Индийская математика

Развитие математики в Южной Азии

Индийская математика возникла на Индийском субконтиненте с 1200 До н.э. до конца 18 века. В классический период индийской математики (с 400 г. по 1200 г. н.э.) важный вклад внесли такие ученые, как Арьябхата, Брахмагупта, Бхаскара II и Варахамихира. Используемая сегодня десятичная система счисления была впервые в индийской математике. Индийские математики первыми сделали вклад в концепцию нуля как числа, отрицательных чисел, арифметики и алгебры. Кроме того, тригонометрия получила дальнейшее развитие в Индии, и, в частности, там были разработаны современные определения синус и косинус. Эти математические концепции были переданы на Ближний Восток, в Китай и Европу и привели к дальнейшим разработкам, которые в пределах системы области математики.

Древние и средневековые индийские математические труды, все составленные на санскрите, обычно состояли из раздела сутр, в набор правил или проблем был сформулирован очень экономно. в стихах, чтобы помочь ученику запомнить. За этим последовал второй раздел, состоящий из прозаических комментариев (иногда нескольких разных ученых), которые более подробно объясняются проблема и обоснование решений. В разделе, введенном прозе, форма (и, следовательно, ее запоминание). Все математические работы передавались устно примерно до 500 г. до н.э.; они имели переданы как в устной, так и в рукописной форме. Древнейшим из дошедших до нас математических документов, созданных на Индийском субконтиненте, является берестяная Бахшалинская рукопись, обнаруженная в 1881 году в деревне Бахшали, недалеко от Пешавара (современные дни Пакистан ) и, вероятно, относится к VII веку нашей эры.

Более поздней вехой в индийской математике стала разработка серии расширений для тригонометрических функций (синус, косинус и арктангенс ) математиками школы Кералы в 15 веке нашей эры. Их замечательная работа, завершенная за два столетия до изобретения исчисления в Европе, предоставила то, что сейчас считается первым примером степенного ряда (кроме геометрического ряда). Однако они не используют систематическую теорию дифференциации и интеграции, а также нет прямых доказательств того, что их результаты передаются за пределы Керала.

• 1 Предыстория
• 2 Ведический период
  • 2.1 Самхиты и брахманы
  • 2.2 Шульба-сутры
• 3 Пингала (300 г. до н.э. - 200 г. до н.э.)
• 4 Джайнская математика (400 г. до н.э. - 200 г. н.э.)
• 5 Устные традиции
  • 5.1 Стили запоминания
  • 5.2 Жанр сутры
• 6 Письменная традиция: прозаический комментарий
• 7 Цифры и десятичная система счисления
• 8 Рукопись Бахшали
• 9 Классический период (400–2004 гг.) 1600)
  • 9.1 Пятый и шестой века
  • 9.2 Седьмой и восьмой века
  • 9.3 Девятый - двенадцатый века
• 10 Математика Кералы (1300–1600)
• 11 Обвинения евроцентризма
• 12 См. Также
• 13 Примечания
• 14 Ссылки
• 15 Дополнительная литература
  • 15.1 Источники на санскрите
• 16 Внешние ссылки

Раскопки в Хараппе, Мохенджо-Даро и другие сайты Цивилизация долины Инда обнаружила свидетельства использования «практической математики». Люди цивилизации долины Инда производили кирпичи, размеры которых составляли 4: 2: 1, что считалось благоприятным для устойчивости кирпичной конструкции. Они использовали стандартизированную систему весов на основе ресурсов: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 и 500, с единицей измерения вес равен примерно 28 граммам (и примерно равенству унции или греческой английской унции). Они массово производили грузы правильной геометрической формы, включая шестигранники, стволы, конусы и цилиндры., демонстрируя тем самым знание основ геометрии.

. Жители цивилизации Инда также пытались стандартизировать измерение с высокой степенью точности. Они разработали линейку - линейку Мохенджо-даро, единица длины которой (1,32 дюйма или 3,4 см) была разделена на десять частей. Кирпичи, изготовленные в древнем Мохенджо-Даро, часто имели размеры, кратные единичной длины.

Полые цилиндрические предметы, сделанные из ракушек, найденные в Лотале (2200 г. до н.э.) и Дхолавира допустимал способность измерять углы в плоскости, а также определите положение звезд для навигации.

Самхиты и брахманы

Религиозные периодические тексты ведического периода гарантия использования больших чисел. Ко времени Yajurvedasaṃhitā- (1200–900 гг. До н.э.) в тексты были включены числа до 10. Например, мантра (священное чтение) в конце аннахомы («обряда подношения» еды ») выполняется во время ашвамедхи непосредственно и произносится перед-, во- и сразу после восхода солнца вызывает силы десяти от ста до триллиона:

Приветствую шата (« сотня », 10), приветствую сахасру («Тысяча», 10), приветствую юту («десять тысяч», 10).), приветствовать ниюта («сто тысяч», 10), приветствовать прайута («миллион», 10), приветствовать арбуда («десять миллионов», 10), приветствовать ньярбуда («сто миллионов», 10), град Самудре («миллиард» », 10, буквально« океан »), приветствовать мадхью (« десять миллиардов », 10, буквально« середина »), приветствовать до анта (« сто миллиардов, 10, букв., «Конец»), приветствую parārdha («один» триллион ", 10 букв.," за пределами части "), приветствуйте рассвет (uṣas), приветствуйте сумерки (vyuṣṭi), приветствуйте того, кто собирается восстать (udeṣyat), приветствуйте слава восходящему (удйат), слава тому, что только что встал (удита), слава сварге (небесам), приветствию мартья (миру), приветствию всех.

Раствор частичного дробления известен народам ригведов, как говорится в Пуруш Сукта (RV 10.90.4):

На три четверти Пуруша поднялся вверх: одна четверть его снова была здесь.

Сатапатха Брахман (ок. 7 век до н.э.) содержит правила ритуальных геометрических построений, которые похожи на сутры Сульбы.

ulba Sūtras

ulba Sūtras (непосредственно «Афоризмы аккордов» в ведическом санскрите ) (ок. 700–400 до н. Э.) Правила строительства жертвенных огненных алтарей. Большинство математических проблем, рассматриваемых в «Жульба сутрах», проистекают из «единственного богословского требования» - возведения огненных алтарей, которые имеют разные формы, но занимают одну и ту же площадь. Были построены из пяти слоев обожженного кирпича с дополнительными условиями, чтобы каждый слой состоял из 200 кирпичей и чтобы никакие два соседних слоя не имели одинакового расположения кирпичей.

Согласно (Хаяси) 2005, стр. 363), Шульба Сутры содержат «самое раннее из сохранившихся словесных выражений теоремы Пифагора в мире, хотя оно уже было известно старовавилонянам. «

Диагональная веревка (akṣṇayā-rajju) продолговатого (прямоугольника) порождает и то, что фланг (pārśvamāni) и горизонтальный (tiryamāni) производят отдельно».

Разрешение является сутрой, оно обязательно должно быть, и то, что производят веревки, не уточняется, но контекст явно подразумевает квадратные области, построенные по их длине, и учитель объяснил бы это ученику. диофантовых соотношений. Они также содержат утверждение (которые задним числом мы знаем как приблизительные) о возведении круга в квадрат и «обводе квадрата».

Баудхаяна (ок. VIII в. До н. Э.) Составил Баудхаяна Сульба Сутру, наиболее известную Сульба Сутру, которая содержит примеры простых пифагорейских троек, таких как: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) и (12, 35, 37), а также формулировку теоремы Пифагора для сторон квадрата: «веревка, натянутая поп ерек диагонали квадрата, дает площадь, вдвое превышает размер исходного квадрата ». Он также содержит общее утверждение теоремы Пифагора (для прямоугольника): «Веревка, натянутая по длине диагональ прямоугольника образует область, которую составляют вместе вертикальная и горизонтальная стороны». Баудхаяна дает выражение для квадратного корня из двух :

$2\; \approx \; 1\; +\; 1\; 3\; +\; 1\; 3\; \cdot \; 4\; -\; 1\; 3\; \cdot \; 4\; \cdot \; 34\; =\; 1,4142156\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\; \backslash \; cdot\; 4\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\; \backslash \; cdot\; 4\; \backslash \; cdot\; 34\}\}\; =\; 1,4142156\; \backslash \; ldots\}$

Выражение имеет точность до пяти десятичных знаков, истинное значение - 1.41421356... Это выражение аналогично по структуре выражению, найденному на месопотамской табличке из древневавилонского периода (1900–1600 до нашей эры ):

$2\; \approx \; 1\; +\; 24\; 60\; +\; 51\; 60\; 2\; +\; 10\; 60\; 3\; =\; 1,41421297\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{24\}\; \{60\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{51\}\; \{60\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{10\}\; \{60\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; 1.41421297\; \backslash \; ldots\}$

который выражает √2 в шестидесятичной системе счисления и имеет точность до 5 десятичных знаков.

Согласно математику С. Г. Дани, вавилонская клинопись Плимптон 322 написана ок. 1850 г. до н.э. »содержит пятнадцать пифагорейских троек с довольно большими эффектами, в том В том числе (13500, 12709, 18541), которая является примитивной тройкой, что, в частности, указывает на то, что в Месопотамии в 1850 г. до н.э. существовало сложное понимание этой темы. «Эти таблички предшествуют периодульбасутры на несколько столетий, во время контекстуальное появление некоторых троек, разумно ожидать, что подобное понимание было бы и в Индии». Дани продолжает:

главной целью Сульвасутр было описать конструкции алтарей и геометрические принципы, связанные с предметом пифагорейских троек, даже если он был хорошо понят, все еще мог не фигурировать в Сульвасутры. Наличие троек в Сульвасутрах сравнимо с математикой, с которым можно столкнуться во взаимодействии по общей системе знаний или другой подобной прикладной области, и не соответствовало бы внутренним общим знаниям по теме в то время. К сожалению, не было найдено никаких других средств поиска, возможно, не удастся удовлетворительно решить этот вопрос.

Всего было составлено три Сутры Сульбы. Остальные две, Манава Сульба Сутра, составленная Манавой (фл. 750–650 до н. Э.), И Апастамба Сульба Сутра, составленная Апастамбой (около 600 г. до н. Э.).), Содержали аналогичные результаты к Баудхаяна Сульба Сутре.

Вьякарана

Важной вехой ведийского периода были работы грамматика санскрита, Панини (ок. 520–460 до н. Э.). Его грамматика включает раннее использование ики, оператора null и логно-свободно грамматик, а также предшественника Backus - Naur форма (используется в описании языков программирования ).

Среди ученых постведического периода, внесших вклад в математику, наиболее заметным является Пингала (pigalá) (fl. 300–200 до н.э.), теоретик музыки, автор Чхандас Шастра (chanda-śāstra, также Chhandas Sutra chhandaḥ-sūtra), санскритский трактат по просодии. Имеются свидетельства того, что в его работе по перечислению слоговых комбинаций Пингала наткнулся на оба треугольник Паскаля и биномиальные коэффициенты, хотя он не знал самой биномиальной теоремы. Работа Пингалы также содержит основные идеи чисел Фибоначчи (называется маатраамеру). не сохранилась полностью ty, есть комм ентарий Халаюды в X веке. Халаюда, который называет треугольник Паскаля Меру -прастара (буквально «лестница на гору Меру»), говорит следующее:

Нарисуйте квадрат. Первой с половины квадрата, нарисуйте под ним еще два таких же квадрата; под этим двумя тремя другими квадратами и так далее. Маркировку нужно начинать с помещения 1 в первый квадрат. Поместите 1 в каждый из двух квадратов второй строки. В третьей строке укажите 1 в двух квадратах на концах и в среднем квадрате суммы цифр в двух квадратах, лежащих над ним. В четвертой строке поставьте 1 в два квадрата на концах. В средние поместите сумму цифр в двух квадратах над каждым. Действуйте же таким образом. Из этих строк вторая дает комбинации с одним слогом, третья - комбинации с двумя слогами,...

Текст также указывает, что Пингала знал о комбинаторной идентичности:

$(n\; 0)\; +\; (n\; 1)\; +\; (n\; 2)\; +\; \cdots \; +\; (nn\; -\; 1)\; +\; (nn)\; =\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{n\; \backslash \; choose\; 0\}\; +\; \{n\; \backslash \; choose\; 1\}\; +\; \{n\; \backslash \; choose\; 2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\; n\; \backslash \; choose\; n-1\}\; +\; \{n\; \backslash \; choose\; n\}\; =\; 2\; ^\; \{n\}\}$

Kātyāyana

Kātyāyana (c. 3 век до н. э.) примечателен тем, что последний из ведических математиков. Он написал Катьяяна Сульба Сутру, которая представила часть большой геометрии, включая общую теорему Пифагора и вычисление квадратного корня из 2 с точностью до пяти десятичных знаков.

Хотя джайнизм является религией, а философия предшествует своему известному представителю, великому Махавирасвами (6 век до н.э.), большинство джайнских текстов на математические темы были составлены после 6 века до нашей эры. Джайнские математики исторически важны как важнейшие звенья между математикой ведийского периода и математикой «классического периода».

Значительный исторический вклад джайнских математиков состоял в том, что они освободили индийскую математику от религиозных и ритуальных ограничений. В частности, их увлечение перечислением очень больших чисел и бесконечных привело их к классификации чисел на три класса: бесчисленные и бесконечные. Не довольствуясь общим понятием бесконечности, их тексты определяют пять различных типов бесконечности: бесконечное в одном направлении, бесконечное в двух направлениях, бесконечное по площади, бесконечное везде и бесконечное вечно. Кроме того, математики-джайны разработали обозначения для простых степеней (и показателей) чисел, таких как квадраты и кубы, что им определяют простые алгебраические уравнения (beejganita samikaran). Математики-джайны, по-видимому, также первыми использовали слово шунья (буквально «пустота» в санскрите ) для обозначения нуля. Более чем через тысячелетие их название стало тем словом «zero» после мучительного путешествия переводов и транслитераций из Индии в Европу. (См. Ноль: Этимология.)

Помимо Сурья Праджняпти, важные джайнские работы по математике включаются Стхананга Сутру (ок. 300 г. до н.э. - 200 г. н.э.); Сутра Ануйогадвара (ок. 200 г. до н. Э. - 100 г. н. Э.); и Саткхандагама (ок. II в. н. э.). Среди выдающихся джайнских математиков были Бхадрабаху (ум. 298 г. до н.э.), автор двухастрономических работ, Бхадрабахави-Самхиты и комментарии к Сурья Праджинапти; Ятивришам Ачарья (ок. 176 г. до н. Э.), Автор математического текста под названием Тилояпаннати ; и Умасвати (ок. 150 г. до н. э.), который, хотя более известен своими влиятельными трудами по джайнской философии и метафизике, составил математический труд Таттвартхадхигама-сутра Бхашья.

Математики древней и раннесредневековой Индии были почти все санскритом пандитами (paṇḍita «ученый человек»), обучавшимися Санскритский язык и литература, а также «общие знания грамматики (вьякарана ), экзегезы (mīmāṃsā ) и логики (ньяя )». Запоминание того, «что Запоминание и декламация также использовались для передачи философских и литературных произведений, а также трактатов по ритуалам и грамматике, а также трактатов по ритуалам и грамматике. Индийская отметили «поистине замечательные достижения индийских пандитов, которые тысячелетия сохраняли объемные тексты в устной форме».

Стили запоминания

Древняя индийская культура тратила огромную энергию в продукте того, чтобы эти тексты передавались из поколения. в поколение с невероятной точностью. запоминание священных Вед включало до одиннадцати форм чтения одного и того же текста. Тексты были воспроизведены «вычитаны» путем сравнения различных прочитанных версий. Формы декламации включают jaṭā-pāṭha («сетчатое чтение»), в котором каждые два соседних слова в тексте произнесены в исходном порядке, повторялись в обратном порядке и, наконец, повторялись в исходном порядке. Таким образом, чтение продолжалось следующим образом:

word1word2, word2word1, word1word2; word2word3, word3word2, word2word3;...

В другой форме декламации, dhvaja-pāṭha («декламация флага»), последовательность из N слов была прочитана (и запомнена) посредством объединения двух последних двух слов в пару, а затем следующих действий:

слово 1 слово 2, слово N - 1 слово N ; слово 2 слово 3, N - 3 слово N - 2 ;..; слово N - 1 слово N, слово 1 слово 2;

Самая сложная форма декламации, гхана-патха буквально «плотное чтение»), согласно к ( Филлиозат 2004, стр. 139), принял вид:

word1word2, word2word1, word1word2word3, word3word2word1, word1word2word3; word2word3, word3word2, word2word3word4, word4word3word2, word2word3word4;...

О том, эти методы были эффективными, доказывает сохранение древнейшего индийского религиозного текста, Агведы (ок. 1500 г. до н.э.), как единый текст, без вариантов прочтения. Подобные методы использовались для запоминания математических текстов, передача которых оставалась исключительно устной до конца ведического периода (около 500 г. до н. Э.).

Жанр сутры

Математическая деятельность в древней Индии началась как часть «методологической рефлексии» священных Вед, которая приняла форму работ под названием Vedāṇgas, или «Дополнения Вед» (VII – IV века до н.э.). Необходимость сохранить звучание священного текста за счет использования шикша (фонетика ) и чхандас (метрика ); сохранить его значение с помощью вьякарана (грамматика ) и нирукта (этимология ); и для правильного выполнения обрядов в нужное время с помощью калпа (ритуал ) и джьотиша (астрология ), дали начало шести дисциплинам Веданги. Математика возникла как часть двух последних дисциплин, ритуала и астрономии (в которую также входила астрология). Поскольку веданги предшествовали использованию письменности в древней Индии, они составили последнюю часть исключительно устной литературы. Они были выражены в сильно сжатой мнемонической форме, сутре (буквально «нить»):

Знающие сутру знают, что она имеет несколько фонем, лишена двусмысленности, содержит суть, лицом ко всему, без пауз и без возражений.

Чрезвычайная краткость была достигнута несколькими способами, включая использование многоточия «за пределами допустимого естественного языка», использование технических имен вместо более длинных описательных имен, сокращающие списки указав только первую и последнюю записи, а также используя маркеры и переменные. Сутры создают впечатление, что общение через текст было «только частью всего наставления. Остальная часть наставления должна была быть передана так называемой Гуру-шишья парампарой,« непрерывной преемственностью от учителя ». (гуру) ученику (śisya) «и это было закрыто для широкой публики» и, возможно, даже держалось в секрете. Краткость, достигаемая в сутре, демонстрируется в следующем примере из Баудхаяна Шульба сутры (700 г. до н. Э.).

Дизайн домашнего жертвенника огня в Шульба Сутре

Домашний жертвенник огня в ведический период ритуально требовал,\ x ^ {2} -Ny ^ {2} = k_ {2},}, тогда:

$x\; =\; x\; 1\; x\; 2\; +\; N\; y\; 1\; y\; 2,\; y\; =\; Икс\; 1\; Y\; 2\; +\; Икс\; 2\; Y\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\; =\; x\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\}\; +\; Ny\_\; \{1\}\; y\_\; \{2\},\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; x\_\; \{1\}\; y\_\; \{2\}\; +\; x\_\; \{2\}\; y\_\; \{1\}\; \backslash \; \backslash \}$является решением $x\; 2\; -\; N\; y\; 2\; =\; k\; 1\; k\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; x\; ^\; \{2\}\; -Ny\; ^\; \{2\}\; =\; k\_\; \{1\}\; k\_\; \{2\}\}$

Он использовал эту лемму как для генерации бесконечного числа (интегральных) решений уравнения Пелля по одному решению, так и для формулировки следующей теоремы:

Теорема (Брахмагупта): уравнение $x\; 2\; -\; N\; y\; 2\; =\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; x\; ^\; \{2\}\; -Ny\; ^\; \{2\}\; =\; k\}$имеет целочисленное решение для любого из $k\; =\; \pm \; 4,\; \pm \; 2,\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; k\; =\; \backslash \; pm\; 4,\; \backslash \; pm\; 2,\; -1\; \}$, уравнение Пелла:

$x\; 2\; -\; N\; y\; 2\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; x\; ^\; \{2\}\; -Ny\; ^\; \{2\}\; =\; 1\}$

также имеет целочисленное решение.

Брахмагупта на самом деле не доказал теорему, а разработал примеры, используя свой метод. Первый представленный им пример был:

Пример (Брахмагупта): Найти целые числа $x,\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; x,\; \backslash \; y\; \backslash \}$такие, что:

$x\; 2\; -\; 92\; y\; 2\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; x\; ^\; \{2\}\; -92y\; ^\; \{2\}\; =\; 1\}$

В своих комментариях Брахмагупта добавил: «Человек, решающий эту задачу в течение года, является математиком». Он предлагает следующее решение:

$x\; =\; 1151,\; y\; =\; 120\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; x\; =\; 1151,\; \backslash \; y\; =\; 120\}$

Bhaskara I

Bhaskara I (c. 600–680) расширенная работа Арьябхаты в его книгах под названием Махабхаскария, Арьябхатия-бхашья и Лагху-бхаскария. Он произвел:

• Решения неопределенных условий.
• Рациональное приближение синусоидальной функции.
• Формула для вычислений синуса острого угла без использования таблицы, с точностью до двух десятичных знаков.

IX-XII века

Вирасена

Вирасена (VIII век) был математиком-джайном при дворе Раштракуты царя Амогхаварши из Маняхета, Карнатака. Он написал Дхавалу, комментарий к джайнской математике, в котором:

• разбирается концепция ардхаччеда, количество раз, которое можно уменьшить вдвое, и частные правила, связанные с операцией. Это совпадает с двоичным логарифмом при применении к степени двойки, но отличается от других чисел, более близко напоминающих 2-адический порядок.
• Та же концепция для основания 3 (тракачеда) и основание 4 (чатуртачеда).

Вирасена также дал:

• Получение тома из усеченного конуса с помощью своего рода бесконечной процедуры.

Считается, что большая часть математического материала в Дхавале может быть отнесена к предыдущим писателям, особенно Кундакунде, Шамакунде, Тумбулуре, Самантабхадре и Баппадеве и датируемым между 200 и 600 годами нашей эры.

Махавира

Махавира Ачарья (ок. 800–870) из Карнатака, последний из известных математиков-джайнов, жил в 9 веке и находился под покровителем царя Раштракута Амогхаварша. Он написал книгу под названием «Ганит Саар Санграха» по числовой математике, а также написал трактаты по широкому кругу математических тем. К ним относ математика:

• нулевых
• квадратов
• кубов
• квадратных корней, кубических корней и серии , выходящих за пределы этих
• Плоская геометрия
• Сплошная геометрия
• Проблемы, связанные с отбрасыванием теней
• Формулы, полученные для вычислений площади эллипса и четырехугольника внутри круга .

Махавира также:

• Утвержденный, что квадратный корень из отрицательного числа не существует
• Выдал сумму ряда членов которого квадратов в арифметической прогрессии и дали эмпирические правила для площади и периметра эллипса.
• Решенные кубические уравнения.
• Решены уравнения четвертой степени.
• Решены некоторые уравнения пятой степени и многочлены высшего порядка .
• Даны общих решений полиномиальных уравнений высшего порядка:
  • $axn\; =\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ax\; ^\; \{n\}\; =\; q\}$
  • $axn\; -\; 1\; x\; -\; 1\; =\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{n\}\; -1\}\; \{x-1\}\}\; =\; p\}$
• Решено неопределенный квадр
• Решенные неопределенные кубические уравнения.
• Решенные неопределенные уравнения высшего порядка.

Шридхара

Шридхара (ок. 870–930), живший в Бенгалии, написал книги под названием Нав Шатика, Три Шатика и Пати Ганита. Он дал:

• Хорошее правило для определения объема сферы.
• Формула для решения квадратных.

Пати Ганита - это работа по арифметике и измерениям. Он имеет дело с различными операциями, включая:

• элементарные операции
• извлечение квадратных и кубических корней.
• дроби.
• восемь правил для операций с нулем.
• Методы суммирования различных арифметических и геометрических рядов, которые должны быть стандартными ссылками в более поздних работах.

Манджула

Дифференциальные уравнения Арьябхаты были разработаны в 10 веке Манджулой (также Мунджала), который понял, что выражение

$sin\; \; w\; \prime \; -\; sin\; \; w\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; sin\; w\; \text{'}-\; \backslash \; sin\; w\}$

может быть выражено как

$(w\; \text{'}-\; w)\; cos\; \; w\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; (w\text{'}-w)\; \backslash \; cos\; w\}$

Он понял концепцию дифференцирования после решения дифференциального уравнения, полученного в результате подстановки этого выражения в дифференциальное уравнение Арьябхаты.

Арьябхата II

Арьябхата II (ок. 920–1000) написал комментарий к Шридхаре и астрономический трактат Маха-Сиддханта. Маха-Сиддханта состоит из 18 глав, в которых обсуждаются:

• Числовая математика (Анк Ганит).
• Алгебра.
• Решения неопределенных условий (куттака).

Шрипати

Шрипати Мишра (1019–1066) написал книги Сиддханта Шекхара, основной труд по астрономии в 19 главах, и Ганит Тилака, неполный арифметический трактат в 125 стихах, основанный на работе Шридхары. В основном он работал над:

• Перестановками и комбинациями.
• Общим одновременного неопределенного линейного уравнения.

Он также был автором Дхикотидакараны, работы из двадцати стихов о:

• солнечном затмении.
• Лунном затмении.

Дхруваманаса - это работа из 105 стихов о:

• вычислении планетарных долготы
• затмений.
• планетарных транзитах.

Немичандра Сиддханта Чакравати

Немичандра Сиддханта Чакравати (чакравати. 1100 г.) написал математический трактат под названием Gome-mat Saar.

Бхаскара II

Бхаскара II (1114–1185) был математиком-астрономом, написавшим ряд важных трактатов, а именно: Сиддханта Широмани, Лилавати, Биджаганита, Гола Аддхая, Гриха Ганитам и Каран Каутоохал. Некоторые его работы позже были переданы на Ближний Восток и в Европу. Его вклад включает:

Арифметика:

• Вычисление процентов
• Арифметические и геометрические прогрессии
• Плоская геометрия
• Сплошная геометрия
• тень гномона
• Решения комбинаций
• Дали доказательство того, что деление на ноль равно бесконечности.

Алгебра:

• Распознавание положительного числа, имеющего два квадратных корня.
• Surds.
• Операции с произведений нескольких неизвестных.
• Решения:
  • Квадратных условий.
  • Кубических уравнений.
  • Уравнений четвертой степени.
  • Уравнения с более чем одним неизвестным.
  • Квадратные уравнения с более чем одним неизвестным.
  • Общая форма уравнения Пелла с использованием метод чакравалы.
  • Общее неопределенное квадратное уравнение, используемое метод чакравалы.
  • Неопределенные кубические уравнения.
  • Неопределенные уравнения четвертой степени.
  • Неопределенные полиномиальные уравнения высокого порядка.

Геометрия:

• Дали доказательство теорема Пифагора.

Исчисление:

• Создано на основе дифференциального исчисления.
• Обнаружена производная.
• Обнаружен дифференциальный коэффициент.
• Развитое дифференцирование.
• Изложенная теорема Ролля, частный случай теоремы о значении (одна из самых важных теорем исчисления и анализа).
• Выведен дифференциал от функции синуса.
• Вычисленное π, с точностью до пяти десятичных знаков.
• Вычисленное время вращения Земли вокруг Солнца с точностью до 9 десятичных знаков.

Тригонометрия:

• Развитие сферической тригонометрии
• Тригонометрические формулы:
  • $sin\; \; (a\; +\; b)\; =\; sin\; \; (a)\; cos\; \; (b)\; +\; sin\; \; (b)\; cos\; \; (\; a)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; \backslash \; sin\; (a\; +\; b)\; =\; \backslash \; sin\; (a)\; \backslash \; cos\; (b)\; +\; \backslash \; sin\; (b)\; \backslash \; cos\; (a)\}$
  • $грех\; \; (a\; -\; b)\; =\; sin\; \; (\; a)\; соз\; \; (b)\; -\; грех\; \; (b)\; соз\; \; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; sin\; (ab)\; =\; \backslash \; sin\; (a)\; \backslash \; cos\; (b)\; -\; \backslash \; sin\; (b)\; \backslash \; cos\; (a)\}$

Школа Кералы o Астрономия и математика была основана Мадхавой из Сангамаграмы в Керале, Южная Индия и входила в ее состав: Парамешвара, Нилаканта Сомаяджи, Джештадева, Ачьюта Пишарати, Мельпатур Нараяна Бхаттатири и Ачьюта Паниккар. Он процветал между 14 и 16 веками, и оригинальные открытия школы, кажется, закончились Нараяной Бхаттатхири (1559–1632). Пытаясь решить астрономические задачи, астрономы из школы Кералы независимо друг от друга создать ряд важных математических концепций. Наиболее важные результаты, расширение ряда для тригонометрических функций, даны в стихе на санскрите в книге Нилаканты под названием Тантрасанграха и комментарии к этой работе под названием Тантрасанграха-вахья неизвестного автора. Теоремы были сформулированы без доказательства, но доказательства для ряда позже в работе Юктибхана (c.1500 - c.1610), написанной на Малаялам, Джьестхадева, а также в комментарии к Тантрасанграхе.

Их открытие этих трех важных серий расширений исчисления - за несколько веков до того, как исчисление было разработано в Европе <575 г.>Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц - было достижением. Однако школа Кералы не изобрела исчисление, потому что, хотя они и смогли использовать ряд Тейлора разложения для важных тригонометрических функций, дифференцирования, поэтапно интегрирование, тесты сходимости, итерационные для решений нелинейных уравнений и теории, согласно которой они не разработали ни теории дифференцирования или интегрирования, ни фундаментальная теорема исчисления. Результаты, полученные школой Кералы, включают:

• (бесконечный) геометрический ряд : Эта формула уже была известна, например, в работе арабского математика 10 века Альхазена (латинизированная форма имени Ибн аль-Хайсама (965–1039)).
• Полустрогое доказательство (см. Замечание "индукции" ниже) результата: $1\; p\; +\; 2\; p\; +\; \cdots \; +\; np\; \approx \; np\; +\; 1\; p\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; ^\; \{p\}\; +\; 2\; ^\; \{\; p\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; n\; ^\; \{p\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{p\; +\; 1\}\}\; \{p\; +\; 1\}\}\}$для больших n. Этот результат был также известен Альхазену.
• Интуитивное использование математической индукции, однако индуктивная гипотеза не была сформулирована или примен в доказательствах.
• Применение идей (ставших возможными) дифференциального и интегрального исчисления для получения (Тейлора - Маклорена) бесконечных рядов для sin x, cos x и arctan x. Тантрасанграха-вакхья дает ряд стихов, которые при переводе в математические обозначения можно записать как:

$r\; arctan\; \; (yx)\; =\; 1\; 1\; \cdot \; ryx\; -\; 1\; 3\; \cdot \; ry\; 3\; x\; 3\; +\; 1\; 5\; \cdot \; ry\; 5\; x\; 5\; -\; \cdots ,\; где\; y\; /\; x\; \le \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; arctan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{x\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{ry\}\; \{x\; \}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{ry\; ^\; \{3\}\}\; \{x\; ^\; \{3\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{5\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\; ry\; ^\; \{5\}\}\; \{x\; ^\; \{5\}\}\}\; -\; \backslash \; cdots,\; \{\backslash \; text\; \{where\}\}\; y\; /\; x\; \backslash \; leq\; 1.\}$

$sin\; \; x\; =\; x\; -\; xx\; 2\; (2\; 2\; +\; 2)\; r\; 2\; +\; xx\; 2\; (2\; 2\; +\; 2)\; r\; 2\; \cdot \; x\; 2\; (4\; 2\; +\; 4)\; r\; 2\; -\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; x\; =\; xx\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{(2\; ^\; \{2\; \}\; +2)\; r\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; x\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{(2\; ^\; \{2\}\; +2)\; r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\; \}\}\; \{(4\; ^\; \{2\}\; +4)\; r\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \backslash \; cdots\}$

$r\; -\; cos\; \; x\; =\; rx\; 2\; (2\; 2\; -\; 2)\; r\; 2\; -\; rx\; 2\; (2\; 2\; -\; 2)\; р\; 2\; Икс\; 2\; (4\; 2-4)\; р\; 2\; +\; \cdots ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; г-\; \backslash \; соз\; х\; =\; г\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{х\; ^\; \{2\}\}\; \{(2\; ^\; \{2\}\; -2)\; r\; ^\; \{2\; \}\}\}\; -\; r\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{(2\; ^\; \{2\}\; -2)\; r\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{(4\; ^\; \{2\}\; -\; 4)\; r\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \backslash \; cdots,\}$

где для r = 1 ряд сводится к стандартному степенному ряду для этих тригонометрических функций, например:

$грех\; \; х\; знак\; равно\; х\; -\; х\; 3\; 3!\; +\; х\; 5\; 5!\; -\; х\; 7\; 7!\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; x\; =\; x\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{3\}\}\; \{3!\}\}\; +\; \{\backslash \; Frac\; \{x\; ^\; \{5\}\}\; \{5!\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{\; 7\}\}\; \{7!\}\}\; +\; \backslash \; Cdots\}$

и

$cos\; \; x\; =\; 1\; -\; x\; 2\; 2!\; +\; х\; 4\; 4!\; -\; х\; 6\; 6!\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; x\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{2!\}\}\; +\; \{\backslash \; Frac\; \{x\; ^\; \{4\}\}\; \{4!\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{\; 6\}\}\; \{6!\}\}\; +\; \backslash \; Cdots\}$

• Использование исправления (длины) дуги окружности для доказательства этих результатов. (Более поздний метод Лейбница, использующий квадратуру, то есть вычисление площади под дугой окружности, не использовался.)
• Использование расширения серии $arctan\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arctan\; x\}$, чтобы получить формулу Лейбница для π :

$\pi \; 4\; =\; 1\; -\; 1\; 3\; +\; 1\; 5\; -\; 1\; 7\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\}\}\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 3\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{5\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{7\}\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

• Рациональная аппроксимация ошибки для конечной суммы из их серии интересов. Например, ошибка $fi\; (n\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{i\}\; (n\; +\; 1)\}$, (для нечетных n и i = 1, 2, 3) для ряда:

$\pi \; 4\; \approx \; 1\; -\; 1\; 3\; +\; 1\; 5\; -\; \cdots \; +\; (-\; 1)\; (n\; -\; 1)\; /\; 2\; 1\; n\; +\; (-\; 1)\; (n\; +\; 1)\; /\; 2\; fi\; (n\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{5\}\}\; -\; \backslash \; cdots\; +\; (-\; 1)\; ^\; \{(n-1)\; /\; 2\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; +\; (-\; 1)\; ^\; \{(n\; +\; 1)\; /\; 2\}\; f\_\; \{i\}\; (n\; +\; 1)\}$

$где\; f\; 1\; (n)\; =\; 1\; 2\; n,\; f\; 2\; (n)\; =\; n\; /\; 2\; n\; 2\; +\; 1,\; f\; 3\; (n)\; =\; (n\; /\; 2)\; 2\; +\; 1\; (n\; 2\; +\; 5)\; n\; /\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{where\}\}\; f\_\; \{1\}\; (n)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2n\}\},\; \backslash \; f\_\; \{2\}\; (n)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; /\; 2\}\; \{n\; ^\; \{\; 2\}\; +1\}\},\; \backslash \; f\_\; \{3\; \}\; (n)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(n\; /\; 2)\; ^\; \{2\}\; +1\}\; \{(n\; ^\; \{2\}\; +5)\; n\; /\; 2\}\}.\}$

• Манипуляция членом ошибки для получения более быстрого сходящегося ряда для $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$:

$\pi \; 4\; =\; 3\; 4\; +\; 1\; 3\; 3\; -\; 3\; -\; 1\; 5\; 3\; -\; 5\; +\; 1\; 7\; 3\; -\; 7\; -\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{\; 4\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\; ^\; \{3\}\; -3\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{5\; ^\; \{3\}\; -5\}\}\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{7\; ^\; \{3\}\; -7\}\}\; -\; \backslash \; cdots\}$

• Использование улучшенног о ряда для получения рационального выражения, 104348/33215 для π правильного до девяти знаков после запятой, т.е. 3,141592653.
• Использование интуитивного понятия предела для вычисления этих результатов.
• Полутвердый (см. замечание о пределах выше) метод дифференцирования некоторых тригонометрических функции. Однако они не сформулировали понятие функции и не знали экспоненциальных или логарифмических функций.

Труды школы Кералы были впервые написаны для западного мира англичанином К.М. Whish в 1835 году. По словам Whish, математики из Кералы «заложили основу для полной системы флюксий», и эти работы изобиловали «флюксными формами и рядами, которых нет ни в одной работе зарубежных стран»

.

Однако результатами Виша почти полностью пренебрегли до тех пор, пока более века спустя открытия школы Кералы не были снова исследованы К. Раджагопалом и его соратниками. Их работа включает комментарии к доказательствам серии arctan в Yuktibhāā, данные в двух статьях, комментарий к доказательству Yuktibhāṣā серии синусов и косинусов и две статьи, которые предоставляют санскритские стихи Tantrasangrahavakhya для серии arctan, sin и косинус (с английским переводом и комментариями).

Среди математиков Кералы был Нараяна Пандит (ок. 1340–1400), который составил две работы: арифметический трактат «Ганита Каумуди» и алгебраический трактат. трактат, Биджганита Ватамса. Нараяна также считается автором подробного комментария Бхаскара II Лилавати под названием Кармапрадипика (или Карма-Паддхати). Мадхава из Сангамаграмы (ок. 1340–1425) был основателем школы Кералы. Хотя возможно, что он написал Карана Паддхати произведение, написанное где-то между 1375 и 1475 годами, все, что мы действительно знаем о его работах, исходит из работ более поздних ученых.

Парамешвара (ок. 1370–1460) написал комментарии к трудам Бхаскары I, Арьябхаты и Бхаскары II. Его Lilavati Bhasya, комментарий к Lilavati Бхаскары II, содержит одно из его важных открытий: версию теоремы о среднем значении. Нилакантха Сомаяджи (1444–1544) составил Тантра Самграха (которая «породила» более поздний анонимный комментарий Тантрасанграха-вьяхья и дальнейший комментарий под названием Юктидипайка, написанный в 1501 году). Он разработал и расширил вклады Мадхавы.

Читрабхану (ок. 1530) был математиком XVI века из Кералы, который дал целочисленные решения 21 типу систем из двух одновременных алгебраических уравнений с двумя неизвестными. Эти типы представляют собой все возможные пары уравнений следующих семи форм:

$x\; +\; y\; =\; a,\; x\; -\; y\; =\; b,\; xy\; =\; c,\; x\; 2\; +\; y\; 2\; =\; d,\; x\; 2\; -\; y\; 2\; =\; e,\; Икс\; 3\; +\; Y\; 3\; знак\; равно\; е,\; Икс\; 3\; -\; Y\; 3\; =\; г\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; х\; +\; у\; =\; а,\; \backslash \; ху\; =\; Ь,\; \backslash \; ху\; =\; с,\; х\; ^\; \{2\}\; +\; у\; ^\; \{2\; \}\; =\; d,\; \backslash \backslash \; [8pt]\; x\; ^\; \{2\}\; -y\; ^\; \{2\}\; =\; e,\; \backslash \; x\; ^\; \{3\}\; +\; y\; ^\; \{3\}\; =\; f,\; \backslash \; x\; ^\; \{3\}\; -y\; ^\; \{3\}\; =\; g\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Для каждого случая Читрабхану дал объяснение и обоснование своего правила, а также пример. Некоторые из его объяснений являются алгебраическими, а другие - геометрическими. Джьестадева (ок. 1500–1575) был еще одним членом школы Кералы. Его ключевой работой была «Юкти-бхана» (написанная на малаялам, региональном языке Кералы). Джьестадева представил доказательства большинства математических теорем и бесконечных рядов, ранее открытых Мадхавой и другими математиками Керальской школы.

Было высказано предположение, что вклад Индии в математику не получил должного признания в современной истории и что многие открытия и изобретения индийских математиков в настоящее время культурно отнесены к своим западным аналогам в результате европоцентризма. Согласно взгляду Г. Джозефа на «Этноматематика »:

[Их работа] принимает во внимание некоторые возражения, высказанные в отношении классической евроцентрической траектории. Осведомленность [об индийской и арабской математике], скорее всего, будет сдерживаться пренебрежительным отрицанием их важности по сравнению с греческой математикой. Вклад других цивилизаций, в первую очередь Китая и Индии, воспринимается либо как заемщик из греческих источников, либо внесший лишь незначительный вклад в основное математическое развитие. К сожалению, отсутствует открытость для более поздних исследований, особенно в случае индийской и китайской математики »

Историк математики Флориан Каджори предположил, что он и другие« подозревают, что Диофант получил свой первый проблеск алгебраических знаний из Индии. "Однако он также написал, что" несомненно, что части индуистской математики имеют греческое происхождение ".

Совсем недавно, как обсуждалось выше В разделе исчисления для тригонометрических функций (вновь открытых Грегори, Тейлором и Маклореном в конце 17 века) бесконечные серии исчисления были описаны (с доказательствами и формулами для ошибки усечения) в Индии математиками из Школа Кералы, что примечательно примерно двумя веками ранее. Некоторые ученые недавно предположили, что знания об этих результатах могли быть переданы в Европу по торговому пути из Кералы торговцами и иезуитами миссионеров. Керала постоянно поддерживала контакт с Чи. na и Аравия, а примерно с 1500 г. - с Европой. Наличие каналов связи и подходящая хронология, безусловно, делают такую ​​передачу возможной. Тем не менее, нет прямых доказательств в видесоответствующих рукописей, что такая передача действительно имела место. Согласно Дэвиду Бре ссуду, «нет никаких доказательств того, что индийские сериалы были известны за пределами Индии или даже за пределами Кералы до девятнадцатого века».

И арабские, и индийские ученые сделал открытия до 17 века, которые теперь считаются частью математического анализа. Однако они не смогли, как это сделали Ньютон и Лейбниц, «объединить множество различных идей под двумя объединяющими темами производной и интеграла, покажите связь между ними и превратите вычисления в великий инструмент решения проблем, который у нас есть сегодня ». Интеллектуальная карьера Ньютона и Лейбница хорошо задокументирована, и нет никаких указаний на то, что их работа не является их собственной; однако достоверно неизвестно, узнали ли непосредственные предшественники Ньютона и Лейбница, «включая, в частности, Ферма и Роберваля, некоторые идеи исламских и индийских математиков из источников, которые нам сейчас не известны». Это активная область текущих исследований, особенно в коллекциях рукописей Испании и Магриба. Это исследование проводится, среди прочего, в Национальном центре научных исследований в Париже.

• Шульба Сутры
• Керальская школа астрономии и математики
• Сурья Сиддханта
• Брахмагупта
• Шриниваса Рамануджан
• Рукопись Бахшали
• Список индийских математиков
• Индийская наука и техника
• Индийская логика
• Индийская астрономия
• История математики
• Список чисел в индуистских писаниях

• Бурбаки, Николас (1998), Элементы истории математики, Берлин, Гейдельберг и Нью-Йорк: Springer- Verlag, 301 страница, ISBN 978-3-540-64767-6.
• Boyer, CB; Мерцбак (начало Исаака Азимова), UC (1991), History of Mathematics, New York: John Wiley and Sons, 736 страниц, ISBN 978-0-471 -54397-8.
• Брессуд, Дэвид (2002), «Было ли исчисление изобретено в Индии?», The College Mathematics Journal (Math. Assoc. Amer.), 33 (1): 2–13, doi : 10.2307 / 1558972, JSTOR 1558972.
• Bronkhorst, Johannes (2001), "Panini and Euclid : Размышления об индийской геометрии », Journal of Indian Philosophy, Springer, Нидерланды, 29 (1-2): 43–80, doi : 10.1023 / A: 1017506118885, S2CID 115779583.
• Бернетт, Чарльз (2006), «Семантика индийских цифр в арабском, греческом и латинском языках», Journal of Indian Philosophy, Springer-Netherlands, 34 (1-2): 15–30, doi : 10.1007 / s10781-005-8153-z, S2CID 170783929.
• Бертон, Дэвид М. (1997), История математики: Введение, The McGraw-Hill Companies, Inc., стр. 1 93–220..
• Кук, Роджер (2005), История математики: краткий курс, Нью-Йорк: Wiley-Interscience, 632 страницы, ISBN 978-0-471-44459-6.
• Дэни, С.Г. (25 июля 2003 г.), «О пифагорейских тройках в Шулвасутрах» (PDF), Current Science, 85 (2): 219–224.
• Датта, Бибхутибхусан (декабрь 1931 г.), «Ранний литературный Доказательства использования нуля в Индии », The American Mathematical Monthly, 38 (10): 566–572, doi : 10.2307 / 2301384, JSTOR 2301384.
• Датта, Бибхутибхусан; Сингх, Авадеш Нараян (1962), История индуистской математики: справочник, Бомбей: издательство Азии.
• Де Янг, Грегг (1995), «Евклидова геометрия в математической традиции исламской Индии», Historia Mathematica, 22 (2): 138–153, doi : 10.1006 / hmat.1995.1014.
• Encyclopædia Britannica (Kim Plofker) (2007), "математика, Южная Азия", Encyclopædia Britannica Online: 1–12, получено 18 мая 2007 г..
• Филлиозат, Пьер-Сильвен (2004), «Математика древнего санскрита: устная традиция и письменная литература ", в Chemla, Karine ; Коэн, Роберт С.; Ренн, Юрген; и другие. (ред.), History of Science, History of Text (Boston Series in the Philosophy of Science), Dordrecht: Springer, Нидерланды, 254 страницы, стр. 137–157, стр. 360–375, doi : 10.1007 / 1-4020-2321-9_7, ISBN 978-1-4020-2320-0.
• Фаулер, Дэвид (1996), "Биномиальный Функция коэффициента », The American Mathematical Monthly, 103 (1): 1–17, doi : 10.2307 / 2975209, JSTOR 2975209.
• Хаяси, Такао (1995), Рукопись Бахшали, древнеиндийский математический трактат, Гронинген: Эгберт Форстен, 596 страниц, ISBN 978-90-6980-087-5.
• Хаяси, Такао (1997), «Правило Арьябхаты и таблица синус-разностей», Historia Mathematica, 24 (4): 396–406, doi : 10.1006 / hmat.1997.2160.
• Хаяси, Такао (2003), «Ин дийская математика», в Граттан-Гиннесс, Айвор (изд.), Сопутствующая энциклопедия истории и философии математических наук, 1, стр. 118–130, Балтимор, Мэриленд:Издательство Университета Джона Хопкинса, 976 страниц, ISBN 978-0-8018-7396-6.
• Хаяси, Такао (2005), «Индийская математика», в книге «Флуд», Гэвин ( ред.), Blackwell Companion to Hinduism, Oxford: Basil Blackwell, 616 страниц, стр. 360–375, стр. 360–375, ISBN 978-1-4051-3251-0.
• Хендерсон, Дэвид В. (2000), «Квадратные корни в сутрах Сульбы», в Горини, Кэтрин А. (ред.), Геометрия в действии: Статьи по прикладной геометрии, 53, стр. 39–45, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки Примечания, 236 страниц, стр. 39–45, ISBN 978-0-88385-164-7.
• Джозеф, Г.Г. (2000), Гребень павлина: неевропейские корни математики, Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press, 416 страниц, ISBN 978-0-691-00659-8.
• Кац, Виктор Дж. (1995), «Идеи исчисления в исламе и Индии», Mathematics Magazine (Math. Доц. Америк.), 68 ( 3): 163–174, doi : 10.2307 / 2691411, JSTOR 2691411.
• Кац, Виктор Дж., Изд. (2007), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, 685 страниц, стр. 385–514, ISBN 978-0 -691-11485-9.
• Келлер, Агате (2005), «Заставить диаграммы говорить, в комментарии Бхаскары I к Арьябхатии» (PDF), Historia Mathematica, 32 ( 3): 275–302, doi : 10.1016 / j.hm.2004.09.001.
• Kichenassamy, Satynad (2006), «Правило Баудхаяны для квадратуры круга», Historia Mathematica, 33 (2): 149–183, doi : 10.1016 / j.hm.2005.05.001.
• Пингри, Дэвид (1971), " О греческом происхождении индийской планетной модели с использованием двойного эпицикла », Journal of Historical Astronomy, 2 (1): 80–85, Bibcode : 1971JHA.....2... 80P, doi : 10.1177 / 002182867100200202, S2CID 118053453.
• Пингри, Дэвид ( 1973), «Месопотамское происхождение ранней индийской математической астрономии», Journal of Historical Astronomy, 4 (1): 1–12, Bibcode : 1973JHA..... 4.... 1P, doi : 10.1177 / 002182867300400102, S2CID 125228353.
• Пингри, Дэвид ; Стаал, Фриц (1988), «Обзор работ: Верность устной традиции и истоки науки Фрицем Стаалом», Журнал Американского Восточного Общества, 108 (4): 637–638, doi : 10.2307 / 603154, JSTOR 603154.
• Пингри, Дэвид (1992), «Гелленофилия против истории науки. ", Isis, 83 (4): 554–563, Bibcode : 1992Isis... 83..554P, doi : 10.1086 / 356288, JSTOR 234257
• Пингри, Дэвид (2003), «Логика незападной науки: математические открытия в средневековье. Индия ", Дедал, 132 (4): 45–54, doi : 10.1162 / 001152603771338779, S2CID 57559157.
• Плофкер, Ким (1996), «Пример секущего метода итеративной аппроксимации в санскритском тексте пятнадцатого века», Historia Mathematica, 23 (3): 246– 256, doi : 10.1006 / hmat.1996.0026.
• Плофкер, Ким (2001), «Ошибка» в индийском «Приближении ряда Тейлора» к синус ", Historia Mathematica, 28 (4): 283–295, doi : 10.1006 / hmat.2001.2331.
• Plofker, K. (2007)," Математика Индии », в Каце, Виктор Дж. (Редактор), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник, Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press, 685 страниц, стр 385–514, стр. 385–514, ISBN 978-0-691-11485-9.
• Плофкер, Ким (2009), Математика в Индии: 500–1800 гг. Н. Э., Принстон, штат Нью-Джерси: Принстонский университет Нажмите. Стр. 384., ISBN 978-0-691-12067-6.
• Прайс, Джон Ф. (2000), «Прикладная геометрия сутр Сульбы» (PDF), в Gorini, Catherine A. (ed.), Geometry at Work: Papers in Applied Geometry, 53, стр. 46–58, Вашингтон, округ Колумбия: Примечания математической ассоциации Америки, 236 страниц, стр. 46–58, ISBN 978-0-88385-164-7.
• Рой, Ранджан (1990), «Открытие формулы ряда для $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$by Leibniz, Gregory, and Nilakantha », Mathematics Magazine (Math. Assoc. American), 63 (5): 291–306, doi : 10.2307 / 2690896, JSTOR 2690896.
• Сингх, А.Н. (1936), «Об использовании рядов в индуистской математике», Osiris, 1 (1): 606– 628, doi : 10.1086 / 368443, JSTOR 301627
• Стаал, Фриц (1986), Верность устной традиции и Истоки науки, Mededelingen der Koninklijke Nederlandse Akademie von Wetenschappen, Afd. Letterkunde, NS 49, 8. Амстердам: North Holland Publishing Company, 40 страниц.
• Staal, Frits (1995), «Санскрит науки», Journal of Indian Philosophy, Springer, Нидерланды, 23 (1): 73–127, doi : 10.1007 / BF01062067, S2CID 170755274.
• Staal, Frits (1999), «Греческая и ведическая геометрия», Journal of Indian Philosophy, 27 (1-2): 105–127, doi : 10.1023 / A: 1004364417713, S2CID 170894641.
• Стаал, Фриц (2001), «Квадраты и прямоугольники в Ведах», Журнал индийской философии, Springer, Нидерланды, 29 (1 -2): 256 –272, doi : 10.1023 / A: 1017527129520, S2CID 170403804.
• Staal, Frits (2006), «Искусственные языки Между науками и цивилизациями», Journal of Indian Philosophy, Springer, Нидерланды, 34 (1): 89–141, doi : 10.1007 / s10781- 005-8189-0, S2CID 170968871.
• Стиллвелл, Джон (2004), Математика и ее и стория, Тексты для бакалавров по математике (2-е изд.), Спрингер, Берлин и Нью-Йорк, 568 страниц, doi : 10.1007 / 978-1-4684-9281-1, ISBN 978-0-387-95336-6.
• Тибо, Джордж (1984) [1875], Математика в процессе становления в Древней Индии: перепечатки «О Сульвасутрах» и «Баудхьяяна Сульва-сутра», Калькутта и Дели: КП Багчи и компания (ориг. Journal of Asiatic Society of Bengal), 133 страницы.
• van der Waerden, BL (1983), Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Berlin and New York: Springer, 223 pages, ISBN 978-0-387-12159-8
• ван дер Варден, BL (1988), «О Ромака-Сиддханта», Архив истории точных наук, 38 (1): 1–11, doi : 10.1007 / BF00329976, S2CID 189788738
• ван дер Варден, BL ( 1988), «Реконструкция греческой таблицы аккордов», Архив истории точных наук, 38 (1): 23–38, Bibcode : 1988AHES... 38... 23V, doi : 10.1007 / BF00329978, S2CID 189793547
• Ван Ноутен, Б. (1993), «Двоичные числа в древности Индии», Journal of Indian Philosophy, Springer, Нидерланды, 21 (1): 31–50, doi : 10.1007 / BF01092744, S2CID 171039636
• Уиш, Чарльз (1835), «О индусской квадратуре круга и бесконечном ряду отношение окружности к диаметру, показанное в четырех Шастрах, Тантра» Санграхам, Юкти Бхаша, Карана Падхати и Садратнамала ", Труды Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии, 3 (3): 509–523, doi : 10.1017 / S0950473700001221, JSTOR 25581775
• Яно, Мичио (2006), "Устная и письменная передача точных наук на санскрите", Журнал индийской философии, Спрингер, Нидерланды, 34 (1-2): 143-160, doi : 10.1007 / s10781 -005-8175-6, S2CID 170679879

Источники на санскрите

• Келлер, Агат (2006), «Изложение математического семени». Том 1: Перевод: перевод Бхаскары I по мате матической основы книги Арьябхатия, Базель, Бостон и Берлин: Birkhäuser Verlag, 172 страницы, ISBN 978-3-7643-7291-0.
• Келлер, Агата (2006), Изложение математического семени. Vol. 2: Приложения: Перевод Бхаскары I по математической главе Aryabhatiya, Базель, Бостон и Берлин: Birkhäuser Verlag, 206 страниц, ISBN 978-3-7643-7292-7.
• Нойгебауэр, Отто ; Пингри, Дэвид, ред. (1970), Панкасиддхантика Варахамихиры, Новое издание с переводом и комментариями, (2 тома), Копенгаген.
• Пингри, Дэвид, изд. (1978), Яванаджатака Сфуджидваджи, отредактировано, переведено и написано Д. Пингри, Кембридж, Массачусетс: Harvard Oriental Series 48 (2 тома).
• Сарма, К.В., изд. (1976), ryabhaṭī of ryabhaa, с комментарием Сурядевы Яджвана, критически отредактированный с введением и приложениями, Нью-Дели: Индийская национальная академия наук.
• Сен, С.Н.; Сумка, А. К., ред. (1983), Шулбасутры Баудхаяны, Апастамбы, Катьяяны и Манавы, с текстом, английским переводом и комментариями, Нью-Дели: Индийская национальная академия наук.
• Шукла, К.С., изд. (1976), ryabhaṭī of ryabhaa с комментариями Bhāskara I и Someśvara, критически отредактировано с введением,ским переводом, примеченными, комментариями и указателями, Нью-Дели: Индийская национальная академия наук.
• Шукла К.С., изд. (1988), ryabhaṭīya of ryabhaa, критически отредактированный с введением, английским переводом, примечаниями, комментариями и указателями, в сотрудничестве с K.V. Науки Сарма, Нью-Дели: Индийская национальная академия наук.

Викицитатник содержит цитаты, касающиеся: индийской математики

• и математики в Индии
• Обзор индийской математики, MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University, 2000.
• Indian Mathematicians
• Index of Ancient Indian Mathematics, MacTutor History of Mathematics Archive, Университет Сент-Эндрюс, 2004.
• Индийская математика: восстановление баланса, Студенческие проекты по истории математики. Ян Пирс. MacTutor Архив истории математики, Университет Сент-Эндрюс, 2002.
• Индийская математика на В наше время на BBC
• InSIGHT 2009, семинаре по традиционной индийской для школьников, проводимые кафедрой информатики Университета Анны, Ченнаи, Индия.
• Математика в древней Индии Р. Шридхарана
• Комбинаторные методы в древней Индии
• Математика до С. Рамануджана