Кубическое уравнение

Полиномиальное уравнение степени 3 График кубической функции с 3 действительными корнями ( где кривая пересекает горизонтальную ось при y = 0). Показанный случай имеет две критических точки. Здесь функция f (x) = (x + 3x - 6x - 8) / 4.

В алгебре кубическое уравнение с одной переменной - это уравнение вида

$ax\; 3\; +\; bx\; 2\; +\; cx\; +\; d\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; ^\; \{3\}\; +\; bx\; ^\; \{2\}\; +\; cx\; +\; d\; =\; 0\}$

, в котором a не равно нулю.

Решения этого уравнения называются корнями кубической функции, определяемой левой частью уравнения. Если все коэффициенты a, b, c и d кубического уравнения имеют действительные числа, то оно имеет по крайней мере один действительный корень (это верно для всех нечетных степеней полиномиальные функции ). Все корни могут быть найдены алгоритмы алгоритмов:

• , то есть они могут быть выражены кубической формулой, включающей четыре коэффициента, основные арифметические операции и корни н - й степени (радикалы). (Это также верно для квадратичных (вторая степень) и четвертых (четвертой трех степеней), согласно теореме Абеля - Руффини.)
• числовые аппроксимации корней можно найти с помощью алгоритмов поиска корней, как таких метод Ньютона.

коэффициенты не обязательно должны быть действительными числами. Коэффициенты в любом поле с характеристикой, кроме 2 и 3. Решения некоторых кубических уравнений с рациональными коэффициентами имеют иррациональные (и даже ненастоящие) корни комплексные.

• 1 История
• 2 Факторизация
• 3 Углубленная кубическая
• 4 Дискриминант и природа корней
  • 4.1 Дискриминант
  • 4.2 Природа корней
  • 4.3 Множественный корень
  • 4.4 Характеристика 2 и 3
• 5 Формула Кардано
• 6 Общая кубическая формула la
• 7 Тригонометрические и гиперболические решен ия
  • 7.1 Тригонометрическое решение для трех действующих корней
  • 7.2 Гиперболическое решение дл я одного действующего корня
• 8 Геометрические решения
  • 8.1 Решение Омара Хайяма
  • 8.2 Решение с трисектором угла
• 9 Геометрическая интерпретация корней
  • 9.1 Три действительных корня
  • 9.2 Один действительный корень
    • 9.2.1 В декартовой плоскости
    • 9.2.2 В комплексной плоскости
• 10 Группа Галуа
• 11 Получение корней
  • 11.1 Метод Кардано
  • 11.2 Подстановка Виета
  • 11.3 Метод Лагранжа
    • 11.3.1 Вычисление S и P
• 12 Приложений
  • 12.1 В математике
  • 12.2 В других науках
• 13 Примечания
• 14 Ссылки
• 15 Дополнительная литература
• 16 Внешние ссылки

Кубические уравнения были известны древним вавилонянам, грекам, китайцам, индийцам Вавилонские (20-16 вв. до н.э.) были найдены клинописи с таблицами для вычислений кубов и кубических корней. Вавилоняне могла использовать инструменты для решения кубических свойств, но нет никаких доказательств, подтверждающих это. Проблема удвоения куба включает простейшее и старейшее из изученных кубических уравнений, решение для которого древние египтяне не верили. В веке до нашей эры Гиппократ свел проблему к проблеме нахождения двух средних между одной линией и другой длиной, но не смог решить эту проблему с помощью линейки, задача, которая теперь известна как невыполнимая. Методы решения кубических представленных в Девяти главах математического искусства, китайском математическом тексте, составленном примерно во II веке нашей эры и прокомментированном Лю Хуэем в 3 век. В III веке нашей эры греческий математик Диофант нашел целочисленные или рациональные решения для некоторых двумерных кубических уравнений (Диофантовы уравнения ). Гиппократ, Менахм и Архимед, как полагают, точно подошли решение проблемы удвоения куба с помощью пересекающихся конических секций, хотя такие историки, как Ревиль Нетц, спорят, ли приводить к кубическим уравнениям или просто приводить к кубическим уравнениям. Некоторым другим нравится Т. Л. Хит, который перевел все работы Архимеда, не согласен, приводя доказательства того, что Архимед действительно решал кубические уравнения, используя пересечение двух коник, но также обсудил условия, при которых корни равны 0, 1 или 2.

График кубической функции f (x) = 2x - 3x - 3x + 2 = (x + 1) (2x - 1) (x - 2)

В 7 веке династия Тан астроном-математик Ван Сяотун в своем математическом трактате под названием Цзигу Суаньцзин систематически обосновал и решил численно 25 кубических уравнений вида x + px + qx = N, 23 из них с p, q ≠ 0 и два из них с q = 0.

В 11 веке персидский поэт-математик Омар Хайям (1048–1131) добился значительных успехов в теории кубических уравнений. В одной из первых статей онил, что кубическое уравнение может иметь более одного решения, и обнаружено, что его нельзя решить с помощью компаса и линейки. Он также нашел геометрическое решение. В своей более поздней работе «Трактат о демонстрации проблемры» он написал классификацию кубических уравнений с общегеометрическими решениями, найденными с помощью пересекающихся конических сечений.

. В XII веке индийский математик Бхаскара II попытка решения кубических уравнений без общего успеха. Однако он привел один пример кубического уравнения: x + 12x = 6x + 35. В XII веке другой персидский математик, Шараф ад-Дин ат-Туси (1135–1135 гг.) 1213), создал Аль-Мухадалат (Трактат об уравнениях), в котором представлены восемь типов форм с положительными решениями и пять типов решений, которые не имеют положительных решений. Он использовал то, что позже будет известно как «метод Руффини - Хорнера », чтобы численно аппроксимировать корень кубического уравнения. Он также использует концепции максимумов и кривых для решения кубических уравнений, которые не имеют положительных решений. Он понимал важность дискриминанта кубического уравнения для нахождения алгебраических решений некоторых типов кубических уравнений.

В своей книге Flos Леонардо де Пиза, также известный как Фибоначчи (1170–1250), смог точно аппроксимировать положительное решение кубического уравнения x + 2x + 10x = 20. Записав вавилонскими, он дал результат 1,2,7, 42,33,4,40 (эквивалентно 1 + 22/60 + 7/60 + 42/60 + 33/60 + 4/60 + 40/60), что имеет относительную ошибку около 10.

В начале 16 века итальянский математик Принципионе дель Ферро (1465–1526) нашел метод решения класса кубических уравнений, а именно уравнения вида х + mx = п. Фактически, все кубические уравнения могут быть представлены в этой форме, если мы позволим m и n отрицать, но отрицательные числа ему не были известны в то время. Дель держал свои достижения в секрете до самой смерти, когда он рассказал об этом ученике Антонио Фьору.

Никколо Фонтана Тарталья

В 1530 году Никколо Тарталья (1500–1557) получил от двух задач кубических условий и объявил, что может их решить. Вскоре ему бросил вызов Фиор, что произошло к известному состязанию между ними. Каждый участник должен внести определенную сумму и предложить сопернику ряд задач. Кто решит больше проблем в течение 30 дней, получит все деньги. Тарталья получил вопросы в форме x + mx = n, для которых он разработал общий метод. Фиор получил вопросы в форме x + mx = n, которые оказалось слишком сложно решить, и Тарталья выиграл конкурс.

Позже Джероламо Кардано (1501–1576) убедил Тарталья раскрыть свои секретные решения кубических уравнений. В 1539 году Тарталья сделал это только при условии, что Кардано никогда этого не раскроет и что, если он все-таки напишет книгу о кубиках, он даст Тарталье время для публикации. Несколько лет спустя Кардано узнал о предыдущей работе дельцов своей книги Ars Magna в 1545 году, что означает, что Кардано Тарталье шесть лет на публикации результатов (с признательностью Тартальи за независимое решение).). В обещании Кардано Тартальи говорилось, что он не будет публиковать работу Тартальи, и Кардано чувствовал, что публикует работу дель Ферро, чтобы обойти это обещание. Тем не менее, это привело к вызову Кардано из Тартальи, который Кардано отрицал. В конце концов, был принятый учеником Кардано Лодовико Феррари (1522–1565). Феррари выступил на соревновании лучше, чем Тарталья, и Тарталья потерял и свой престиж.

Кардано заметил, что метод Тартальи иногда требовал от него извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Он даже включил вычисление с этим комплексными числами в Арс Магна, но на самом деле не понял этого. Рафаэль Бомбелли подробно изучил этот вопрос, поэтому его часто считают первооткрывателем комплексных чисел.

Франсуа Виет (1540–1603) независимо вывел тригонометрическое решение для кубики с тремя действующими корнями, а Рене Декарт (1596–1650) расширил работы Виете.

Если коэффициенты кубического уравнения представляют их рациональными числами, можно получить эквивалентное уравнение с целыми коэффициентами, умножив все коэффициенты на общее кратное <469 знаменателей. Такое уравнение

$ax\; 3\; +\; bx\; 2\; +\; cx\; +\; d\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; ^\; \{3\}\; +\; bx\; ^\; \{2\}\; +\; cx\; +\; d\; =\; 0,\}$

с целыми коэффициентами называется быть приводимым, если многочлен в левой части является произведением многочленов более низких степеней. Согласно лемме Гаусса, если уравнение приводимо, можно предположить, что множители имеют целые коэффициенты.

Найти корни приводимого кубического уравнения проще, чем решить общий случай. Фактически, уравнение сводится, один из множителей должен иметь степень и таким образом иметь

$qx\; -\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; qx-p\}$

, где q и p являются взаимно простыми целыми числами.. Тест на рациональный корень позволяет найти q и p, исследуя конечное число случаев (q должно быть делителем d).

Таким образом, один корень равенство $x\; 1\; =\; pq,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; x\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{q\}\},\}$, а другой Корни являются корнями другого множителя, который можно найти с помощью полиномиального деления в столбик. Этот другой коэффициент равен

$aqx\; 2\; +\; bq\; +\; apq\; 2\; x\; +\; cq\; 2\; +\; bpq\; +\; ap\; 2\; q\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{q\}\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{bq\; +\; ap\}\; \{q\; ^\; \{2\}\}\}\; x\; +\; \{\backslash \; frac\; \{cq\; ^\; \{2\}\; +\; bpq\; +\; ap\; ^\; \{2\}\}\; \{q\; ^\; \{3\}\}\}\}$

(коэффициенты кажутся не цел, но должны быть целыми числами, если p / q является корнем.)

Тогда другие корни являются корнями этого квадратного многочлена и могут быть найдены с помощью квадратной формулы.

Кубическая форма

$t\; 3\; +\; pt\; +\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; ^\; \{3\}\; +\; pt\; +\; q\}$

называется депрессивной. Они проще, чем общий кубики, простой анализ любой кубики может быть сведено простой заменой простой к изучению депрессивной кубики.

Пусть

$a\; x\; 3\; +\; b\; x\; 2\; +\; c\; x\; +\; d\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; ^\; \{3\}\; +\; bx\; ^\; \{2\}\; +\; cx\; +\; d\; =\; 0\}$

- кубическое уравнение. Изменение модели

$x\; =\; t\; -\; b\; 3\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; t\; -\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{3a\}\}\}$

приводит к кубике, у которой нет члена в t. После деления на единицу получаем угнетенное кубическое уравнение

$t\; 3\; +\; pt\; +\; q\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; ^\; \{3\}\; +\; pt\; +\; q\; =\; 0,\}$

с

$t\; =\; x\; +\; b\; 3\; ap\; Знак\; равно\; 3\; ac\; -\; b\; 2\; 3\; a\; 2\; q\; =\; 2\; b\; 3-9\; abc\; +\; 27\; a\; 2\; d\; 27\; a\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; t\; =\; \{\}\; x\; +\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{\; 3a\}\}\; \backslash \backslash \; p\; =\; \{\}\; \{\backslash \; frac\; \{3ac-b\; ^\; \{2\}\}\; \{3a\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; q\; =\; \{\}\; \{\backslash \; frac\; \{2b\; ^\; \{3\}\; -9abc\; +\; 27a\; ^\; \{2\}\; d\}\; \{27a\; ^\; \{3\}\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

корни $x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\}\}$исходное уравнение связаны с корнями $t\; 1,\; t\; 2,\; t\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{1\},\; t\_\; \{2\},\; t\_\; \{3\}\}$>уравнения соотношениями

$xi\; =\; ti\; -\; b\; 3\; a,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\; =\; t\_\; \{i\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{3a\}\},\}$

для $i\; =\; 1,\; 2,\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 1,2,3\}$.

Природа (настоящая или нет, отличная или нет) корней кубики может быть определена без их явного вычислений, с помощью дискриминант.

Дискриминант

Дискриминант полинома функция его коэффициентов, которые равны нулю тогда и только тогда, когда полином имеет кратный корень, или, если он делится на квадрат непостоянного многочлена. Другими словами, дискриминант отличен от нуля тогда и только тогда, когда многочлен бесквадратный.

Если r 1, r 2, r 3 - три корня (не обязательно и не отдельные действительные ) кубического $ax\; 3\; +\; bx\; 2\; +\; cx\; +\; d,\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; ^\; \{3\}\; +\; bx\; ^\; \{2\}\; +\; cx\; +\; d,\}$, то дискриминант равенство

$a\; 4\; (r\; 1\; -\; r\; 2)\; 2\; (r\; 1\; -\; r\; 3)\; 2\; (r\; 2\; -\; r\; 3)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{4\}\; (r\_\; \{1\}\; -r\_\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; (r\_\; \{1\}\; -r\_\; \{3\})\; ^\; \{2\}\; (r\_\; \{2\}\; -r\_\; \{3\})\; ^\; \{2\}.\}$

Дискриминант депрессивной кубики $t\; 3\; +\; pt\; +\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; ^\; \{3\}\; +\; pt\; +\; q\}$равенство

$-\; (4\; p\; 3\; +\; 27\; кв\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; left\; (4\; \backslash ,\; p\; ^\; \{3\}\; +27\; \backslash ,\; q\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right).\}$

Дискриминант общей кубики $ax\; 3\; +\; bx\; 2\; +\; cx\; +\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; ^\; \{3\}\; +\; bx\; ^\; \{2\}\; +\; cx\; +\; d\}$равно

$18\; abcd\; -\; 4\; b\; 3\; d\; +\; b\; 2\; c\; 2\; -\; 4\; ac\; 3\; -\; 27\; a\; 2\; d\; 2.\; \{\; \backslash \; displaystyle\; 18\; \backslash ,\; abcd-4\; \backslash ,\; b\; ^\; \{3\}\; d\; +\; b\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\; -4\; \backslash ,\; ac\; ^\; \{3\}\; -27\; \backslash ,\; a\; ^\; \{2\}\; d\; ^\; \{2\}.\}$

Это произведение $a\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{4\}\}$и дискриминанта восприятия депрессивной кубики. Отсюда следует, что один из этих дискриминантов равен нулю тогда и только тогда, когда другой также равен нулю, и если коэффициенты вещественные, два дискриминанта имеют одинаковый знак. Таким образом, одна и та же информация может быть получена из любого из этих двух дискриминантов.

Чтобы выразить предыдущие формулы, можно использовать формулы Виета, чтобы выразить все как многочлены от r 1, r 2, r 3 и а. Затем доказательство приводит к проверке равенства двух многочленов.

Природа корней

Если коэффициенты полинома действительные числа и дискриминант $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\}$не равно нулю, возможны два случая :

• Если $\Delta >0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta>0,\}$кубик имеет три различных реальных корня
• Если кубик имеет вещественный корень
• Городской 469>. многочлен имеет три корня (не обязательно разные) по основной теореме алгебры, крайней мере один корень должен быт ь действительным.

  Как указано выше, если r 1, r 2, r 3 тремя корнями кубической $ax\; 3\; +\; bx\; 2\; +\; cx\; +\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; ^\; \{3\}\; +\; bx\; ^\; \{2\}\; +\; cx\; +\; d\; \}$, то дискриминант равенство

  $\Delta \; знак\; рав\; но\; a\; 4\; (r\; 1\; -\; r\; 2)\; 2\; (r\; 1\; -\; r\; 3)\; 2\; (r\; 2\; -\; r\; 3)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; а\; ^\; \{4\}\; (г\_\; \{1\}\; -r\_\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; (r\_\; \{1\}\; -r\_\; \{3\})\; ^\; \{2\}\; (r\_\; \{2\}\; -r\_\; \{3\})\; ^\; \{2\}\}$

  Если три корня действительны и различны, дискриминант является произведением положительных вещественных чисел, то есть $\Delta >0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta>0.\}$

  Если только один корень, скажем, r 1, действителен, то r 2 и r 3 являются комплексно сопряженными, что означает, что r 2 - r 3 является чисто мнимым числом, и, таким образом, (r 2 - r 3) является действительным и отрицательным. С другой стороны, r 1 - r 2 и r 1 - r 3 являются комплексными, и их документ является сопроводительным и положительным. Таким, дискриминант произведен образом одного отрицательного числа и нескольких положительных чисел, Кубика кратный корень, кроме того, ее коэффициенты действительны, то все ее коэффициенты действительны, то все ее корни действитель ны.

  Дискриминантивной депрессивной кубики $t\; 3\; +\; pt\; +\; д\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash ;\; t\; ^\; \{3\}\; +\; pt\; +\; q\; \backslash ;\}$равно нулю, если $4\; p\; 3\; +\; 27\; д\; 2\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; 4p\; ^\; \{3\}\; +\; 27q\; ^\; \{2\}\; =\; 0\; \backslash \; ;.\}$Если p также равно нулю, то p = q = 0, а 0 - тройной корень кубики. Если $4\; п\; 3\; +\; 27\; q\; 2\; знак\; равно\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ;\; 4p\; ^\; \{3\}\; +\; 27q\; ^\; \{2\}\; =\; 0\; \backslash \; ;,\}$и p ≠ 0, то кубическая имеет простой корень

  $t\; 1\; =\; 3\; qp\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{1\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash ,\; 3q\; \backslash ,\}\; \{p\}\}\}$

  и двойной корень

  $t\; 2\; =\; t\; 3\; =\; -\; 3\; q\; 2\; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{2\}\; =\; t\_\; \{3\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash ,\; 3q\; \backslash ,\}\; \{2p\}\}\; ~.\}$

  Другими словами,

  $t\; 3\; +\; pt\; +\; q\; =\; (t\; -\; 3\; qp)\; (t\; +\; 3\; q\; 2\; p)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; ^\; \{3\}\; +\; pt\; +\; q\; =\; \backslash \; left\; (t\; -\; \{\backslash \; frac\; \{3q\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (t\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash ,\; 3q\; \backslash ,\}\; \{2p\}\}\; \backslash \; справа)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; ;.\}$

  Этот результат может быть доказан путем расширения последнего произведения или получен путем решения довольно простой системы уравнений, полученной из формул Виета.

  По использованию редукции угнетенной кубики, эти результаты можно распространить на общую кубику. Это дает: Если дискриминант кубической $ax\; 3\; +\; bx\; 2\; +\; cx\; +\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ;\; ax\; ^\; \{3\}\; +\; bx\; ^\; \{2\}\; +\; cx\; +\; d\; \backslash ;\}$равно нулю, то

  • либо, если $b\; 2\; =\; 3\; ac,\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{2\; \}\; =\; 3ac\; \backslash \; ;,\}$кубика имеет тройной корень

  $x\; 1\; =\; x\; 2\; =\; x\; 3\; =\; -\; b\; 3\; a,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\; =\; x\_\; \{2\}\; =\; x\_\; \{3\; \}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{\backslash ,\; 3a\; \backslash ,\}\}\; ~,\}$

  и

  $ax\; 3\; +\; bx\; 2\; +\; cx\; +\; d\; =\; a\; (x\; +\; b\; 3\; a)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; ^\; \{3\}\; +\; bx\; ^\; \{2\}\; +\; cx\; +\; d\; =\; a\; \backslash \; left\; (x\; +\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{\backslash ,\; 3a\; \backslash ,\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{3\}\}$

  • или, если $б\; 2\; \ne \; 3\; переменного\; тока,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash ;\; Ь\; ^\; \{2\}\; \backslash \; neq\; 3ac\; \backslash ;,\}$кубика имеет двойной корень

  $x\; 2\; =\; x\; 3\; =\; 9\; ad\; -\; bc\; 2\; (b\; 2\; -\; 3\; ac),\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{2\}\; =\; x\_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{9ad-bc\}\; \{\backslash ,\; 2\; (b\; ^\; \{2\}\; -3ac)\; \backslash ,\}\}\; ~,\}$

  и простой корень,

  $x\; 1\; =\; 4\; abc\; -\; 9\; a\; 2\; d\; -\; b\; 3\; а\; (\; б\; 2\; -\; 3\; ас).\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash ,\; 4abc-9a\; ^\; \{2\}\; db\; ^\; \{3\}\; \backslash ,\}\; \{a\; (b\; ^\; \{2\}\; -3ac)\}\}\; ~.\}$

  и, Следовательно,

  $ах\; 3\; +\; bx\; 2\; +\; cx\; +\; d\; =\; a\; (x\; -\; x\; 1)\; (x\; -\; x\; 2)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; ^\; \{3\}\; +\; bx\; ^\; \{2\}\; +\; cx\; +\; d\; =\; a\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (x-x\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (x-x\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; ~.\}$

  Характеристика 2 и 3

  Приведенные выше результаты действительны, если коэффициенты принадлежат полюса характеристики, кроме 2 или 3, но должны быть измененными для характеристик 2 или 3 из-за задействованных делений на 2 и 3.

  Редукция до пониженной формы работает для характеристик 2, но не для характеристик 3. В обоих случаях это проще установить и определить для общей кубики. Основным инструментом для этого является тот факт, что кратный корень является общим корнем многочлена и его формальной производной. В этих характеристиках, если производная не константой, она имеет единственный корень, введенный линейным в характеристике 3, или квадрат линейного полинома в характеристике 2. Это позволяет вычислить кратный корень, а третий корень может быть выведен из суммы корней, которая предоставляется формулами Виета.

  Отличие от других характеристик состоит в том, что в характеристике 2 формула двойного корня включает квадратный корень, а в характеристике 3 формула для тройной корень включает кубический корень.

  Формуле Кардано

  Джероламо Кардано приписывают публикацию первой формулы для решения кубических формул, приписывая ее Принципионе дель Ферро. Формула применима к кубикам с углублением, но, как показано в § Кубика с углублением, она позволяет решать все кубические уравнения.

  Результат Кардано таков: если

  $x\; 3\; +\; px\; +\; q\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{3\}\; +\; px\; +\; q\; =\; 0\}$

  - это кубическое уравнение, такое что p и q являются действительными числами такими, что $4\; p\; 3\; +\; 27\; q\; 2>0,\; \{\backslash \; displaystyle\; 4p\; ^\; \{3\}\; +\; 27q\; ^\; \{2\}>0,\}$тогда уравнение имеет реальный корень <6>- q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - q 2 4 + p 3 27 3. {\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {- {\ frac {q} {2}} + {\ sqrt {{\ frac {q ^ {2}} {4}} + {\ frac {p ^ {3}} {27}}}}}} + {\ sqrt [{3}] {- { \ frac {q} {2}} - {\ sqrt {{\ frac {q ^ {2}} {4}} + {\ frac {p ^ {3}} {27}}}}}}.}. }

  См. § Получение корней ниже, чтобы узнать о нескольких методах получения этого результата.

  Как показано в § Природа корней, два других В этом случае корни - это не действительные комплексно-сопряженные числ а. Позже было показано (Кардано не знал комплексных чисел ), что два других корня получаются умножением одного из корней куба на примитивный кубический корень из единицы $-\; 1\; +\; i\; 3\; 2,\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{-1\; +\; i\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\; \{2\}\},\}$и корень другого куба на $-\; 1\; -\; i\; 3\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{-1-i\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\; \{2\}\}.\}$

  Если существует три действительных корня, но теория Галуа позволяет доказать, что они не могут быть выражены алгебраическим выражением, включающим только действительные числа. Следовательно, в этом случае уравнение не может быть решено с учетом времени Кардано. Таким образом, этот падеж был назван casus unducibilis, что на латыни означает неприводимый падеж.

  В случае использования casus irducibilis формула Кардано все еще может найти, но при использовании кубических корней требуется некоторая осторожность. Первый метод - определить символы $\{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{~\}\; ^\; \{~\}\}\}\}$и $3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\{~\; \}\; ^\; \{~\}\}\}\}$как представление основных значений основная функция (то есть корня, имеющая наибольшую действующую часть). С этим соглашением формула Кардано для трех корней остается в силе, но не является чисто алгебраической, обозначением главной части не является чисто алгебраическим, поскольку оно включает неравенство для сравнения действительных частей. Кроме того, использование главного корня куба может дать неверный результат, если коэффициенты не являются действительными комплексными числами. Более того, если коэффициенты принадлежат другому полю , главный корень куба, как правило, не определено.

  Второй способ сделать формулу Кардано всегда правильный - это отметить, что произведение двух корней куба должно быть –p / 3. В результате корень уравнения равенство

  $C\; -\; p\; 3\; C\; с\; C\; =\; -\; q\; 2\; +\; q\; 2\; 4\; +\; п\; 3\; 27\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; -\; \{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{3C\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{with\}\}\; \backslash \; quad\; C\; =\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{\; q\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{2\}\}\; \{4\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{3\}\}\; \{27\}\}\}\}\}\}.\}$

  В формуле символов $\{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{~\}\; ^\; \{~\}\}\}\}$и $3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\{~\}\; ^\; \{\; ~\}\}\}\}$обозначают любой квадратный корень и любой кубический корень. Остальные корни уравнения получаются либо заменой кубического корня, либо умножением кубического корня на примитивный кубический корень из единицы, то есть $-\; 1\; \pm \; -\; 3\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{-1\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{-\; -\; 3\}\}\}\; \{2\}\}.\}$

  Эта формула для корней всегда верна, кроме случаев, когда p = q = 0, при условии, если q = 0, выбора квадратного корня для того, чтобы иметь C ≠ 0. Однако формула бесполезна в этих случаях может быть выражена без кубического корня. Точно так же формула бесполезна и в других случаях, когда кубический корень не нужен, то есть когда $4\; p\; 3\; +\; 27\; q\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 4p\; ^\; \{3\}\; +\; 27q\; ^\; \{2\}\; =\; 0\}$и когда кубический многочлен не неприводимый.

  Эта формула также верна, когда p и q принадлежат любому полю характеристики кроме 2 или 3.

  Общая кубическая формула

  Кубическая формула для корней общего кубического уравнения (с a ≠ 0)

  $ax\; 3\; +\; bx\; 2\; +\; cx\; +\; d\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; ^\; \{3\}\; +\; bx\; ^\; \{\; 2\}\; +\; cx\; +\; d\; =\; 0\}$

  можно вывести из любого варианта формулы Кардано путем сведения к угнетенной кубической. Представленный здесь вариант действителен не только для реальных коэффициентов, но и для коэффициентов a, b, c, d, принадлежащих любому полю характеристики, отличной от 2 и 3.

  Формула довольно сложна, поэтому стоит разбить ее на более мелкие формулы.

  Пусть

  $\Delta \; 0\; =\; b\; 2\; -\; 3\; ac,\; \Delta \; 1\; =\; 2\; b\; 3\; -\; 9\; abc\; +\; 27\; a\; 2\; d,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{0\}\; =\; b\; ^\; \{2\}\; -3ac,\; \backslash \backslash \backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; =\; 2b\; ^\; \{3\}\; -9abc\; +\; 27a\; ^\; \{2\}\; d,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

  и

  $C\; =\; \Delta \; 1\; \pm \; \Delta \; 1\; 2\; -\; 4\; \Delta \; 0\; 3\; 2\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; -4\; \backslash \; Delta\; \_\; \{0\}\; ^\; \{3\}\}\}\}\; \{2\}\}\},\}$

  где символы $\{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{~\}\; ^\; \{~\}\}\}\}$и $3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\{~\}\; ^\; \{~\}\}\}\}$интерпретируются как любой квадратный корень и любой кубический корень соответственно. Знак «±» перед квадратным корнем означает «+» или «-»; выбор почти произвольный, и его изменение равносильно выбору другого квадратного корня. Однако, если выбор дает C = 0, тогда должен быть выбран другой знак. Тогда один из корней равен

  $x\; =\; -\; 1\; 3\; a\; (b\; +\; C\; +\; \Delta \; 0\; C).\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3a\}\}\; \backslash \; left\; (b\; +\; C\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; \_\; \{0\}\}\; \{C\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; text\; \{.\}\}\}$

  Два других корня можно получить, изменить выбор кубического корня в определении C или, что то же самое, умножив C на примитивный кубический корень из единицы, то есть –1 ± √ - 3 / 2. Другими словами, три корня:

  $xk\; =\; -\; 1\; 3\; a\; (b\; +\; \xi \; k\; C\; +\; \Delta \; 0\; \xi \; k\; C),\; k\; \in \; \{0,\; 1,\; 2\},\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{k\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{3a\}\}\; \backslash \; left\; (b\; +\; \backslash \; xi\; ^\; \{k\}\; C\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; \_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; xi\; ^\; \{k\}\; C\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; qquad\; k\; \backslash \; in\; \backslash \; \{0,1,2\; \backslash \}\; \{\backslash \; text\; \{,\}\}\}$

  где ξ = –1 + √ - 3/2.

  Что касается особого случая углубления кубики, формула применима, когда корни могут быть выражены без кубических корней.

  Тригонометрические и гиперболические решения

  Тригонометрическое решение для трех действующих корней

  Когда кубическое уравнение с действующими коэффициентами имеет три действительных корня, формулы, выражающие эти корни черезлы, включая сложные числа. Теория Галуа позволяет доказать, что когда три корня действительны и ни один из них не является рациональным (casus unducibilis ), нельзя выразить корни в терминах реальных радикалов. Тем не менее, реальные выражения могут быть получены с помощью тригонометрических функций, в частности, в терминах косинусов и арккосинусов. Точнее, корни угнетенной кубической

  $t\; 3\; +\; pt\; +\; q\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; ^\; \{3\}\; +\; p\; \backslash ,\; t\; +\; q\; =\; 0\}$

  равны

  $tk\; =\; 2\; -\; p\; 3\; соз\; \; [1\; 3\; arccos\; \; (3\; q\; 2\; p\; -\; 3\; p)\; -\; 2\; \pi \; k\; 3]\; для\; k\; =\; 0,\; 1,\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{k\}\; =\; 2\; \backslash ,\; \{\backslash \; sqrt\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash ,\; P\; \backslash ,\}\; \{3\}\}\; \backslash ;\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; [\backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; arccos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash ,\; 3q\; \backslash ,\}\; \{2p\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{-3\; \backslash ;\}\; \{p\}\}\; \backslash ,\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; справа)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash ,\; 2\; \backslash \; pi\; k\; \backslash ,\}\; \{\; 3\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; right]\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; ~\; k\; =\; 0,1,2\; \backslash \; ;.\}$

  Это формула принадлежит François Viète. Это чисто реально, когда уравнение имеет три действительных корня (то есть ). В противном случае это все еще правильно, но включает сложные косинусы и арккосинусы, когда есть только один действительный корень, и бессмысленно (деление на ноль), когда p = 0).

  Эту формулу можно напрямую преобразовать в формулу для корней общего кубического уравнения, используя обратную подстановку, описанную в § Углубленная кубическая. Это можно доказать следующим образом:

  Исходя из уравнения t + p t + q = 0, положим t = u cos θ. Идея состоит в том, чтобы выбрать u, чтобы уравнение совпадало с тождеством

  $4\; cos\; 3\; \; \theta \; -\; 3\; cos\; \; \theta \; -\; cos\; \; (3\; \theta )\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; ^\; \{3\}\; \backslash \; theta\; -3\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; -\; \backslash \; cos\; (\backslash ,\; 3\; \backslash \; theta\; \backslash ,)\; =\; 0\; \backslash \; ;.\}$

  Для этого выберите $u\; =\; 2\; -\; p\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; 2\; \backslash ,\; \{\backslash \; sqrt\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash ,\; p\; \backslash ,\}\; \{3\}\}\; \backslash ;\}\}\; \backslash ,,\}$и разделить уравнение по $u\; 3\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{\backslash ;\; u\; ^\; \{3\}\; \backslash ,\}\; \{4\}\}\; \backslash ,.\}$Это дает

  $4\; cos\; 3\; \; \theta \; -\; 3\; cos\; \; \theta \; -\; 3\; q\; 2\; р\; -\; 3\; р\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; ^\; \{3\}\; \backslash \; theta\; -3\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash ,\; 3q\; \backslash ,\}\; \{2p\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{-3\; \backslash ;\}\; \{p\}\}\; \backslash ,\}\}\; =\; 0\; \backslash \; ;.\}$

  В сочетании с указанным выше тождеством получаем

  $cos\; \; (3\; \theta )\; =\; 3\; q\; 2\; p\; -\; 3\; p,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; (3\; \backslash \; theta)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash ,\; 3q\; \backslash ,\}\; \{2p\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{-3\; \backslash ;\}\; \{p\}\}\; \backslash ,\}\}\; \backslash \; ;,\}$

  и Таким образом, корни равны

  $tk\; =\; 2\; -\; p\; 3\; cos\; \; [1\; 3\; arccos\; \; (3\; q\; 2\; p\; -\; 3\; p)\; -\; 2\; \pi \; k\; 3]\; для\; k\; =\; 0,\; 1,\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{k\}\; =\; 2\; \backslash ,\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash ,\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash ,\; p\; \backslash ,\}\; \{3\}\}\; \backslash ;\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; arccos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash ,\; 3q\; \backslash ,\}\; \{2p\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{-3\; \backslash ;\}\; \{p\}\}\; \backslash ,\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash ,\; 2\; \backslash \; pi\; k\; \backslash ,\}\; \{3\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; ~\; k\; =\; 0,1,2\; \backslash ;.\}$

  Гиперболическое решение для одного действительного корня

  Когда есть только один действительный корень (и p ≠ 0), этот корень можно аналогичным образом представить с помощ ью гиперболических функций, как

  

  Если p ≠ 0 и неравенства справа не выполняются (трех случайных действительных корней), формулы остаются действительными, но включают комплексные величины.

  Когда p = ± 3, приведенные выше значения t 0 иногда называют кубическим корнем Чебышева. Точнее, значения с косинусами и гиперболическими косинусами определяют, когда p = −3, ту же аналитическую функцию, обозначенную C 1/3 ( q), которая является правильным кубическим корнем Чебышева. Значение, включающее гиперболические sines аналогично обозначается S 1/3 (q), когда p = 3.

  Геометрические решения

  Решение Омара Хайяма

  Геометрическое решение Омара Хайяма кубического уравнения для случая m = 2, n = 16, дающее корень 2. Пересечение вертикальной линии на оси x в центре круг является случайностью проиллюстрированного примера.

  Для решения кубического уравнения x + mx = n, где n>0, Омар Хайям построил параболу y = x / m, круг, который имеет диаметр отрезка [0, n / m] на положительной оси x и вертикальная линия, проходящая через точку пересечения окружности и параболы над осью x. Решение определяется длиной горизонтального отрезка от начала координат до пересечения вертикальной линии и оси x (см. Рисунок).

  Простое современное доказательство состоит в следующем. Умножение уравнения на x / m и перегруппировка членов дает

  $x\; 4\; m\; 2\; =\; x\; (n\; m\; 2\; -\; x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{4\}\}\; \{m\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; x\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{m\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; x\; \backslash \; right).\}$

  В левой части находится значение y на параболе. Уравнение круга: y + x (x - n / m) = 0, правая часть - это значение y на круге.

  Решение с трисектором угла

  Кубическое уравнение с действительными коэффициентами может быть решено геометрически с использованием циркуля, линейки и трисектора угла тогда и только тогда. если у него три действительных корня.

  Кубическое уравнение может быть решено с помощью построения циркуля и линейки (без трисектора) тогда и только тогда, когда оно имеет рациональный корень. Это означает, что старые проблемы трисекции угла и удвоения куба, поставленные древнегреческими математиками, не могут быть решены с помощью построения циркуля и линейки.

  Геометрическая интерпретация корней

  Три действительных корня

  Для кубики (1)с тремя действительными корнями корни - это проекции на ось x вершин A, B и C равностороннего треугольника . Центр треугольника имеет ту же x-координату, что и точка перегиба .

  . Тригонометрическое выражение корней Виете в случае трех действительных корней поддается геометрической интерпретации в терминах круга. Когда кубика записана в форме скобки (2), t + pt + q = 0, как показано выше, решение может быть выражено как

  $tk\; =\; 2\; -\; p\; 3\; cos\; \; (1\; 3\; arccos\; \; (3\; q\; 2\; p\; -\; 3\; p)\; -\; k\; 2\; \pi \; 3)\; для\; k\; =\; 0,\; 1,\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{k\}\; =\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{3\}\}\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; arccos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; 3q\}\; \{2p\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{-3\}\; \{p\}\}\}\; \backslash \; right)\; -k\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; \backslash \; quad\; k\; =\; 0,1,2\; \backslash ,.\}$

  Здесь $arccos\; \; (3\; q\; 2\; p\; -\; 3\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arccos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{3q\}\; \{2p\}\}\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{-3\}\; \{p\}\}\}\; \backslash \; right)\}$- угол в единичной окружности; взятие 1/3 этого угла соответствует извлечению кубического корня из комплексного числа; добавление −k2π / 3 для k = 1, 2 находит другие корни куба; и умножение косинусов этих результирующих углов на $2\; -\; p\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{3\}\}\}\}\}\}$корректирует масштаб.

  В случае без депрессии (1)(показанного на прилагаемом графике) депрессивный случай, как указано ранее, получается путем определения таким образом, что x = t - b / 3a, поэтому t = x + b / 3а. Графически это соответствует простому смещению графика по горизонтали при переключении между переменными t и x без изменений угловых изменений. Этот сдвиг перемещает точку перегиба и центр круга на ось y. Следовательно, сумма корней уравнения по t равна нулю.

  Один действительный корень

  В декартовой плоскости

  Наклон прямой RA в два раза больше, чем RH. Обозначая комплексные корни кубики как g ± hi, g = OM (здесь отрицательное значение) и h = √tan ORH = √ наклон прямой RH = BE = DA.

  Когда график кубической функции отображается в декартовой плоскости, если есть только один действительный корень, это абсцисса (координата x) горизонтального пересечения кривой (точка R на рисунок). Кроме того, если комплексно сопряженные корни записаны как g ± hi, то вещественная часть g является абсциссой точки касания H касательной линии к кубике, проходящей через x- перехват R кубики (то есть длина RM со знаком, на рисунке отрицательная). Мнимые части ± h являются квадратными корнями из тангенса угла между этой касательной и горизонтальной осью.

  В комплексной плоскости

  С одним действительным и два комплексных корня, три корня могут быть представлены в виде точек на комплексной плоскости, как и два корня производной кубики. Между всеми этими корнями существует интересная геометрическая связь.

  Точки на комплексной плоскости, представляющие три корня, пейзаж вершины равнобедренного треугольника. (Треугольник является равнобедренным, потому что один корень находится на горизонтальной (действительной) оси, являясь комплексно сопряженными, симметрично выше и ниже действительной оси.) Теорема Мардена гласит, что точки, представляющие корни производной кубики - это фокусы эллипса Штейнера треугольника - уникального эллипса, который касается треугольника в серединах его сторон. Если угол при вершине на действующей оси меньше, чем π / 3, тогда большая ось эллипса лежит на действительной оси, как и его фокусы и, следовательно, корни производной. Если этот угол больше π / 3, большая ось вертикальна, а ее фокусы, корни производной, являются комплексно сопряженными. И если этот угол равен π / 3, треугольник равносторонний, эллипс Штейнера - это просто вписанная окружность треугольника, его фокусы совпадают друг с другом в центре, который лежит на действительной оси, и, следовательно, производная имеет повторяющиеся действительные корни.

  Группа Галуа

  Для кубического неприводимого многочлена над полем k характеристики, отличной от 2 и 3, группа Галуа над k - это группа полевых автоморфизмов, фиксирующих k наименьшего расширения k (поле расщепления ). Эти автоморфизмы должны переставлять корни многочленов, эта группа является либо группой S 3 всех шести перестановок трех корней, либо группой A 3 трех круговых перестановок.

  Дискриминант Δ кубики - это квадрат

  $\Delta \; =\; a\; 2\; (r\; 1\; -\; r\; 2)\; (r\; 1\; -\; r\; 3)\; (r\; 2\; -\; r\; 3),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; Delta\; \}\}\; =\; a\; ^\; \{2\}\; (r\_\; \{1\}\; -r\_\; \{2\})\; (r\_\; \{1\}\; -r\_\; \{3\})\; (r\_\; \{2\}\; -r\_\; \{3\}),\}$

  где a - старший коэффициент кубики, а r 1, r 2 и r 3 - три корня кубики. <Времен375>Δ {\ displaystyle {\ sqrt {\ Delta}}}меняет знак при обмене двумя корнями, $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; Delta\}\}\}$фиксированной группой Галуа, только если группа Галуа - A 3. Другими словами, группа Галуа является A 3 тогда и только тогда, когда дискриминант является квадратом элемента k.

  Большинство целых чисел не являются квадратами, при работе с полем Q из рациональных чисел группа Галуа наиболее неприводимых кубических многочленов является группой S 3 с шестью элементами. Пример группы Галуа A 3 с тремя элементами дается формулой p (x) = x - 3x - 1, дискриминант с равенством 81 = 9.

  Вывод корней

  В этом раздел собраны несколько методов вывода формулы Кардано.

  метод Кардано

  Этот метод принадлежит Принципионе дель Ферро и Тарталье, но назван в честь Джероламо Кардано, который первым опубликовал его в своей книге Арс Магна (1545).

  Этот метод применяется к вогнутой кубике t + pt + q = 0. Идея состоит в том, чтобы сделать две переменные u и v так, чтобы u + v = t, и подставить их в депрессивную кубику, получив

  $U\; 3\; +\; v\; 3\; +\; (3\; uv\; +\; p)\; (u\; +\; v)\; +\; q\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; ^\; \{3\}\; +\; v\; ^\; \{3\}\; +\; (3uv\; +\; p)\; (u\; +\; v)\; +\; q\; =\; 0.\}$

  На этом этапе Кардано наложил условие 3uv + p = 0. Это убирает третий член в предыдущем равенстве, что приводит к системе уравнений

  $u\; 3\; +\; v\; 3\; =\; -\; quv\; =\; -\; p\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; u\; ^\; \{3\}\; +\; v\; ^\; \{3\}\; =\; -\; q\; \backslash \backslash \; uv\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{3\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

  Зная сумма и произведение u и v, можно сделать вывод, что они являются двумя решениями квадратного уравнения

  $(x\; -\; u\; 3)\; (x\; -\; v\; 3)\; =\; x\; 2\; -\; (u\; 3\; +\; v\; 3)\; Икс\; +\; U\; 3\; v\; 3\; знак\; равно\; Икс\; 2\; -\; (U\; 3\; +\; v\; 3)\; Икс\; +\; (УФ)\; 3\; =\; 0,\; \{\backslash \; Displaystyle\; (xu\; ^\; \{3\})\; (xv\; ^\; \{3\; \})\; =\; х\; ^\; \{2\}\; -\; (u\; ^\; \{3\}\; +\; v\; ^\; \{3\})\; x\; +\; u\; ^\; \{3\}\; v\; ^\; \{3\}\; =\; x\; ^\; \{2\}\; -\; (u\; ^\; \{3\}\; +\; v\; ^\; \{3\})\; x\; +\; (uv)\; ^\; \{3\}\; =\; 0,\}$

  поэтому

  $x\; 2\; +\; qx\; -\; p\; 3\; 27\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; qx\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\; p\; ^\; \{3\}\}\; \{27\}\}\; =\; 0,\}$

  Дискриминант этого уравнения равен $\Delta \; =\; q\; 2\; +\; 4\; p\; 3\; 27\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; q\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{4p\; ^\; \{3\}\}\; \{27\}\}\}$, и в предположении, что он положительные, действительные решения этого уравнения (после складывания деления на 4 под квадратным корнем):

  $-\; q\; 2\; \pm \; q\; 2\; 4\; +\; p\; 3\; 27.\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{2\}\}\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{2\}\}\; \{4\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{3\}\}\; \{27\}\}\}\}.\}$

  Итак (без ограничения общности выбора u v):

  $u\; =\; -\; q\; 2\; +\; q\; 2\; 4\; +\; p\; 3\; 27\; 3.\; \{\backslash \; displaystyl\; eu\; =\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{2\}\}\; \{4\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{p)\; ^\; \{\; 3\}\}\; \{27\}\}\}\}\}\}.\}$

  $v\; =\; -\; q\; 2\; -\; q\; 2\; 4\; +\; p\; 3\; 27\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{\; q\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{2\}\}\; \{4\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{p)\; ^\; \{3\}\}\; \{27\}\}\}\}\}\}.\}$

  Сумма кубических корней этих решений является корнем уравнений. То есть

  $t\; =\; -\; q\; 2\; +\; q\; 2\; 4\; +\; p\; 3\; 27\; 3\; +\; -\; q\; 2\; -\; q\; 2\; 4\; +\; p\; 3\; 27\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{-\; \{q\; \backslash \; более\; 2\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{q\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; 4\}\; +\; \{p\; ^\; \{3\}\; \backslash \; over\; 27\}\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{-\; \{q\; \backslash \; over\; 2\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{q\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; 4\}\; +\; \{p\; ^\; \{3\}\; \backslash \; over\; 27\}\}\}\}\}\}$

  - корень уравнения; это формула Кардано.

  Это хорошо работает, когда $4\; p\; 3\; +\; 27\; q\; 2>0,\; \{\backslash \; displaystyle\; 4p\; ^\; \{3\}\; +\; 27q\; ^\; \{2\}>0,\}$но, если квадратный корень, фигурирующий в формуле, не является действительным. Форма комплексное число имеет три кубических корня, использование формулы Кардано без осторожности даст девять корней, кубическое уравнение не Это было впервые разъяснено Рафаэлем Бомбелли в его книге L'Algebra (1572). Решение состоит в том, что uv = –p / 3, то есть v = - p / 3u. Это означает, что можно вычислить только один кубический корень, и приводит ко второй формуле, приведенной в § Формула Кардано.

  Другие корни уравнения могут быть получены путем изменения кубического корня, или эквивалентно, умножением кубического корня ня на каждый из двух примитивных кубических корней из единицы, которые равны $-\; 1\; \pm \; -\; 3\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{-1\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{-3\}\}\}\; \{\; 2\}\}.\}$

  Подстановка Виета

  Подстановка Виета - это метод, представленный Франсуа Виетом (Виета - его латинское имя) в тексте, опубликованном посмертно в 1615 году, который непосредственно используется вторую формулу § метода Кардано и позволяет избежать проблемы вычислений двух разных кубических корней.

  Начало с угнетенной кубики t + pt + q = 0, замена Виета имеет вид t = w - p / 3w.

  Подстановка t = w - p / 3w преобразует угнетенную кубику в

  $w\; 3\; +\; q\; -\; p\; 3\; 27\; w\; 3\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; ^\; \{3\}\; +\; q\; -\; \{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{3\}\}\; \{27w\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; 0.\}$

  Умножая на w, получаем квадратное уравнение w:

  $(w\; 3)\; 2\; +\; q\; (w\; 3)\; -\; p\; 3\; 27\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; (w\; ^\; \{3\})\; ^\; \{2\}\; +\; q\; (w\; ^\; \{3)\})\; -\; \{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{3\}\}\; \{27\}\}\; =\; 0.\}$

  Пусть

  $W\; =\; -\; q\; 2\; \pm \; p\; 3\; 27\; +\; q\; 2\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{2\}\}\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{3\}\}\; \{27\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{2\}\}\; \{4\}\}\}\}\}$

  быть любым ненулевой корень этого квадратного уравнения. Если w 1, w 2 и w 3 тремя кубическими корнями из W, то корни исходной депрессивной кубической системы равны w 1 - p / 3w 1, w 2 - p / 3w 2 и w 3 - п / 3w 3. Другой корень квадратного уравнения равенство $-\; p\; 3\; 27\; Вт.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{3\}\}\; \{27W\}\}.\}$Это означает, что изменение знака квадратного корня меняет местами w i и - p / 3w i для i = 1, 2, 3 и, следовательно, не меняет корни. Этот метод не работает только тогда, когда оба корня квадратного уравнения равны нулю, то есть когда p = q = 0, и в этом случае единственная корень углубленной кубики равен 0.

  Метод Лагранжа

  В своей статье Рефлексии на основе алгебраических решений уравнений («Мысли об алгебраическом решении уравнений») Джозеф Луи Лагранж представил новый метод решений низкой степени единообразным образом, с надеждой, что он мог обобщить это для более высоких степеней. Этот метод хорошо работает для кубических четвертой степени, но Лагранжу не удалось применить его к уравнению пятой степени, поскольку он требует решения резольвентного полинома не менее шестой степени. За исключением того, что решить задачу ранее никому не удавалось, это было первым признаком алгебраической формулы для степеней 5 и выше. Позже это было доказано и названо теоремой Абеля - Руффини. Тем не менее, современные методы решения уравнений пятой степени основаны в основном на методе Лагранжа.

  В случае кубических условий метод Лагранжа дает то же решение, что и метод Кардано. Метод Лагранжа может быть применен непосредственно к общему кубическому уравнению ax + bx + cx + d = 0, но проще с кубическим уравнением с депрессией, t + pt + q = 0.

  Основная идея Лагранжа заключалась в для работы с дискретным преобразованием Фурье корней вместо самих корней. Точнее, пусть ξ будет примитивным корнем третьей степени из единицы, то есть таким числом, что ξ = 1 и ξ + ξ + 1 = 0 (при работе в пространстве комплексных чисел, один имеет $\xi \; =\; -\; 1\; \pm \; i\; 3\; 2\; =\; е\; 2\; я\; \pi \; /\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; xi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-1\; \backslash \; pm\; i\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\; \{2\}\}\; =\; e\; ^\; \{2i\; \backslash \; pi\; /\; 3\},\}$, но эта сложная интерпретация здесь не используется). Обозначая x 0, x 1 и x 2 три корня кубического уравнения, которое нужно решить, пусть

  $s\; 0\; =\; x\; 0\; +\; x\; 1\; +\; Икс\; 2,\; s\; 1\; знак\; равно\; Икс\; 0\; +\; \xi \; Икс\; 1\; +\; \xi \; 2\; Икс\; 2,\; s\; 2\; =\; Икс\; 0\; +\; \xi \; 2\; Икс\; 1\; +\; \xi \; Икс\; 2,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{Выровнено\}\; s\_\; \{0\}\; =\; x\_\; \{\; 0\}\; +\; x\_\; \{1\}\; +\; x\_\; \{2\},\; \backslash \backslash \; s\_\; \{1\}\; =\; x\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; xi\; x\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; xi\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{2\},\; \backslash \backslash \; s\_\; \{2\}\; =\; x\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; xi\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; xi\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

  - дискретное преобразование Фурье корней. Если s 0, s 1 и s 2 известны, корни могут быть восстановлены из них с помощью обратного преобразования Фурье, состоящего из обращения этого линейного преобразования; то есть

  $x\; 0\; =\; 1\; 3\; (s\; 0\; +\; s\; 1\; +\; s\; 2),\; x\; 1\; =\; 1\; 3\; (s\; 0\; +\; \xi \; 2\; s\; 1\; +\; \xi \; s\; 2),\; x\; 2\; =\; 1\; 3\; (s\; 0\; +\; \xi \; s\; 1\; +\; \xi \; 2\; s\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{3\}\}\; (s\_\; \{0\}\; +\; s\_\; \{1\}\; +\; s\_\; \{2\}),\; \backslash \backslash \; x\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{3\}\}\; (s\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; xi\; ^\; \{2\}\; s\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; xi\; s\_\; \{2\}),\; \backslash \backslash \; x\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{\; 3\}\}\; (s\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; xi\; s\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; xi\; ^\; \{2\}\; s\_\; \{2\}).\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

  По формулам Виета, s 0, как известно, равняется нулю в случае кубики с углублением и −b / a для общей кубики. Таким образом, необходимо вычислить только s 1 и s 2. Они не являются симметричными функциями корней (обмен x 1 и x 2 также меняет s 1 и s 2), но некоторые простые симметричные функции s 1 и s 2 также симметричны по корням решаемого кубического уравнения. Таким образом, эти симметричные функции могут быть выражены через (известные) коэффициенты исходной кубики, и это позволяет в конечном итоге выразить s и как корни многочлена с известными коэффициентами.

  В случае кубического уравнения такими симметричными многочленами являются P = s 1s2и S = ​​s 1 + s 2 (см. Ниже). Отсюда следует, что s 1 и s 2 являются двумя корнями квадратного уравнения z - Sz + P = 0. Таким образом, разрешение уравнения может быть завершено точно так же, как с методом Кардано., с s 1 и s 2 вместо u и v.

  В случае вдавленной кубики x 0 = 1/3 (s 1 + s 2) и s 1s2= −3p, в то время как в методе Кардано мы установили x 0 = u + v и uv = −1 / 3шт. Таким образом, до обмена u и v s 1 = 3u и s 2 = 3v. Другими словами, в этом случае метод Лагранжа вычисляет в точности одни и те же вещи с помощью трех вспомогательных чисел, причем главное состоит в том, что метод Лагранжа объясняет, почему эти вспомогательные переменные появляются в задаче.

  Вычисление S и P

  Прямое вычисление с использованием использования ξ = 1 и ξ + ξ + 1 = 0

  $P\; =\; s\; 1\; s\; 2\; =\; x\; 0\; 2\; +\; x\; 1\; 2\; +\; x\; 2\; 2\; -\; (x\; 0\; x\; 1\; +\; x\; 1\; x\; 2\; +\; x\; 2\; x\; 0),\; S\; =\; s\; 1\; 3\; +\; s\; 2\; 3\; =\; 2\; (x\; 0\; 3\; +\; x\; 1\; 3\; +\; x\; 2\; 3)\; -\; 3\; (Икс\; 0\; 2\; Икс\; 1\; +\; Икс\; 1\; 2\; Икс\; 2\; +\; Икс\; 2\; 2\; Икс\; 0\; +\; Икс\; 0\; Икс\; 1\; 2\; +\; Икс\; 1\; Икс\; 2\; 2\; +\; Икс\; 2\; Икс\; 0\; 2)\; +\; 12\; Икс\; 0\; Икс\; 1\; Икс\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; P\; =\; s\_\; \{1\}\; s\_\; \{2\}\; =\; x\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; +\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; -\; (x\_\; \{0\}\; x\_\; \{1\; \}\; +\; x\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\}\; +\; x\_\; \{2\}\; x\_\; \{0\}),\; \backslash \backslash \; S\; =\; s\_\; \{1\}\; ^\; \{3\}\; +\; s\_\; \{2\}\; ^\; \{3\}\; =\; 2\; (x\_\; \{0\}\; ^\; \{3\}\; +\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{3\}\; +\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{3\})\; -\; 3\; (x\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{1\}\; +\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{2\; \}\; +\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{0\}\; +\; x\_\; \{0\}\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; x\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; x\_\; \{2\}\; x\_\; \{0\}\; ^\; \{2\})\; +\; 12x\_\; \{0\}\; x\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

  Это показывает, что P и Q являются симметричными функциями корней. Используя тождества Ньютона, их просто выразить в терминах элементарных симметричных функций корней, давая

  $P\; =\; e\; 1\; 2\; -\; 3\; e\; 2,\; S\; =\; 2\; е\; 1\; 3–9\; е\; 1\; е\; 2\; +\; 27\; е\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; P\; =\; e\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; -3e\_\; \{2\},\; \backslash \backslash \; S\; =\; 2e\_\; \{1\}\; ^\; \{3\}\; -9e\_\; \{1\; \}\; e\_\; \{2\}\; +\; 27e\_\; \{3\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

  с e 1 = 0, e 2 = p и e 3 = −q в случае вдавленной кубики и e 1 = −b / a, e 2 = c / a и e 3 = −d / a, в общем случае.

  Приложения

  Кубические уравнения в различных контекстах.

  В математике

  • Трисекция угла и удвоение куба - это две древние проблемы геометрии, которые, как было доказано, не решаемы линейка и компас, поскольку они эквивалентны решению кубического уравнения.
  • Теорема Мардена трех утверждает, что фокусы эллипса Штайнера любого треугольника можно найти с помощью кубических функций, корни которых являются координатами в комплексной плоскости вершин треугольника. Корни первой производной этой кубики являются комплексными координатами этих фокусов.
  • Площадь правильного семиугольника может быть выражена с точки зрения корней кубика. Кроме того, отношения длинного диагонали к стороне, стороны к короткой диагонали и отрицательного значения соответствуют определенному кубическому уравнению. Кроме того, внутренним радиусом к описанным радиусу для семи тогоугольного треугольника является одним из решений кубического уравнения. Значения тригонометрических функций угловых, связанных с $2\; \pi \; /\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\; /\; 7\}$, удовлетворяют кубическим уравнениям.
  • Данный косинус (или другую тригонометрическую функцию) произвольного угла, косинус одной трети этого угла является одним из корней кубики.
  • Решение общего уравнения четвертой степени опирается на решение его резольвентной кубики.
  • . Собственные значения матрицы 3 × 3 являются корнями кубического многочлена, который является характерным многочленом матрицы.
  • характеристическое уравнение для постоянных коэффициентов третьего порядка линейное дифференциальное уравнение или разностное уравнение является кубическим уравнением.
  • Точки пересечения кубической кривой Безье и прямые линии могут быть вычислены с использованием прямого кубического уравнения, представляющего кривую Безье.

  В других науках

  • В аналитической химии, уравнение Шарло, которое можно использовать для найти pH буферных растворов, можно решить с помощью кубического уравнения.
  • В термодинамике, уравнения состояния (связанные с давлением, объемом и температурой вещества) кубичны по объему.
  • Кинематические уравнения, включающие линейные скорости ускорения, кубические.
  • Скорость сейсмических волн Рэлея - это решение кубического уравнения волны Рэлея.
  Примечания
  Ссылки
  • Гильбо, Люси (1930), «История решения кубического уравнения», «Новости математики», 5 (4): 8–12, doi : 10.2307 / 3027812, JSTOR 3027812
  Дополнительная литература
  • Энглин, WS; Ламбек, Иоахим (1995), «Математика в эпоху Возрождения», Наследие Фалеса, Спрингерс, стр. 125–131, ISBN 978-0-387-94544 -6 гл. 24.
  • Денс, Т. (ноябрь 1997 г.), «Кубика, хаос и метод Ньютона», Mathematical Gazette, Mathematical Association, 81(492): 403–408, doi : 10.2307 / 3619617, ISSN 0025-5572, JSTOR 3619617
  • Даннет, Р. (ноябрь 1994 г.), «Ньютон - Рафсон и кубик», Mathematical Gazette, Mathematical Association, 78(483): 347–348, doi : 10.2307 / 3620218, ISSN 0025-5572, JSTOR 3620218
  • Джейкобсон, Натан (2009), Базовая алгебра, 1 (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47189-1
  • Митчелл, DW (ноябрь 2007 г.), «Решение кубиков путем решения треугольников », Mathematical Gazette, Mathematical Association, 91: 514–516, doi : 10.1017 / S0025557200182178, ISSN 0025- 5572
  • Митчелл, DW (ноябрь 2009 г.), «Степени φ как корни кубики», Mathematical Gazette, Mathematical Association, 93, ISSN 0025-5572
  • Press, WH; Теукольский, С. А.; Vetterling, W. T.; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 5.6 Квадратные и кубические уравнения», Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
  • Рехтшаффен, Эдгар (июль 2008 г.), «Действительные корни кубики: явная формула для квазирешений», Mathematical Gazette, Mathematical Association, 92: 268 –276, doi : 10.1017 / S0025557200183147, ISSN 0025-5572
  • Zucker, IJ (июль 2008 г.), «Кубическое уравнение - новый взгляд на неприводимый случай », Mathematical Gazette, Mathematical Association, 92: 264–268, doi : 10.1017 / S0025557200183135, ISSN 0025 -5572
  Внешние ссылки

  На Викискладе есть материалы, связанные с Кубическими функциями.

  • , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
  • История квадратных, кубических и четвертых уравнений на архив MacTutor.
  • 500 лет НЕ преподавания КУБИЧЕС КОЙ ФОРМУЛЫ. С чем, по их мнению, вы не справитесь? - YouTube видео от Матолог об истории кубических формул и решение Кардано, а также решение Ferrari для уравнения четвертой степени