространстве, называется комплексной плоскостью. Абсолютное значение (или модуль) z можно рассматривать как расстояние P от начала этого пространства. Формула для абсолютного значения z = a + bi аналогична формуле для евклидовой нормы вектора в 2-мерном евклидовом пространстве :

${\ displaystyle \ left | z \ right | = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$

где действительные числа а и б являются реальной частью и мнимой частью из г, соответственно. Например, модуль −3 + 4 i равен. С другой стороны, величина комплексного числа г может быть определена как квадратный корень из произведения самого по себе и его комплексно - сопряженной, где для любого комплексного числа, его комплексный конъюгат. ${\ Displaystyle {\ sqrt {(-3) ^ {2} + 4 ^ {2}}} = 5}$ ${\ displaystyle {\ bar {z}}}$${\ Displaystyle г = а + би}$${\ displaystyle {\ bar {z}} = а-би}$

${\ displaystyle \ left | z \ right | = {\ sqrt {z {\ bar {z}}}} = {\ sqrt {(a + bi) (a-bi)}} = {\ sqrt {a ^ { 2} -abi + abi-b ^ {2} i ^ {2}}} = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$

(где). ${\ displaystyle i ^ {2} = - 1}$

Евклидово векторное пространство

Основная статья: евклидова норма

Евклидово вектор представляет положение точки Р в евклидовом пространстве. Геометрически это можно описать как стрелку, идущую от начала пространства (векторный хвост) к этой точке (кончик вектора). Математически, вектор х в п - мерном евклидовом пространстве может быть определен как упорядоченный список п действительных чисел (в декартовых координатах из Р): х = [ х 1, х 2,..., х п ]. Его величина или длина, обозначаемая, чаще всего определяется как его евклидова норма (или евклидова длина): ${\ Displaystyle \ | х \ |}$

${\ displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}}}.}$

Например, в трехмерном пространстве величина [3, 4, 12] равна 13, потому что это эквивалентно квадратному корню из скалярного произведения вектора на себя: ${\ displaystyle {\ sqrt {3 ^ {2} + 4 ^ {2} + 12 ^ {2}}} = {\ sqrt {169}} = 13.}$

${\ displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | = {\ sqrt {\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x}}}.}$

Евклидова норма вектора - это просто частный случай евклидова расстояния : расстояние между его хвостом и его кончиком. Два аналогичных обозначения используются для евклидовой нормы вектора x:

1. ${\ Displaystyle \ влево \ | \ mathbf {х} \ вправо \ |,}$
2. ${\ displaystyle \ left | \ mathbf {x} \ right |.}$

Недостаток второго обозначений является то, что он также может быть использован для обозначения абсолютного значения из скаляров и детерминантов из матриц, который вводит элемент неопределенности.

Нормированные векторные пространства

Основная статья: Нормированное векторное пространство

По определению, все евклидовы векторы имеют величину (см. Выше). Однако вектор в абстрактном векторном пространстве не имеет величины.

Векторное пространство, снабженное нормой, такой как евклидово пространство, называется нормированное векторное пространство. Нормой вектора v в нормированном векторном пространстве можно считать величину v.

Псевдоевклидово пространство

В псевдоевклидовом пространстве величина вектора - это значение квадратичной формы для этого вектора.

При сравнении звездных величин часто используют логарифмическую шкалу. Примеры включают в себя громкость в виде звука (измеряется в децибелах ), то яркость в виде звезды, а шкалу Рихтера интенсивности землетрясений. Логарифмические величины могут быть отрицательными и не могут быть осмысленно добавлены или вычтены (поскольку отношение нелинейное).

Основная статья: Порядок величины

Порядки величины обозначают разницу в числовых величинах, обычно измерениях, в 10 раз, то есть разницу в одну цифру в расположении десятичной точки.

• Чувство числа
• Обозначение вектора
• Установить размер